雙隨機復合泊松損失下巨災債券定價與數(shù)值模擬

馬宗剛, 鄒新月, 馬超群

(1.廣東財經大學金融學院，廣東 廣州 510320；2.湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

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雙隨機復合泊松損失下巨災債券定價與數(shù)值模擬

馬宗剛1, 鄒新月1, 馬超群2

(1.廣東財經大學金融學院，廣東 廣州 510320；2.湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

上世紀90年代出現(xiàn)的巨災債券是以規(guī)避巨災財產損失為目的的新型非傳統(tǒng)風險轉移金融創(chuàng)新工具之一，在我國有良好的發(fā)展前景。本文針對巨災風險事件呈現(xiàn)出周期性與不規(guī)則的上升特征，構建了BDT過程用以刻畫巨災風險的抵達過程，并基于風險中性測度技術，在隨機利率環(huán)境與雙隨機復合泊松損失條件下, 導出了巨災債券定價公式。進而結合倫敦同業(yè)銀行拆借利率數(shù)據(jù)與美國保險服務所提供的PCS損失指數(shù)估計并校正了模型參數(shù)。最后,通過數(shù)值模擬檢驗了利率風險與巨災風險如何影響巨災債券的價格，同時驗證了定價模型的可行性。

巨災債券;雙隨機泊松過程;BDT強度; 廣義極值分布

1 引言

近二十年來全球各地發(fā)生了一系列巨災風險事件,比如美國的安德魯颶風、北嶺地震, 卡特里娜颶風以及2012年的桑迪颶風, 2004年印度尼西亞蘇門答臘島地震并引發(fā)的海嘯, 2005年南亞大地震, 2008年中國汶川大地震, 2011年智利大地震與東日本大地震等等, 這些巨災風險事件給人類造成了巨大的人員傷亡與財產損失。而且政府間氣候變化專門委員會第四份評估報告(2007)預測21世紀全球出現(xiàn)極端災害的頻率可能會持續(xù)增加。面對日益嚴峻的世界氣候變化，傳統(tǒng)的保險與再保險風險分散工具，由于其自身承保能力的有限性和風險轉移模式的局限性已越來越不能滿足巨災風險分散的需求[1]。

為了擴大巨災再保險市場的承保容量, 近年來出現(xiàn)了一些新型的風險轉移工具,即把承保巨災保險的部分風險通過金融創(chuàng)新工具轉移到強大的資本市場。巨災債券就是目前巨災風險衍生產品中發(fā)展最成功、最重要的金融創(chuàng)新工具之一。漢諾威再保險公司于1994年成功發(fā)行第一只價值八千五百萬美元的巨災債券。東京迪士尼樂園針對樂園所在地區(qū)可能發(fā)生地震的風險, 在1999年發(fā)行了只涉及地震風險的巨災債券, 這是第一只由非金融公司成功發(fā)行的巨災債券[2]。近年來, 巨災債券市場已經得到了迅猛發(fā)展, 種類繁多的巨災債券已經得到成功發(fā)行。由于它是一種零貝塔資產，具備降低投資組合風險的優(yōu)點, 因此巨災債券也越來越備受機構投資者的青睞[3]。據(jù)Artemis資本有限公司統(tǒng)計，截至2015年9月11日，債券市場上總共有249.79億美元未償付巨災債券。

巨災債券能否成功發(fā)行，公平定價極為關鍵。然而巨災債券不僅在結構特征上具備金融衍生產品的屬性，也在邏輯特征上具有保險產品的屬性，這種雙重屬性特征使得它的估值問題面臨較大困難。而又由于巨災風險造成的累積損失過程存在著跳躍風險并且標的風險具有不可交易性，因此巨災債券的支付也就不能由傳統(tǒng)的債券或者股票的組合進行對沖，一個不完全市場的假設就不可避免，這就意味著存在多個風險中性測度，從而導致巨災債券價格理論上不唯一。同時又由于巨災風險事件發(fā)生的頻率以及造成的損失規(guī)模難以預測，這給巨災債券定價帶來了極大困難，因此巨災債券發(fā)展至今尚未形成成熟的定價理論體系。Geman與Yor[4]指出巨災風險衍生品定價方法論主要包含三個要素: 第一要素是巨災累積損失的隨機模型選擇；第二要素是確定利用金融定價方法還是精算定價方法；第三要素為定價模型中的隨機源和等價鞅測度的確定。因此關于巨災債券的定價方法研究大致可以分為三類：第一類是以Cox 與 Pedersen[5], 李永等[6]為代表均衡定價模型；第二類是以Lee 與 Yu[7]、Vaugirard[8]以及Lai等[9]為代表的無套利定價方法；第三類是以Wang[10]與Galeotti等[11]為代表的基于精算方法實證定價研究。

