類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

杜夢真

一、類比的含義

類比推理是從特殊到特殊的推理。是根據(jù)兩對象具有一些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一屬性，從而推出另一個對象也具有與該屬性相同或類似的屬性的推理。其基礎(chǔ)是對象與對象之間有某些相同或相似的性質(zhì)。運用類比推理來啟發(fā)思考所研究的對象具有某種關(guān)系或?qū)傩缘姆椒ǚQ為類比法。

那么類比有哪些特征呢？（1）類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在被研究中的事物的屬性，它以已有知識作基礎(chǔ)，喻出新的結(jié)果。（2）類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性。（3）類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但具有發(fā)現(xiàn)功能。

二、類比的類型

1.根據(jù)所依據(jù)的推理形式進(jìn)行分類

（1）簡單共存類比：它是根據(jù)事物的屬性之間有簡單共存關(guān)系而進(jìn)行的類比。一般來說，由簡單共存類比得到的結(jié)論，其可靠程度較高，但兩種不同的事物畢竟有差別，所以，用這種類比得到的結(jié)論也不能保證完全正確。

（2）因果類比：它是根據(jù)事物的屬性之間可能具有同一種因果關(guān)系而進(jìn)行的類比。在數(shù)學(xué)中，運用因果類比較多，由問題條件的相似去猜測結(jié)論的相似就是運用這種類比。因果關(guān)系是一種必然的關(guān)系，所以因果類比有一定的可靠性，但由于一種原因可產(chǎn)生不同的結(jié)果，或同一結(jié)果也可能由不同的原因造成，所以有時也不能保證這種推理的結(jié)論一定正確。

（3）對稱類比：它是根據(jù)事物的屬性之間具有某種對稱性而進(jìn)行的類比。運用這種類比時，“相似性”“對稱性”趣兩個概念要作廣義理解，即如果兩個事物之間有某種對應(yīng)關(guān)系，就可以理解為這兩個事物相似。

（4）協(xié)變類比：它又稱為數(shù)學(xué)相似類比。它是根據(jù)兩個事物的對象之間具有某種確定的協(xié)變關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系而進(jìn)行推理的，由一事物具有某種屬性推出另一個事物也可能有相似的屬性。這種類比，由于它的根據(jù)是定量描述兩個事物對象之間的相似關(guān)系，因此它比前面提到的類比前進(jìn)了一大步，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的對象和方法主要運用的就是這種類比。

（5）綜合類比：它是根據(jù)事物的屬性的多種關(guān)系的綜合相似而進(jìn)行的類比。

2.類比法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用方式大致類型

（1）低維與高維類比：一般對高維問題的思索不及低維問題容易，因此為了解決高維問題，常先找出類似的低維問題加以比較，從對低維問題的探索中找到類似的方法與結(jié)論來解決高維問題。

（2）一般與特殊的類比：研究一個比較復(fù)雜的問題時，可以先解決這個問題的一個特殊情況，然后對解決特殊情況時所用的方法、所得的結(jié)論進(jìn)行分析，把它與一般情況進(jìn)行類比，研究在一般情況下能否作類似處理。

（3）數(shù)與性類比：在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)和形的類比經(jīng)常在兩個相反的方向上得到應(yīng)用：既可以通過與“形”的比較去推測“數(shù)”的有關(guān)性質(zhì)，又可通過與“數(shù)”的比較去推測“形”的有關(guān)性質(zhì)。

（4）有限與無限類比：數(shù)學(xué)中有關(guān)無限的性質(zhì)一般均可由與有限問題進(jìn)行類比的方法提供線索，研究無限情況下的問題，常可設(shè)法先找出與此有聯(lián)系的有限情況下的問題，然后把有限情況下的方法、結(jié)論類比到無限情況中去。

（5）離散與連續(xù)類比：數(shù)學(xué)中許多離散型問題可通過這種類比形式推廣成連續(xù)型問題，而某些連續(xù)型問題的研究也可通過這種類比形式，借助相應(yīng)的離散型問題的方法獲解。

三、類比的作用

1.類比是提出新問題和做出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉

類比法能提供一條線索，能幫助我們分析猜想，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，是擴(kuò)大知識的范圍、獲得新知識的重要手段，在獲得科學(xué)和數(shù)學(xué)命題中有重要作用。類比是提出數(shù)學(xué)猜想的一種有效方法，數(shù)學(xué)發(fā)展史上曾經(jīng)運用類比方法提出不少猜想，并導(dǎo)致許多重大發(fā)現(xiàn)。

2.有助于探索解題思路

類比在求解數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用。類比是解題時把問題引向我們熟悉的類型的重要手段。運用類比法發(fā)現(xiàn)解題思路，就是通過觀察和聯(lián)想尋找與待解決問題相相似的熟悉問題作為類比對象，由于相似問題的解法也有一定的相似性，從而可以借鑒熟悉問題的解題思想和方法，去發(fā)現(xiàn)待解決問題的解題途徑和方法。這樣通過類比達(dá)到啟發(fā)思路，提供線索，舉一反三，觸類旁通的效果。用類比法指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題，關(guān)鍵在于尋找一個合適的類比對象。一搬來說，可根據(jù)數(shù)學(xué)題的不同特點，從題型結(jié)構(gòu)、圖形特征、有關(guān)性質(zhì)、解題方法等方面進(jìn)行類比，以尋覓恰當(dāng)?shù)念惐葘ο蟆?/p>

3.有助于掌握數(shù)學(xué)知識

許多數(shù)學(xué)知識之間可以進(jìn)行類比，教師應(yīng)在教學(xué)中努力發(fā)揮類比法的作用。譬如，初中生在學(xué)習(xí)“分式”內(nèi)容時，往往感到難學(xué)、難記，不會運用。如果學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時將分式與分?jǐn)?shù)類比，則可收到良好的學(xué)習(xí)效果。

四、類比的局限性

類比與歸納一樣，也是一種“合情理”推理，帶有必然性，其結(jié)論正確與否，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明。類比推理的結(jié)論判斷的可靠程度取決于兩事物的相似屬性以及它們之間的相關(guān)程度。相似屬性與相關(guān)程度越高，其可靠程度就越大。類比是一種猜測的方法，由此而得出的只是可能的結(jié)論，它既可能為真，也可能為假，因此不能不加證明地相信其為真。

五、類比與歸納、演繹的關(guān)系

類比與歸納的關(guān)系甚為密切，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別。從邏輯觀點看，他們都是合情理的推理，都具有創(chuàng)造潛能，而且在探索與發(fā)現(xiàn)真理的過程中，類比常與歸納綜合運用。當(dāng)通過類比對已有結(jié)果加以推廣時，所從事的常常就是歸納的工作。

類比與歸納在意義上差別很大，是兩種不同的探索式思維形式。類比法的推理是從特殊到特殊，它是歸納法和演繹法的中間狀態(tài)。演繹法只要前提正確，推出的結(jié)論就一定正確，但是演繹法推出的結(jié)論并沒有超出前提的范圍，不會得到新的一般原理；歸納法推出的結(jié)論不一定可靠，但是歸納法可以從許多事實中概括出新的一般原理，它是富于創(chuàng)造性的方法；而類比法推出的結(jié)論其可靠程度更差，但卻是最富有創(chuàng)造性的方法。

（作者單位：河南省信陽市高級中學(xué)）