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    Hom-李超代數(shù)的同調(diào)和非交換張量積

    2016-12-06 05:08:37張慶成
    關(guān)鍵詞:張量積李超同態(tài)

    王 涵,張慶成

    (東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,長春130024)

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    Hom-李超代數(shù)的同調(diào)和非交換張量積

    王 涵,張慶成

    (東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,長春130024)

    本文給出了Hom-李超代數(shù)的非交換張量積的概念,得到了有關(guān)Hom-李超代數(shù)的同調(diào)及Hom-李超代數(shù)的非交換張量積的重要性質(zhì),豐富了Hom-李超代數(shù)的理論.

    Hom-李超代數(shù);同調(diào);非交換張量積

    2006年Hartwig,Larsson和Silvestrov為了更好的描述Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)提出了Hom-李代數(shù)[1]的定義, Hom-李代數(shù)理論對數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展起到了十分重要的促進作用.在文獻[2-4]中,Ammar和Makhlouf將Hom-李代數(shù)推廣得到Hom-李超代數(shù),并獲得了重要的結(jié)果.隨時間的推移,Hom-李超代數(shù)的一些性質(zhì)和相關(guān)結(jié)果得到了廣泛的研究,請參考文獻[5-8],這豐富了李代數(shù)體系的研究內(nèi)容.本文推廣文獻[9]和文獻[10]的的相關(guān)內(nèi)容,給出了Hom-李超代數(shù)的非交換張量積的概念,構(gòu)造并研究Hom-李超代數(shù)的非交換張量積.

    1 Hom-李超代數(shù)

    a)[x,y]=-(-1)|x||y|[y,x];

    b)(-1)|x||z|[αL(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[αL,(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[αL(Z),[x,y]]=0;

    則稱(L,[-,-],αL)是一個Hom-李超代數(shù).

    其中(b)式稱為階化Hom-Jacobi等式,而且這個等式和下面的式子等價:

    [αL(x),[y,z]]=[[x,y],αL(z)]+(-1)|x||y|[αL(y),[x,z]].

    對于伴隨表示adx=L→L,有adx(y)=[x,y],則階化Hom-Jacobi等式可寫成如下形式:

    adαL(x)ady=ad|x,y|αL+(-1)|x||y|adαL(y)adx.

    定義2【5】如果一個偶線性映射αL對任意x,y∈L有αL[x,y]=[αL(x),αL(y)], 則稱Hom-李超代數(shù)(L,[-,-],αL)是保積的.

    例1

    a)定義1中,當(dāng)αL=Id時,該定義即為李超代數(shù)的定義.因此李超代數(shù)是Hom-李超代數(shù)的一個子范疇,是一個特殊的Hom-李超代數(shù).

    b)令(A,μA,αA)是一個保積的Hom-結(jié)合超代數(shù),如果對任意齊次元素x,y∈A有[x,y]=μA(x,y)-(-1)|x||y|μA(y,x),那么(A,[-,-],αA)就是一個保積的Hom-李超代數(shù).

    c)(L,[-,-])是一個李超代數(shù),α∶L→L是一個李超代數(shù)自同態(tài),定義[-,-]α∶L?L→L,對任意的x,y∈L,有[x,y]α=α[x,y]=[α(x),α(y)],那么(L,α)和括積[-,-]α一起構(gòu)成了一個保積的Hom-李超代數(shù).

    定義3 設(shè)(L,[-,-],αL)和(L′,[-,-]′,αL′) 是Hom-李超代數(shù), f∶L→L′是Hom-李超代數(shù)線性映射,若對任意x,y∈L滿足:

    a)f([x,y])=[f (x), f(y)]′;

    b)f°αL(x)=αL′°f(x);

    則稱f∶(L,[-,-],αL)→(L′,[-,-],αL′)是一個Hom-李超代數(shù)的同態(tài)映射.