然而為了便于模型推導，目前大多數(shù)文獻對模型作了簡化處理，但是這種簡化處理通常會引起以下問題：第一、不考慮隨機利率因素的影響，直接假定利率為常數(shù)利率，如H?rdle與Cabrera[12]等；第二、假定巨災風險的抵達強度為確定性函數(shù)，如Lee 與 Yu[7]、Vaugirard[8]等，這并不符合巨災風險事件存在周期性變化、波動較大且逐漸呈遞增的趨勢等特征。因此本文針對以上存在的問題提出一種簡單的未定權益定價模型用來估計巨災債券價格, 并且利用美國保險服務所提供的巨災財產保險損失指數(shù)與12個月LIBOR每日美元報價數(shù)據(jù)估計并校正了模型參數(shù), 進一步通過數(shù)值模擬結果表明求得的債券價格與客觀現(xiàn)實情況是保持一致的，從而驗證了模型的可行性。

2 模型設定與構建

2.1 估值理論

在缺乏套利機會的金融市場, 未定權益{CT:T>t}在t時刻的價值為:

Vt=EtQ(D(t,T)CT|Ft)

(1)

2.2 利率動態(tài)過程

本文選用的利率模型遵循CIR模型(所謂CIR模型為Cox-Ingersoll-Ross模型的縮寫)[13]，即期限為T面值為1的零息票債券的價格過程{V(t,T)}滿足如下隨機微分方程:

(2)

其中:

則利率風險的市場價格Λt可以表示為:

(3)

其中λr是一個確定利率風險市場價格的參數(shù), 在本文中假設為常數(shù)。

則在客觀概率測度P下，短期利率過程{rt}遵循平方根過程，滿足如下隨機微分方程:

(4)

其中κ>0是均值回復率，θ>0是利率長期均值(常數(shù))，σ是波動率，Wt表示一個標準布朗運動。

對于金融衍生品定價, 通常要用到風險中性定價測度, 為此要構造一個等價鞅測度。首先定義一個新的過程Wt*, 其表達式為:

(5)

其中gs在變換中是一個核, 風險市場價格Λs被定義為Girsanov核gs的負數(shù)。

Randon-Nikodym導數(shù)為:

(6)

定義測度Q滿足:

(7)

由Girsanov定理可知Q是P的等價鞅測度, 且Wt*仍為一個標準的布朗運動。則由Girsanov定理可以得到:

(8)

其中α為一個隨機過程。

重新整理(8)可以得到:

(9)

因此在風險中性測度Q下, 利率過程轉化為:

(10)

其中, κ*=κ+λr

2.3 累積索賠動態(tài)過程

巨災保險累積損失分布是一個復合分布, 主要包含兩個部分：巨災風險發(fā)生的頻率以及由巨災造成的財產保險損失(Tse[14])。本文遵循Aase[15]的建模方法，假定巨災財產保險累積損失過程服從復合泊松過程。關于巨災財產保險累積損失過程有一些假定條件：

(1)在巨災債券合約指定區(qū)域存在一個泊松點過程{Nt}t∈[0,T]用以刻畫巨災風險事件流，假定泊松點過程的強度為有界可料過程mt,并且使用時間0≤t1≤…≤tj≤…≤T表示潛在發(fā)生的巨災風險事件；

