略談教師如何有效使用教材
——以滬科版八年級上冊幾何內(nèi)容為例

汪洪潮（安徽省合肥市包河區(qū)教研室）

略談教師如何有效使用教材
——以滬科版八年級上冊幾何內(nèi)容為例

汪洪潮（安徽省合肥市包河區(qū)教研室）

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開教材，教材的編寫凝聚著編者的智慧和心血，理解教材是用好教材的前提.怎樣理解教材？如何用好教材？是一線教師首先要思考的問題.準(zhǔn)確理解教材內(nèi)容的編寫體系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，抓住圖形間的相互聯(lián)系，深入挖掘例、習(xí)題的功能，可以有效地幫助教師準(zhǔn)確把握教材，用好教材.

理解教材；編寫意圖；概念教學(xué)；用好教材

課堂教學(xué)離不開教材，任何一個版本的教材，都是專家按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，按照一定的邏輯體系，精心編寫而成.教材通過對章節(jié)內(nèi)容的合理布局，知識點的科學(xué)闡述，例、習(xí)題的巧妙安排，系統(tǒng)而合理地落實《標(biāo)準(zhǔn)》對本學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo).作為一名教師，要教好數(shù)學(xué)，首先是要讀懂教材、理解教材，然后再用好教材.曾有學(xué)者指出，許多教師舉著“用教材教”的旗幟，在不研究教材、不鉆研教材的情況下，大膽“創(chuàng)新”，既不準(zhǔn)確理解教材編寫者的意圖，也不能準(zhǔn)確地把握教學(xué)內(nèi)容，以及教學(xué)重點、難點，冒然組織教學(xué)，大膽進行“變革”，這種現(xiàn)象確實令人嘆息！

由于擔(dān)任教研員工作，經(jīng)常深入課堂聽課，對此現(xiàn)象深有同感，現(xiàn)以滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“滬科版教材”）八年級上冊幾何內(nèi)容為例，略談教師如何深刻理解教材，如何有效使用教材.

滬科版教材八年級上冊幾何部分共有三章，分別是第13章“三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明”、第14章“全等三角形”、第15章“軸對稱圖形與等腰三角形”.每一章中既有概念學(xué)習(xí)、性質(zhì)探究等內(nèi)容，又有鞏固知識、形成能力、滲透思想方法的例、習(xí)題，更有培養(yǎng)空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力的大量資源.對這些內(nèi)容的教學(xué)，教師應(yīng)該如何研讀教材，才能有效實現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求呢？

一、理解教材編寫意圖，把握章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

案例1：八年級上冊第13章第1節(jié)中“三角形內(nèi)角和定理”的部分內(nèi)容.

在一個三角形中，三個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？

在小學(xué)，我們曾經(jīng)用折疊（如圖1）、剪拼（如圖2）或用量角器度量的方法研究過這個問題.你還記得有什么結(jié)論嗎？

圖1

圖2

得出結(jié)論：三角形內(nèi)角和等于180°.

然后應(yīng)用這個結(jié)論解題.

對于以上內(nèi)容很多教師認為，可以先證明三角形內(nèi)角和定理，再應(yīng)用，不理解教材為什么將定理的證明安排在第2節(jié)“命題與證明”之后.

要理解教材的編排意圖，必須先理解《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何部分的教學(xué)建議：對幾何的學(xué)習(xí)，可以先通過畫圖、折紙、度量或做實驗等活動，探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再對結(jié)論進行說明、解釋或證明.從七年級到八年級要循序漸進地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，做好由實驗幾何到論證幾何的過渡.

教材正是按照《標(biāo)準(zhǔn)》的建議，先通過回憶、折疊等方法讓學(xué)生對“三角形內(nèi)角和為180°”有一個直觀的認識，初步運用結(jié)論解決一些問題，再進行嚴(yán)格的證明.這樣將實驗幾何與論證幾何有機結(jié)合，突出先說理、再證明的幾何學(xué)習(xí)兩步走的方針.

理解教材還要把握內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu).教材對三角形相關(guān)內(nèi)容的編排順序是：（1）三角形的定義與基本構(gòu)成元素（三條邊、三個內(nèi)角）；（2）三角形的基本構(gòu)成元素之間的關(guān)系；（3）三角形的基本類型與相應(yīng)的判定和性質(zhì)；（4）三角形之間的基本關(guān)系，以及相應(yīng)處理方法等.這樣編排既符合學(xué)生的認知發(fā)展水平，又符合知識間的邏輯順序.

例如，教材將線段的垂直平分線、等腰三角形、角平分線的性質(zhì)和判定都放在軸對稱圖形一節(jié)后面學(xué)習(xí)，正是抓住了它們都具有軸對稱性的一般性質(zhì).

我們只有理解了教材的編寫意圖，把握了內(nèi)容間的邏輯結(jié)構(gòu)，才有可能理解教材，用好教材.

二、準(zhǔn)確解讀教材對概念的闡述，培養(yǎng)學(xué)生思維和概括能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基石，是數(shù)學(xué)思想方法的載體，也是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的有效工具.通過對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，把蘊含在概念中的數(shù)學(xué)思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念.

案例2：第13章中有如下幾個概念：

（1）由不在同一直線上的三條線段首尾依次相接所組成的封閉圖形叫做三角形.

（2）三角形中，三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.

本節(jié)中的有關(guān)概念，小學(xué)階段就已經(jīng)接觸并有了初步的了解，教材中也是直接給出相關(guān)的定義.但我們不能直接下定義，一讀了之.如三角形的定義，它雖然簡潔、精確，但卻包含著三個層面的意思：一是三條線段組成的圖形；二是不在同一直線上的三條線段；三是首尾依次相接.教學(xué)時教師應(yīng)該放手讓學(xué)生活動，通過擺放肯定與否定的例子，區(qū)別概念本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性.借助大量的實例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)語言的不斷修改和完善過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和抽象概括能力.

對銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等概念的教學(xué)，有的教師認為太簡單無需介紹，就讓學(xué)生自學(xué)或直接給出.其實不然，只要仔細思考，就會發(fā)現(xiàn)：為什么直角三角形和鈍角三角形都是用“有一個角是”，而銳角三角形是用“三個角都是”？這其中蘊涵著邏輯推理和反證法思想.教師要充分挖掘概念中蘊含著的啟發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考的元素，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

三、整體把握圖形間的聯(lián)系，提升學(xué)生幾何直觀能力

教材的表述是靜態(tài)的，知識發(fā)展是動態(tài)的.幾何教學(xué)往往需要借助圖形的變換，通過圖形的變換訓(xùn)練學(xué)生思維，培養(yǎng)幾何推理和幾何直觀能力.滬科版教材編寫時緊緊抓住基本圖形，通過對基本圖形的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等變換生成豐富多彩的組合圖形，其中蘊涵著由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想.

案例3：“全等三角形”一章中，教材安排了如下一些練習(xí).

（1）已知：如圖3，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：AB∥DE，AC∥DF.

圖3

（2）已知：如圖4，△ABC≌△EBD，那么AC= ______，∠ABE=_______.

圖4

（3）已知：如圖5，AB=AC，AD=AE，BD，CE相交于點O，求證：（1）OD=OE；（2）AO平分∠BAC.

圖5

這些題目問題不同，圖形各異，但它們其實都是由兩個全等的三角形分別經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和對稱變換

得到，這些圖形間的聯(lián)系和區(qū)別蘊含著幾何變換的基本規(guī)律.

在“三角形中的邊角關(guān)系”一節(jié)中，還有以下例題和練習(xí).

例已知，如圖6，△ABC中，BD⊥AC，垂足為點D，∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度數(shù).

圖6

練習(xí)：已知，如圖7，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度數(shù).

圖7

例題是為鞏固“三角形內(nèi)角和是180°”而設(shè)定的，既鞏固了“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，又通過分析，培養(yǎng)了學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣，并學(xué)會規(guī)范書寫解題格式.將此題與練習(xí)題進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，只要將例題的圖6按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°即可得到練習(xí)的圖7，通過揭示這兩個圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

此章中的很多圖形都是由基本圖形通過變換生成，教學(xué)時不能僅限于指導(dǎo)學(xué)生解題證明，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析圖形間的變換與聯(lián)系，從而在復(fù)雜多變的圖形中抓住“不變”的特征.學(xué)生對圖形的深層領(lǐng)悟是建立在教師深刻理解基礎(chǔ)之上的，教師只有深刻理解圖形變換間的聯(lián)系，把握圖形變換的基本規(guī)律，才能有效指導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，由現(xiàn)象到本質(zhì)，從而提升幾何直觀能力.

四、充分挖掘例、習(xí)題功能，領(lǐng)悟其中蘊涵的思想和方法

滬科版教材的例、習(xí)題都是經(jīng)過專家反復(fù)甄選而配置的，例、習(xí)題的教學(xué)不僅起著鞏固新知、訓(xùn)練技能、形成能力的作用，而且滲透著分析問題的基本方法和思路、解答和表述問題的規(guī)范格式，蘊涵著解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法.

案例4：在“三角形中的邊角關(guān)系”一節(jié)中有如下例題和練習(xí).

例等腰三角形中，周長為18 cm.

（1）如果腰長是底邊的2倍，求各邊長；

（2）如果一邊長為4 cm，求另兩邊長.

練習(xí)1：在△ABC中：

（1）已知：∠A=105°，∠B-∠C=15°.則∠C= ______；

（2）已知：∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5.則∠C= ________.

練習(xí)2：在一個三角形中，最多只能有一個直角或鈍角，為什么？

對于以上問題，有的教師只是簡單利用三角形三邊關(guān)系和“三角形內(nèi)角和是180°”解決就結(jié)束了，沒有深入鉆研教材，挖掘每一個問題的內(nèi)涵，這種現(xiàn)象實在令人惋惜.

例題是為鞏固三角形三邊之間關(guān)系而設(shè)定，需要用到等腰三角形兩腰相等、三角形三邊之間關(guān)系等知識.通過問題的解決，滲透了用列方程來解決幾何問題的方法和分類討論思想.

練習(xí)1既是鞏固本節(jié)的重點知識“三角形內(nèi)角和是180°”，也將方程、方程組、比例等有關(guān)知識融入其中，使以前所學(xué)知識在新的知識體系中得到鞏固和應(yīng)用.

練習(xí)2是一個說理題，滲透了反證法思想，對它的分析有助于學(xué)生理解為什么銳角三角形定義中必須是“三個角都是銳角”，而直角三角形和鈍角三角形只需要“有一個角是直角或鈍角”的問題，也為后續(xù)學(xué)習(xí)反證法做鋪墊.

教師只有深入研究這些問題，才有可能將它們的作用發(fā)揮到極致，達到減輕學(xué)生課業(yè)負擔(dān)，提高課堂效率的目的.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.它是教師向?qū)W生傳授知識、訓(xùn)練技能和滲透思想的材料，是學(xué)生成長的“翅膀”.教材的編寫，凝聚著很多專家和教師的心血與智慧，只有準(zhǔn)確把握《標(biāo)準(zhǔn)》，深入鉆研教材，深刻理解教材的編寫意圖，才有可能用好教材，進而創(chuàng)造性地使用教材.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］馬復(fù).初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

［3］章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2010（1/2）：3-6.

2016—07—12

汪洪潮（1968—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評價研究.