善變
——數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)

苑建廣（河北省晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

善變
——數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)

苑建廣（河北省晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

一題多思（變），有助于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).若深入挖掘，從橫向、縱向、逆向、系統(tǒng)等多層次、多方向上進(jìn)行思考、演變、拓展，必可深化教學(xué)內(nèi)容，揭示問題實(shí)質(zhì)，促進(jìn)思維變通，發(fā)展創(chuàng)造能力，提高學(xué)習(xí)效率.幾何問題變式可以探尋命題的可逆性，改變圖形結(jié)構(gòu).代數(shù)問題的變式可以刪減信息，調(diào)整信息給予方式，增加或改變?cè)O(shè)問方式.

變式教學(xué)；圖形結(jié)構(gòu)；信息給予方式

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)是思維的體操.通過解題發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題.但是，過多、過密、盲目的解題，不僅不會(huì)促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，反而容易窒息智慧，降低興趣，產(chǎn)生疲勞感.只有舉一反三、聞一知十、觸類旁通的解題，才能激發(fā)學(xué)生深入思考，提升思維品質(zhì)，而一題多思（變）無疑是事半功倍的.一題多思（變），有助于發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、敏捷性、批判性，是激發(fā)創(chuàng)造力的有效途徑.

一些習(xí)題，看似平凡，實(shí)卻內(nèi)涵豐富.若能深入挖掘，從橫向、縱向、逆向、系統(tǒng)等多層次、多方向上進(jìn)行思考、演變、拓展，必可深化教學(xué)內(nèi)容，揭示問題實(shí)質(zhì)，促進(jìn)思維變通，發(fā)展創(chuàng)造能力，提高學(xué)習(xí)效率.本文以兩道例題說明.

例1如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上.過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.連接DE，若∠1=∠3，試證明：DE∥BC.

圖1

這是在七年級(jí)學(xué)習(xí)“相交線與平行線”時(shí)最經(jīng)典的一個(gè)例題，能通過綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定定理解題達(dá)到融會(huì)貫通相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)目的.

如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學(xué)功能呢？在教研教學(xué)中，我們做到了以下幾點(diǎn).

首先，變換設(shè)問方式.

一方面，通過調(diào)換題設(shè)中的部分條件和結(jié)論的位置實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

變式1：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上.過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.連接DE，若DE∥BC，試證明：∠1=∠3.

變式2：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)G在AB上.過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.連接DE，F(xiàn)G，若DE∥BC，∠1=∠3，試證明：FG⊥AB.

另一方面，引例中的“CD⊥AB”和“FG⊥AB”只是為了引出“CD∥FG”這些線與線之間的特殊位置關(guān)系，可以變更為給出相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系或賦以數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

變式3：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，G在AB上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，連接DE，CD，F(xiàn)G，若∠CDB=∠FGB，∠1=∠3，試證明：DE∥BC.

變式4：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，G在AB上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，連接DE，CD，F(xiàn)G，若∠CDB=∠FGB，DE∥BC，試證明：∠1=∠3.

變式5：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，G在AB上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，連接DE，CD，F(xiàn)G，若∠1=∠3，DE∥BC，∠CDB=80°.求∠FGB的大小.

其次，變換圖形結(jié)構(gòu).

在圖1中，點(diǎn)F在BC上，有一定的隨意性，能否將之調(diào)整到BC的延長(zhǎng)線上或BC的反向延長(zhǎng)線上？

變式6：如圖2（或圖3），在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上.過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.連接DE，若∠1=∠3，試證明：DE∥BC.

相應(yīng)地，在圖2（或圖3）中還可以同變式1～5之題干般創(chuàng)新.

圖2

圖3

在此基礎(chǔ)上，能否把點(diǎn)D在AB上調(diào)整為點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上？

例如，保持點(diǎn)F在線段BC上，調(diào)整點(diǎn)D到BA的延長(zhǎng)線上可以做如下變式.

變式7：如圖4，在△ABC中，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)G在AB上，連接CD，DE，F(xiàn)G.若CD∥FG，∠EDC與∠GFB互補(bǔ)，試證明：DE∥BC.

圖4

相應(yīng)地，在圖4中還可以類似變式1～5之題干般調(diào)整，做出創(chuàng)新變式.當(dāng)然，若考慮到DE∥BC也可以通過角的等量關(guān)系給予，每個(gè)圖形還可以做出多種變式.類比以上方式可以找到更多變式情形.

如圖5，可在圖1的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)ED，F(xiàn)G交于點(diǎn)P，將線段BD向右平移，擦去圖中的虛線，留下的實(shí)線圖形.于是得到變式8.

變式8：如圖5（實(shí)線部分），已知CD⊥D′B′于點(diǎn)N，PF⊥D′B′于點(diǎn)M.若∠1=∠2，試證明：PD′∥B′C.

圖5

類比以上其他變式情形，稍做調(diào)整，即可得到圖5的其他更多變式情形.