(2)當累積索賠Lt超越門限水平D時, τ=inf{t:Lt≥D}表示觸發(fā)事件發(fā)生的時間；

(3)由巨災風險事件流{tj}j=1,…造成的財產保險損失{Xj}j=1,…為獨立同分布(i.i.d.)的隨機變量, 其分布函數(shù)為F(x)=P{Xj

因此定義一個左連續(xù)可測過程為:

(11)

其中Nt與Xj被假定為相互獨立的。

2.4 巨災債券定價模型

由于巨災造成的財產保險損失過程中存在跳躍風險, 很顯然市場為非完全的市場, 即沒有唯一的等價鞅測度。因此不能使用組合復制方法對巨災債券進行定價。而對于非完全市場存在很多方法選取等價鞅測度用來估值未定權益資本，比較流行的方法是Merton[16]測度以及Gerber與Shiu[17]提出的Esscher變換方法。程鋮等[18]基于Esscher變換給出了巨災指數(shù)期權定價一般解析表達式，而本文選取Merton測度, 假設跳躍風險是可分散的, 也就是說, 小范圍發(fā)生的巨災對整個經濟環(huán)境只有部分影響, 巨災對資本市場的沖擊為非系統(tǒng)風險，則投資者的期望收益等價于無風險利率, 即零風險溢價。這種假設是非常重要的, 如果跳躍風險是系統(tǒng)的, 則無法使用風險中性估值理論進行定價(Lee 與 Yu[7]，Vaugirard[8]等)。關于這條假設也是有其現(xiàn)實依據(jù)，Yago與 Reiter[19]、Cummins 與 Weiss[20]等通過實證研究表明巨災風險屬于零貝塔事件，巨災衍生品和金融市場其他類資產相關性非常低，可視為非系統(tǒng)風險。本文進一步假定, 在風險中性測度下，僅依賴金融事件的變量獨立于僅依賴巨災風險的變量，并且累積索賠過程從客觀概率轉變?yōu)轱L險中性測度的過程中依然保持最初的特征結構。

本文考慮面值為1, 期限為T的零息票巨災債券，其支付結構被定義為:

(12)

其中D為債券合約中指定的門限值；LT為到期T時累積索賠；p為債券合約中在到期T時當累積索賠超越門限值D時約定的支付比例。這就是說當債券到期時，若巨災風險造成的累積損失超越預先指定的門限水平時，巨災債券發(fā)行公司有權保留部分甚至全部銷售債券所得的收益；反之，到期時支付債券面值給投資者。

若沒有發(fā)生觸發(fā)合約事件，則投資者收到的面值中包含本金、以倫敦同業(yè)銀行拆借利率(LIBOR)為基準的浮動利率以及價差。也可以認為全部利息(Total Coupon Rate)是以LIBOR為基準的浮動利率與超過浮動利率的價差(Spread)之和，即Total coupon rete%=LIBOR%+Spread%。

則面值為1的零息票巨災債券在風險中性測度Q下, 門限值為D, 巨災事件流為Nt, 損失分布為F(x), 期限為T, 在時刻t的價格為:

(13)

(14)

其中，F(xiàn)*n(D)=Pr(X1+X2+…+Xn≤D)表示F與本身的n重卷積, EQ表示風險中性測度下的期望:

ZCIR(t,T)=A(t,T)e-B(t,T)rt

(15)

(16)

(17)

(18)

3 定價模型中的參數(shù)估計

3.1 數(shù)據(jù)說明與處理

本文選取美國巨災從1985年1月1日到2010年12月31日造成的財產保險損失數(shù)據(jù)為研究樣本, 共770個巨災損失觀測值與780次巨災風險事件。數(shù)據(jù)來源于美國財產保險服務所(ISO’S PCS)?？紤]到通貨膨脹的影響, 所有的巨災數(shù)據(jù)通過美國勞工部發(fā)布的消費價格指數(shù)被調整為2010年物價水平。圖1給出了美國從1985年到2010年PCS損失指數(shù)與巨災發(fā)生次數(shù)的季度與年度數(shù)據(jù)。從圖1可以看到, 巨災發(fā)生次數(shù)的年度與季度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的周期性與季節(jié)性。