    如果兩個Hom-李超代數(shù)(L,[-,-],αL)和(L′,[-,-]′,αL′)之間有一個同態(tài)映射f∶L→L′,且其為雙射,則這兩個Hom-李超代數(shù)同構(gòu).

    保積的Hom-李超代數(shù)的同態(tài)映射是基本Hom-李超代數(shù)的同態(tài)映射.在下面的內(nèi)容中,我們所提到的Hom-李超代數(shù)都為保積的Hom-李超代數(shù).

    a)[x,y]∈H;

    b)αL(x)∈H;

    則稱(H,αH)是一個Hom-李超子代數(shù).

    如果對任意x∈H,y∈L,有[x,y]∈H,那么(L,αL)的一個Hom-李超子代數(shù)(H,αH)叫做階化Hom-理想.

    定義5Hom-李超代數(shù)(L,[-,-],αL)的中心是一個超子空間,有

    Z(L)={x∈L|[x,y]=0,?y∈L}.

    注:當(dāng)αL∶L→L是一個滿的自同態(tài)映射時,(Z(L),αZ(L))是(L,αL)的一個階化Hom-理想.同時在括積運算不發(fā)生混淆的情況下,記(L,[-,-],αL)為(L,αL).

    定義6 設(shè)(L,αL)和(M,αM)是Hom-李超代數(shù),一個偶的雙線性映射ρ∶L?M→M,有ρ(x?m)=x·m,對任意齊次元素x,y∈H和m,m′∈M滿足下面條件:

    a)[x,y]·αM(m)=αL(x)·(y·m)-(-1)|x||y|αL(y)·(x·m);

    b)αL(x)·[m,m′]=[x·m,αM(m′)]+(-1)|x||m|[αM(m),x·m′];

    c)αM(x·m)=αL(x)·αM(m);

    那么稱其為從(L,αL)到(M,αΜ)的Hom-作用.

    在這些條件下,我們也說(L,αL)Hom-作用于(M,αM).

    如果對任意x∈L和m∈M,有x·m=0,那么稱Hom-作用是平凡的.

    定義7 設(shè)(L,αL)是Hom-李超代數(shù),如果(M,αM)是一個交換Hom-李超代數(shù),并且有一個從(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用,那么(M,αM)就是(L,αL)上的Hom-超模,即一個偶的雙線性映射ρ∶L?M→M,有ρ(x?m)=x·m,對任意齊次元素x,y∈L和m,m′∈M滿足下面條件:

    a)[x,y]·αM(m)=αL(x)·(y·m)-(-1)|x||y|αL(y)·(x·m);

    b)αM(x·m)=αL(x)·αM(m).

    例2

    a)L和M是李超代數(shù),有一個從L到M上的李作用,那么(L,ld1)Hom-作用于(M,αM).

    b)L是一個李超代數(shù),α∶L→L是一個自同態(tài),假設(shè)M是一個通常意義下的超模,且L到M上的作用滿足對任意齊次元素x∈L和m∈M,有α(x)·m=x·m,則(M,αM)是Hom-李超代數(shù)(L,α)上的一個Hom-超模(參考例1(c)).

    d)Hom-李超代數(shù)的交換序列是指Hom-李超代數(shù)的一個短正合列:

    其中(M,αM)是一個可交換Hom-李超代數(shù),滿足αK°i=i°αM和π°αK=αM°π.通過定義ρ∶L?M→M,有ρ(l,m)=[k,m],且π(k)=l,則這個交換序列誘導(dǎo)出(M,αM)上的Hom-超模結(jié)構(gòu).

    定義8 有兩個Hom-李超代數(shù)(L,αL)和(M,αM),(L,αL)到(M,αM)上有一個Hom-作用,在基本向量超空間M⊕L上我們定義Hom-李超代數(shù)的半直積為(M?L,α?), 對任意齊次元素x,x1,x2∈L和m,m1,m2∈M滿足

    [(m1,x1),(m2,x2)]=([m1,m2]+αL(x1)·m2-(-1)|m1||x2|(αL(x2)·m1,[x1,x2])

    (1)

    且有自同態(tài)α?∶M?L→M?L使得α?(m,x)=(αM(m),αL(x)).

