屈改珠
(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,陜西渭南 714000)
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高階非線性薄膜方程的李對稱分析
屈改珠
(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,陜西渭南 714000)
利用李群分析方法研究了高階非線性薄膜方程.首先,利用無窮小生成元方法得到了該方程的李代數(shù)及其最優(yōu)系統(tǒng),然后對方程進行約化,最后獲得了一些具有特定物理意義的相似解.
高階非線性薄膜方程;李對稱分析;不變解
對稱群方法[1-7]是約化并求解非線性偏微分方程的有效方法之一,它是由挪威數(shù)學(xué)家Sophus Lie于19世紀(jì)末提出的,稱作經(jīng)典李對稱群方法.該方法已廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)、物理、工程以及非線性科學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域,并產(chǎn)生了深遠的影響.李對稱群方法不僅可以研究方程的群理論性質(zhì),還可以得到與方程的完全可積性相關(guān)的某些數(shù)學(xué)特征.
本文利用李對稱群方法研究2m階非線性薄膜方程
(1)
1.1 方程(1)的李對稱分析
下面利用李對稱群方法研究2m階非線性薄膜方程(1).假定方程(1)的解集在單參數(shù)李群變換
(2)
下是不變的,且
(3)
這里Dt,Dx分別表示關(guān)于t和x的全導(dǎo)數(shù)算子,即
上述變換群的無窮小生成元為
(4)
(5)
將(3)式代入(5)式,同時結(jié)合方程(1)消去ut,根據(jù)u的不同階導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)函數(shù)為零經(jīng)計算整理可得關(guān)于未知函數(shù)ξ,τ,η的超定系統(tǒng):
(6)
考察以下三種情形.
(A)f(u)為任意函數(shù).解方程組(6)可得
相應(yīng)的3維李代數(shù)為:
(7)
(B)f(u)=up.解方程組(6)可得
相應(yīng)的4維李代數(shù)為:
(8)
(C)f(u)=eau(a≠0).解方程組(6)可得
相應(yīng)的4維李代數(shù)為:
(9)
1.2 方程(1)的優(yōu)化系統(tǒng)
以下根據(jù)方程(1)允許的李對稱及其交換關(guān)系,算出相應(yīng)的伴隨作用表示,進而利用群分析理論,給出方程(1)的優(yōu)化子代數(shù).
(A)f(u)為任意函數(shù).方程(1)的3維子代數(shù)由V1,V2和V3構(gòu)成,并有交換關(guān)系
將上面的李代數(shù)運算結(jié)果代入到伴隨作用公式
中,得到生成元(7)對應(yīng)的伴隨作用為
AdV1V2V3V1V1V2V3-12mεV1V2V1V2V3-εV2V3e12mεV1eεV2V3
設(shè)V=a1V1+a2V2+a3V3,為了進一步簡化該向量,考慮下面幾種情形:
綜上所述,當(dāng)f(u)為任意函數(shù)時,方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)為V1,V3,V2+μV1.
(B)f(u)=up.方程(1)的4維子代數(shù)由V1,V2,V3,V4構(gòu)成,并有交換關(guān)系
其對應(yīng)的伴隨作用表示為
AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4
(C)f(u)=eau(a≠0).方程(1)的4維子代數(shù)由V1,V2,V3,V4構(gòu)成,并有交換關(guān)系
其對應(yīng)的伴隨作用表示為
AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4
類似情形A計算方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)的過程,我們得到其他兩種情形的最優(yōu)系統(tǒng),結(jié)果見表1.
2.1 方程(1)的相似約化
利用表1的最優(yōu)系統(tǒng)我們得到方程(1)的三種情形對應(yīng)的對稱約化和群不變解,約化所得方程為常微分方程,分別由表2、表3、表4給出.
表1 方程(1)的優(yōu)化系統(tǒng)
表2 f(u) 為任意函數(shù)時方程(1)的對稱約化
表3 f(u)=up 時方程(1)的對稱約化
表4 f(u)=eau 時方程(1)的對稱約化
2.2 方程(1)的不變解
利用表1~4中的約化方程可以導(dǎo)出方程(1)的一些不變解,在此,我們僅就某些具有特定物理意義的相似解加以討論[9,11].
(A)Source 解和sink 解.
因此,如果p>-2m,則當(dāng)t→0時,u(x,t)→δ(x),且相似解為source解;如果p<-2m,則當(dāng)t→+∞時,u(x,t)→δ(x),且相似解為sink解.同時對相應(yīng)的常微分方程關(guān)于z積分一次,得到(2m-1)階常微分方程
(10)
所以當(dāng)f(u)=up時,高階薄膜方程(1)被約化為(2m-1)階常微分方程(10),且具有source解和sink解.
對表3中的情形5,我們?nèi)=-2m,則相似解具有如下形式
因此,如果μ>0,則當(dāng)t→-∞時,u(x,t)→δ(x),且相似解為source解;如果μ<0,則當(dāng)t→+∞時,u(x,t)→δ(x),且相似解sink解.對相應(yīng)的常微分方程關(guān)于z積分一次,得到(2m-1)階常微分方程
(11)
所以當(dāng)f(u)=up時,高階薄膜方程(1)被約化為(2m-1)階常微分方程(11),且具有source解和sink解.
(B)Waiting-time解.
表3中的情形1為一階常微分方程,求解后得到高階薄膜方程(1)具有waiting-time解
其中t0為任意常數(shù).
(C)Blow-up解.
表4中的情形1為一階常微分方程,求解后,得到高階薄膜方程(1)具有解
本文利用李群分析方法討論了2m階薄膜方程(1),得到了該方程的李對稱、最優(yōu)系統(tǒng)、相似約化以及群不變解,進一步分析了方程的一些具有特定物理意義的相似解.對方程(1)的其他對稱約化求解方面的研究,如非古典對稱、勢對稱、非局域?qū)ΨQ、勢守恒律等,應(yīng)是很有意義的后續(xù)工作.
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(責(zé)任編輯 馬宇鴻)
Lie symmetry analysis of a higher-order thin film equation
QU Gai-zhu
(School of Mathematics and Physics,Weinan Normal University,Weinan 714000,Shaanxi,China)
In this paper,Lie symmetry analysis approach is developed to study a higher-order nonlinear thin film equation.Using the infinitesimal generators,the Lie algebras and its optimal systems of the higher-order thin film equation are derived.The equation is then reduced to the ordinary differential equations.As a result,some physical interest solutions are obtained and discussed.
higher-order nonlinear thin film equation;Lie symmetry analysis;invariant solution
10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.004
2016-04-08;修改稿收到日期:2016-06-22
國家自然科學(xué)基金資助項目(11371293,11501419);陜西省軍民融合項目(15JMR20);渭南師范學(xué)院理工類科研項目(16ZRRC05);渭南師范學(xué)院校級特色學(xué)科建設(shè)項目(14TSXK02)
屈改珠(1978—),女,陜西蒲城人,講師,博士.主要研究方向為偏微分方程.E-mail:qugaizhu.hi@163.com
O 175.2
A
1001-988Ⅹ(2016)06-0018-04