圖1 季度與年度的PCS損失指數(shù)與巨災次數(shù)

首先考察財產保險損失數(shù)據(jù)的對數(shù)柱狀圖，從圖2可以清楚看出PCS財產保險損失數(shù)據(jù)的圖形有右偏的厚尾行為。接著表1列出了一些財產巨災保險損失數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計量。從表 1可以看出, PCS損失數(shù)據(jù)存在明顯的“厚尾”特征(峰度大于3, 方差非常大), 同時也具有右偏形態(tài)(偏度大于0),Jarque-Bera統(tǒng)計量為1, 拒絕正態(tài)分布的假設。為進一步考察巨災財產保險損失數(shù)據(jù)的行為特征，將采用QQ(Quantiles-Quantiles)圖與平均超限函數(shù)(Mean Excess Function, MEF)圖分析法。從圖3與圖4明顯看出QQ圖的尾部行為呈現(xiàn)上凸形狀，而mef圖也呈現(xiàn)向上趨勢，從而這些數(shù)據(jù)點具備厚尾特征。

圖2 PCS損失指數(shù)對數(shù)柱狀圖

圖3 PCS損失指數(shù)的Q-Q圖

圖4 平均超限函數(shù)圖

統(tǒng)計量百分位統(tǒng)計量樣本數(shù)770最小值0.07034均值5.05165%0.2524方差554.8210%0.3577標準差23.55525%(Q1)0.65832變異系數(shù)4.662850%(Median)1.3618標準誤差0.8488575%(Q3)2.7562偏度13.09490%6.9632超值峰度210.3295%12.925Jarque-Bera1(0.01)最大值458.88

注:()中是Jarque-Bera統(tǒng)計量的p值。

3.2 財產損失分布

由于PCS損失數(shù)據(jù)表現(xiàn)出“厚尾”特征,因此本文將采用極值理論模型中的廣義極值分布(Generalized Extreme Value Distribution, GEV)擬合這些PCS損失指數(shù)是可行的。廣義極值分布的累積分布函數(shù)為:

(19)

其中α,σ>0,μ分別為分布函數(shù)的形狀參數(shù), 尺度參數(shù), 位置參數(shù)。

首先采用塊最值法(Block Maxima Method, BMM )對1985年1月1日到2010年12月31日PCS損失數(shù)據(jù)進行分塊，選擇6個月為一周期，把這些數(shù)據(jù)分成52塊，選取每個周期內的數(shù)據(jù)最大值重新構成一組觀測變量。為了說明極值分布擬合性能優(yōu)越性，本文將選取其他兩種經典的厚尾分布(如兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布與威布爾分布)與之比較。通過應用極大似然估計方法估計分布函數(shù)的參數(shù)，結果被顯示在表2。

表2 分布函數(shù)參數(shù)的估計值

注: 52個樣本數(shù)為BMH方法選取的觀測數(shù)據(jù)。

進一步利用統(tǒng)計檢驗方法對GEV分布與兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的擬合數(shù)據(jù)效果進行比較。表3列出了損失分布的統(tǒng)計檢驗結果。從表3可以看出GEV擬合效果最好。而根據(jù)糾正的赤池信息準則(Corrected Akaike′s Information Criteria, AICc)與貝葉斯信息準則(Bayesian Information Criteria, BIC)，計算結果如表4所示, 同樣顯示GEV分布有最小的AICc與BIC值，因此它表現(xiàn)的性能最好。所以GEV分布作為定價模型中的損失分布是非常適宜的。