    事實上,(M?L,α?)是一個Hom-李超代數(shù),并存在一個Hom-李超代數(shù)的短正合列:

    (2)

    其中i(m)=(m,0),π(m,l)=l.同時(M,αM),是(M?L,α?)的一個階化Hom-理想. 如果存在s∶,(L,αL)→(M?L,α?)使得s(l)=(0,l),則這個正合列是可分的.那么,正如例2(c)所述,若其滿足l·m=i-1[(0,l),(m,0)]=i-1(αL(l)·m,0)=αL(l)·m,則存在(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用.

    定義9Hom-李超代數(shù)的一個同態(tài)映射?∶M→L和(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用,如果對任意齊次元素x∈L和m,m′∈M滿足下列條件:

    a)?(x·m)=[x,?(m)];

    b)?(m)·m′=[m,m′];

    c)?°αM=αP°?;

    那么就稱這個同態(tài)映射為Hom-李超代數(shù)的交叉模.

    例3

    a)Hom-李超代數(shù)(L,αL)和其階化Hom-理想(M,αM)之間的內(nèi)射MP是一個Hom-李超代數(shù)交叉模.

    b)如果(L,αL)是一個Hom-李超代數(shù),(M,αM)是一個Hom-超模,則平凡映射0∶M→L是一個Hom-李超代數(shù)交叉模.

    定義10 (M,αM)是一個Hom-李超代數(shù)(L,αL)上的Hom-超模,一個線性映射d∶L→M滿足:

    a)d([x,y])=(-1)|d||x|·αL(x)·d(y)-(-1)(|d|+|x|)|y|αL(y)d(x);

    b)αM°d=d°αL;

    稱其為(L,αL)到(M,αM)的導(dǎo)子.

    2 Hom-李超代數(shù)的同調(diào)

    于是,系數(shù)在Hom-超模(M,αM)里的Hom-李超代數(shù)(L,αL)的同調(diào)表示為:

    那么,由此可以計算一些低維的結(jié)果:

    其中ML={m·l∶m∈M,l∈L}.

    如果(M,αM)是一個平凡Hom-超模,即m·l=0,那么

    3 Hom-李超代數(shù)的非交換張量積

    a)(n·m)·n′=-(-1)|m||n|[m·n,n′];

    b)(m·n)·m′=-(-1)|m||n|[n·m,m′];

    則稱Hom-作用是相容的.

    例4 如果(H,αH)和(H′,αH′)是Hom-李超代數(shù)(L,αL)的階化Hom-理想,則(H,αH)和(H′,αH′)之間的Hom-作用是相容的.

    a)[m,m′]?αN(n)-αM(m)?m′·n+(-1)|m||m′|(αM(m′)?m·n);

    b)αM(m)?[n,n′]-(-1)|n′|(|m|+|n|)(n′·m?αN(n))+(-1)|m|n|(n·m?αN(n′));

    c)(n·m)?(m·n),其中|m|=|n|;

    d)(-1)|m|n|(n·m)?(m′·n′)+(-1)(|m|+|n|)(|m′|+|n′|)+|m′|·|n′|(n′·m′)?(m·n);

    e)(-1)(|m|+|n|)(|m″|+|n″|)+|m|m|+|m′||n′|[n·m,n′·m′]?(m″·n″)+C·P·((m,n),(m′,n′),(m″,n″));

    其中C·P·((m,n),(m′,n′),(m″,n″))是(m,n),(m′,n′),(m″,n″))的輪換.