【點(diǎn)評(píng)】如果能在課堂中生發(fā)出上述變化，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟數(shù)學(xué)的魅力，其效果是不言而喻的.如何在幾何解題教學(xué)中推陳出新，充分開發(fā)題目的教學(xué)功能？幾何圖形的無非是由線以及線間所成的不同角度而構(gòu)成的，而構(gòu)成圖形的線或角往往帶有一定的隨意性，通過變化某些線的位置或某些角度，往往可以在一定程度上改變圖形的結(jié)構(gòu)或是視覺上的熟悉程度，從而使題目變得新穎起來或增加了一定的難度.

由例1可見，若要通過調(diào)整線段來改變圖形結(jié)構(gòu)，往往先要確定調(diào)整哪一條線段（即調(diào)整對(duì)象），然后再?zèng)Q定如何調(diào)整它（即調(diào)整方法）.由于既可以調(diào)整點(diǎn)D的位置（有3個(gè)不同的位置類型），又可以調(diào)整點(diǎn)F的位置（也有3個(gè)不同的位置類型），總共組合出如上幾種不同的圖形類型.而圖5的由來則要復(fù)雜一些.不過正是由于圖5的出現(xiàn)才引發(fā)人們思考：之所以能變化出個(gè)多圖形來，是因?yàn)檫@所有圖形中均有兩組平行線.

例2為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，某市自來水公司按如下方式對(duì)每戶月水費(fèi)進(jìn)行計(jì)算：當(dāng)用水量不超過10噸時(shí)，每噸的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同；當(dāng)用水量超過10噸時(shí)，超出10噸的部分每噸收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)也相同.表1是小明家1～4月份用水量和交費(fèi)情況.

表1

請(qǐng)根據(jù)表1中提供的信息，回答以下問題.

（1）若小明家5月份用水量為20噸，則應(yīng)繳水費(fèi)為多少？

（2）若小明家6月份交納水費(fèi)29元，則小明家6月份用水的噸數(shù)為多少？

此例也是常見問題，如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學(xué)功能呢？在教研教學(xué)中，我們做到了以下幾點(diǎn).

變式1：刪去表格中的2月份和4月份信息，其他不變.

變式2：刪去表格中的2月份和3月份信息，其他不變；

變式3：刪去表格中的1月份和4月份信息，其他不變.

變式4：刪去表格中的1月份和3月份信息，其他不變.

上述變式并沒有改變題目的思維量，只是刪掉了部分冗余信息.

變式5：刪去表格中的1月份和2月份信息，其他不變.

這種變式已經(jīng)不能通過簡(jiǎn)單讀表得到月用水量在10噸以內(nèi)部分的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，而需要通過列方程（組）找出10噸以內(nèi)部分和10噸以上部分的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而完成題目解答.

變式6：將例2中的“當(dāng)用水量不超過10噸時(shí)，每噸的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同；當(dāng)用水量超過10噸時(shí)，超出10噸的部分每噸收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)也相同”中的所有“10噸”改為“a噸”，其他不變.

這種變式提升了思維含量，題目考查的厚重度驟然提升.解決時(shí)需要結(jié)合表格對(duì)a分段討論，布列方程（組），取舍各種情形，才能最終綜合得到10噸以內(nèi)部分和10噸以上部分的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而完成題目解答.

變式7：將變式1～6中以表格形式給予信息的方式改變?yōu)橐灾鶢顖D方式或折線圖方式（圖形不贅）給予信息，其他不變.

變式8：將變式1～6中增加新的設(shè)問，如找到月應(yīng)繳水費(fèi)與月用水量之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出圖象等，其他不變.

【點(diǎn)評(píng)】通過此例可以發(fā)現(xiàn)有些代數(shù)題可以從以下角度進(jìn)行變式.

（1）刪減某些信息，題目是否可解？比如，刪去表格中的3月份和4月份信息，其他不變，則題目不可解；而變式6相對(duì)于原題，不僅可解，難度和思維量上也增加不少，題目對(duì)思維品質(zhì)考查的厚重度有所增強(qiáng).正因?yàn)樵}有冗余條件，才使善于變式教學(xué)的教師抓住了化腐朽為神奇的機(jī)會(huì).

（2）調(diào)整信息給予方式.如變式7，把表格信息變?yōu)閳D形、圖象信息，可以考查學(xué)生提取有用信息的能力，讓表格、圖象、圖形等自然語言與式子一樣說話.

（3）增加或改變?cè)O(shè)問方式.如變式8，要求學(xué)生建構(gòu)函數(shù)關(guān)系式，畫出圖象，通過圖象直觀分析信息等.

兩個(gè)變式教學(xué)的例題，一個(gè)在幾何上變出精彩，一個(gè)在代數(shù)上變出花樣，讓數(shù)學(xué)的魅力彰顯，讓教學(xué)的藝術(shù)升華.仔細(xì)體味其中玄妙，必有益于未來數(shù)學(xué)教學(xué)效果之提升.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］王義堂，田保軍，王碩旺.新課程理念與教學(xué)策略［M］.北京：中國(guó)言實(shí)出版社，2003.

2016—07—24

苑建廣（1973—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)及中考命題研究.