3.3 索賠抵達強度

在保險精算領域，泊松過程已經被廣泛應用于形容巨災財產保險索賠的抵達過程, 同時也被應用于巨災風險衍生品的定價研究[6-8]。然而隨著全球氣候不斷變暖，非預期的巨災風險事件也非常有可能隨時間呈上升趨勢。從圖1可以清楚看出PCS提供的美國1985-2010年間巨災風險事件統(tǒng)計數(shù)據(jù)并不單純是時間的函數(shù)，因此采用確定性強度函數(shù)(Deterministic Intensity)的(非)齊次泊松過程建模巨災風險事件抵達過程顯然是不充分的。部分學者通過實證研究表明雙隨機泊松過程比純泊松過程更適宜刻畫巨災風險抵達過程[21-22]。因為在雙隨機泊松過程條件下，巨災風險抵達強度函數(shù)被假定為隨機的時間函數(shù)，它不僅允許假定巨災風險事件的發(fā)生為周期性行為，這在一定程度上也符合現(xiàn)實(夏天更容易發(fā)生颶風、臺風以及洪水等災害，而冬天更容易發(fā)生暴風雪、冰凍等災害)，而且還假定巨災風險事件的發(fā)生是一個隨機過程，很顯然該過程更適宜刻畫巨災風險抵達過程。為了刻畫出巨災風險事件的周期性變化、波動較大且逐漸呈遞增趨勢等特征，本文構建的隨機強度函數(shù)mt服從Black-Derman-Toy(BDT)模型(Black等[23])。其表達式為如下隨機微分方程：

表3 分布函數(shù)的統(tǒng)計檢驗

注: KS表示Kolmogorov-Smirnov檢驗, AD表示Anderson-Darling檢驗，p值表示檢驗樣本(test statistic)觀察值的最低顯著性差異水平，CV表示臨界值，()中的值表示在顯著水平α=0.05下的檢驗臨界值。

表4 分布函數(shù)的性能評價

注：AICc表示糾正的赤池信息準則，BIC表示貝葉斯信息準則，它們的值越小說明分布函數(shù)的性能越好。

表5 強度函數(shù)擬合優(yōu)度性能評價

注：最優(yōu)值以黑體字標注。

dln(mt)=α(t)dt+νdWt

(20)

其中α(t)為時間t的非隨機函數(shù)，ν為非負常數(shù)，Wt為標準的布朗運動。

為了刻畫mt的周期性行為，設定α(t)為時間t的周期性函數(shù)，即：

α(t)=a+bsin2(t+c)

(21)

其中a>0,b,c均為常數(shù),且a>b。

首先對方程(20)兩端取對數(shù)，獲得瞬間短期強度的精確解：

(22)

從而可以導出：

(23)

為簡化計算，假定ν=0。結合美國巨災從1985年1月1日到2010年12月31日發(fā)生的巨災風險次數(shù), 本文應用非線性最小二乘法估計出強度函數(shù)的參數(shù)分別為m0=32.34，a=0.059,b=-1.335,c=-1.0814。本文同時估計了Lin et al.[26]一文中提出的均值回復強度函數(shù)為λt=33.0858e-0.008(t-1)以及常強度λ=30。為了體現(xiàn)本文構造隨機強度函數(shù)的優(yōu)越性，將采用均方誤差RMSE、平均絕對誤差MAE、Theil's不等式系數(shù)U、效率系數(shù)E以及符合指數(shù)d等五種擬合優(yōu)度指標判別這三種強度函數(shù)的性能。擬合優(yōu)度評價結果被顯示在表5。很明顯，mt有更小的RMSE,MAE與U值, 但是E與d的值卻最大, 因此它的性能表現(xiàn)為最好。

圖5 零息票巨災債券關于期限T與門限值D的價格曲面

圖6 息票巨災債券在隨機利率與常利率之間價格差曲面

4 數(shù)值模擬

為了簡化計算,本文估計零息票巨災債券面值為1美元在0時刻的債券價格。 首先假定巨災債券合約到期區(qū)間為T∈[0.5,2.5](單位,年), 門限水平為D∈[1000,2500] (單位,千萬美元,D的取值是由半年到兩年的巨災財產保險損失平均值確定)。市場風險參數(shù)λ設為-0.01。p被設為0.5, 即在合約期內,如果累積財產保險索賠超越門限水平,則到期只支付債券面值的一半。