    命題1 商向量超空間(M?N)/D(M,N)有括積運算

    [m?n,m′?n′]=-(-1)|m||n|(n·m?m′·n′)

    (3)

    和由αM?N誘導(dǎo)的自同態(tài)映射(M?N)/D(M,N)→(M?N)/D(M,N),則(M?N)/D(M,N)是一個Hom-李超代數(shù).

    證明 很明顯αM?N是對D(M,N)中的元素和式(3)所定義的括積運算保持封閉的,而這個括積和(M?N)/D(M,N)上定義的關(guān)系是一致的,并且可以從生成元擴展到任意元素.由于(M,αM)和(N,αN)間的相互的Hom-作用是相容的,則通過直接計算可知式(3)的運算滿足定義1的(a)式和(b)式.

    定義12 (M?N)/D(M,N)稱為Hom-李超代數(shù)(M,αM)和(N,αN)的非交換張量積,為了方便記為(M★N,αM★N),且m?n等價類被記為m★n.

    注:如果αM=IdM和αN=IdN,那么m★n是文獻[9]中的李超代數(shù)M和N的非交換張量積.

    Hom-李超代數(shù)的非交換張量積也可以通過泛性質(zhì)來定義,如下面所示.

    a)h[m,m′],αN(n)]=h(αM(m),m′·n)-(-1)|m|m′|h(αM(m′),m·n);

    b)h(αM(m),[n,n′])=(-1)|n′|(|m|+|n|)h(n′·m,αN(n))-(-1)|m|n|h(n·m,αN(n′));

    c)h(n·m,m′·n′)=-(-1)|m||n|[h(m,n),h(m′n′)];

    d)h°(αM×αN)=αL°h;

    則稱h是一個Hom-李超對.

    例5

    a)如果αL=IdL,αM=IdM和αN=IdN,那么定義13 就是文獻[9]中李超對的定義.

    b)設(shè)(M,αM)和(N,αN)是Hom-李超代數(shù)(L,αL)的兩個階化Hom-理想,那么雙線性映射h∶(M×N,αM×αN)→(M∩N,αM∩N),滿足h(m,n)=[m,n]是一個Hom-李超對.

    定義14 對一個Hom-李超對h∶(M×N,αM×αN)→(L,αL),如果對任意其它一個Hom-李超對h′∶(M×N,αM×αN)→(L′,αL′),存在唯一一個Hom-超代數(shù)同態(tài)映射θ∶(L,αL)→(L′,αL′),滿足θ°h=h′,那么稱h是廣泛的.

    這種情形下,如果h是廣泛的,那么(L,αL)由(M,αM)和(N,αN)和它們的Hom-作用所決定的同構(gòu)映射唯一確定.下面我們用Hom-李超代數(shù)的非交換張量積來描述它.

    a)λ(m?n)=λm?n=m?λn;

    b)(m+m′)?n=m′?n,其中m,m′有相同的階;

    m?(n+n′)=m?n+m?n′,其中n,n′有相同的階;

    c)[m,m′]?αN(n)=αM(m)?m′-n-(-1)|m|m′|(αM(m′)?m·n),

    (αM(m)?[n,n′])=(-1)|n′|(|m|+|n|)(n′·m?αN(n))-

    (-1)|m|n|(n·m?αN(n′)),d)[m?n,m′?n′]=-(-1)|m||n|(n·m?m′·n′).

    命題2 如果Hom-李超代數(shù)(M,αM)和(N,αN)彼此平凡作用,且αM和αN是滿同態(tài),那么(M★N,αM★N)是一個交換Hom-李超代數(shù)且存在一個同構(gòu)映射:

    (M★N,αM★N)?(Mab?Nab,αMab?Nab),

    其中Mab=M/[M,M],Nab=N/[N,N]且αMab?Nab是由αM和αΝ所誘導(dǎo)的.