選取2001年1月1日到2014年6月25日的12個月LIBOR每日美元報價數(shù)據(jù)，采用極大似然估計方法得到CIR利率模型中的參數(shù)值為(κ,θ,σ)=(0.235,0.00704,0.0402)。無風險利率數(shù)據(jù)來源于官方網(wǎng)站(http://research.stlouisfed.org/fred2/series/USD12MD156N/downloaddata)。本文r0取值超過2014年6月25日的12個月LIBOR報價數(shù)據(jù)0.5471%的價差3.5%作為初始利率，即為4.0471%。

現(xiàn)在利用蒙特卡洛模擬方法估計零息票巨災債券的價格。圖5描繪了在CIR利率模型以及廣義極值分布分布、隨機泊松強度mt的條件下零息票巨災債券關于到期期限T與門限水平D的價格曲面。從圖5可以看出隨著合約期限T的增加, 巨災債券的價格隨之降低; 隨著門限水平D的升高將導致更高的債券價格。這與實際情況是一致的, 時間的增加將要求更高的利息, 門限水平的升高將降低風險補償。從價格曲面圖也可以看出在開始的一段時間內，隨著時間的增加, 債券價格比較平緩的降低, 這是因為隨著時間的增加即使收到更多的利息, 但是巨災風險發(fā)生的概率也隨之增高, 也就是說部分利息被巨災風險抵消了; 然而，達到一定的時間，債券價格突然降低，這是因為觸發(fā)債券合約的概率突然增大，要求風險補償也會隨之增多。

為了考察隨機利率對巨災債券價格的影響, 在定價模型中考慮一個常利率，其利率為一個連續(xù)復合年折現(xiàn)率r=ln(1+r0), 即為0.0397。圖6顯示了零息票巨災債券在CIR利率模型條件下與常利率之間價格差。在期限T∈[0.5,2.5], 門限值D∈[1000,2500]內, 從圖6可以看出零息票巨災債券在CIR利率模型條件下與常利率之間的價格差從0.0004779變化到0.0143,也就是說隨著合約期限的增加，常利率持續(xù)相對高估零息票巨災債券的價格，并且高估程度隨著合約期限的增加而變得更加嚴重。顯著的價格差表明利率的不確定性是影響債券價格的一個重要因素, 因此定價零息票巨災債券時利率風險應當被充分考慮。

下一步通過列表考察巨災損失分布的尺度參數(shù)σX與隨機強度的波動率ν對零息票巨災債券價格的影響，結果顯示在表6。從表可以清楚看出在相同的損失分布的尺度參數(shù)σX與隨機強度的波動率ν假設下，零息票巨災債券價格隨著門限水平D的增大而升高。在相同的門限水平D條件下，隨著隨機強度的波動率ν或者損失分布的尺度參數(shù)σX增大，巨災債券的價格隨之降低，這說明隨機強度的波動率ν與損失分布的尺度參數(shù)σX越大，觸發(fā)合約的概率就越高，要求額外的巨災風險補償就越高。

表6 兩年期零息票巨災債券在0時價格

5 結語

我國不僅面臨著所有潛在的巨災風險，而且管理巨災風險的手段卻極其單一，主要依賴于政府財政撥款與救濟，因此我國建立多層次巨災風險管理體系很有必要。巨災債券就是一種非傳統(tǒng)風險轉移工具，通過發(fā)行巨災債券把巨災風險轉移到強大的資本市場。墨西哥自然災害資金(FONDEN)為應對地震與颶風的風險分別于2006、2009、2012年成功發(fā)行了三只巨災債券，這給同是發(fā)展中國家的我國提供了良好的范例。巨災債券可以通過政府、國內保險公司以及國外再保險公司等多方合作實現(xiàn)發(fā)行，共同應對巨災風險，把巨災風險通過金融創(chuàng)新工具轉移到資本市場，實現(xiàn)分散風險的目的。2013年11月12日中國共產黨第十八屆中央委員會第三次全體會議通過《中共中央關于全面深化改革若干重大問題的決定》，完善保險經濟補償機制，建立巨災保險制度，鼓勵金融創(chuàng)新，豐富金融市場層次和產品。目前我國已經初步具備發(fā)行巨災債券的先決條件與國內外市場環(huán)境。因此，積極開展巨災債券定價模型的研究將在一定程度上為我國發(fā)行巨災債券提供技術支持，這樣對提高我國保險公司承保風險能力、彌補我國再保險的不足以及減輕國家財政和社會保障部門的財政壓力都具有重要的現(xiàn)實意義。