    如果f∶(M,αM)→(M′,αM′)和g∶(N,αN)→(N′,αN′)是Hom-李超代數(shù)同態(tài)映射,并且(M,αM)和(N,αN),(M′,αM′)和(N′,αN′) 間的Hom-作用是相容的,使得f,g保持這些Hom-作用封閉,即:

    則存在一個Hom-李超代數(shù)的同態(tài)

    f★g∶(M★N,αM★N)→(M′★N′,αM′★N′),

    滿足(f★g)(m★n)=f(m)★g(n).

    [f(m1)★n1,m2★n2)=-(-1)|m1||n|f(n1·m1)★m2·n2∈Im(f★idN).

    因此g★idN誘導(dǎo)了一個分解:

    事實上,這是一個Hom-李超代數(shù)同構(gòu)映射,有反過來的映射:

    命題4 如果(M,αM)是一個Hom-李超代數(shù)(L,αL)的階化Hom-理想,則存在一個Hom-李超代數(shù)短正合列:

    證明 我們知道是由投射(L,αL)→(L/M,αL/M)誘導(dǎo)出的一個函子同態(tài),顯然它是一個滿射.令σ′:(M★L(fēng),αM★L(fēng))→(L★L(fēng),αL★L(fēng))和σ″:(L★M,αL★M)→(L★L(fēng),αL★L(fēng))是兩個由內(nèi)射(M,αM)(L,αL)和恒等映射(L,αL)→(L,αL)誘導(dǎo)的函子同態(tài),知σ為單射.對任意的x∈M★L(fēng)和y∈L★M,令σ(x,y)=σ′(x)+σ″(y),這樣是一個Hom-李超代數(shù)同態(tài),τ°σ是一個平凡同態(tài).而Im(σ)是由元素m★l和l★m所生成的,其中齊次元素m∈M,l∈L.同時由公式(3) 知,它是一個(L★L(fēng),αL★L(fēng))的階化Hom-理想.現(xiàn)在我們定義一個Hom-李超代數(shù)同態(tài)映射:

    τ′:(L/M★L(fēng)/M,αL/M★L(fēng)/M)→(L★L(fēng),αL★L(fēng))/Im(σ).

    [1]HartwigJ,LarssonD,SilvestrovS.DeformationofLiealgebrasusingσ-derivations[J].JournalofAlgebra, 2006, 295(2): 314-361.

    [2]Ammar F, Makhlouf A. Hom-Lie superalgebras and Hom-Lie admissible superalgebras[J].Journal of Algebra, 2010, 324(7): 1513-1528.

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    [4]Ammar F, Ayadi I, Mabrouk S, Makhlouf A. Quadratic color Hom-Lie algebras [J].Journal of Xinyang Normal University, 2012, 376(4): 174-195.

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    [8]李樂,徐曉寧.模李超代數(shù)的偶部生成元[J].瓊州學(xué)院學(xué)報,2015,22(2):1-5.

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    [10]Casas J, Khamaladze E, Rego N. A non-abelian tensor product of Hom-Lie algebras [J].Bulletin of the Malaysian Mathematical Society, 2014(2): 1-20.

    (編校:曾福庚)

    Homology and Non-abelian Tensor Product of Hom-Lie Superalgebras

    WANG Han, ZHANG Qing-cheng

    (School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China)

    The definition of non-abelian tensor product of Hom-Lie superalgebras was proposed, and some important properties about homology of Hom-Lie superalgebras and non-albelian tensor product of Hom-Lie superalgebras were obtained. Thus, these results enriched the theory of Hom-Lie superalgebras.

    Hom-Lie superalgebras; homology; non-abelian tensor product

    2016-07-07

    國家自然科學(xué)基金資助項目(11171055);吉林省自然科學(xué)基金資助項目(20130101068JC)

    王涵(1990-),女,黑龍江佳木斯人,東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2014級基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士研究生,主要研究方向為李理論.

    張慶成(1960-),男,吉林長春人,東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授,博士,主要研究方向為李理論.

    O152.5

    A

    1008-6722(2016) 05-0044-06

    10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.09

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