本文在風險中性定價測度下導出一種未定權益模型估值巨災債券, 不僅考慮了隨機利率因素的影響，而且構建了BDT模型過程來刻畫巨災風險事件流的抵達率，用以更加貼近描繪巨災風險抵達的演化過程。繼而進一步利用美國保險服務所提供的PCS損失指數(shù)與12個月LIBOR每日報價數(shù)據(jù)估計并校正了定價模型中的參數(shù)。通過數(shù)值實驗結果表明, 巨災債券價格隨著時間的增加而降低, 隨著門限值的增加而升高, 這與現(xiàn)實情況是保持一致的。結果也同時表明利率的不確定性顯著影響巨災債券的價格, 因此估值巨災債券時，利率的不確定性應當被充分考慮。

然而, 需要指出的是,本文還存在一些不足之處, 影響巨災債券價格的因素有很多, 比如債券合約中的道德風險、基差風險等, 本文并沒有充分考慮到這些因素, 這也是本文下一步研究的一個重要方向。

[1] D’Arcy S P，F(xiàn)rance V G. Catastrophe futures: A better hedge for insurers [J]. Journal of Risk and Insurance, 1992,59(4): 575-600.

[2] Cummins J. CAT bonds and other risk-linked securities: State of the market and recent developments [J]. Risk Management and Insurance Review, 2008, 11(1): 23-47.

[3] Doherty N A.Innovations in managing catastrophe risk [J]. Journal of Risk and Insurance, 1997, 64(4):713-718.

[4] Geman H, Yor M. Stochastic time changes in catastrophe option pricing [J]. Insurance: Mathematics and economics, 1997, 21(3): 185-193.

[5] Cox S H, Pedersen H W. Catastrophe risk bonds [J]. North American Actuarial Journal, 2000, 4(4): 56-82.

[6] 李永, 胡帥, 范蓓. 隨機利率下跨期多事件觸發(fā)巨災債券定價研究 [J]. 中國管理科學, 2013,21(5):8-14.

[7] Lee J P, Yu M T. Pricing default-risky CAT bonds with moral hazard and basis risk [J]. Journal of Risk and Insurance , 2002, 69(1): 25-44.

[8] Vaugirard, V. Pricing catastrophe bonds by an arbitrage approach [J]. The Quarterly Review of Economics and Finance, 2003, 43(1): 119-132.

[9] Lai V S, Parcollet M, Lamond B F. The valuation of catastrophe bonds with exposure to currency exchange risk [J]. International Review of Financial Analysis, 2014, 33(5):243-252.

[10] Wang S S. CAT bond pricing using probability transforms [J]. Geneva Papers: Etudes et Dossiers, special issue on Insurance and the State of the Art in Cat Bond Pricing, 2004, 278: 19-29.

[11] Galeotti M, Guertler M, Winkelvos C. Accuracy of premium calculation models for CAT bonds-an empirical analysis [J]. Journal of Risk and Insurance, 2013, 80(2):401-421.

[12] H?rdle W K, Cabrera B L. Calibrating CAT bonds for Mexican earthquakes [J]. Journal of Risk and Insurance,2010, 77(3): 625-650.

[13] Cox J C, IngersollJr J E, Ross S A. A theory of the term structure of interest rates [J]. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1985, 53(2):385-407.

[14] Tse Y. Nonlife actuarial models: Theory, methods and evaluation[M].Cambridge:Cambridge University Press, 2009.

[15] Aase K. An equilibrium model of catastrophe insurance futures and spreads [J]. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 1999, 24(1):69-96.

[16] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous [J]. Journal of Financial Economics, 1976, 3(1-2):125-144.

[17] Gerber H U, Shiu E S. Option pricing by Esschertransforms [J]. Transactions of the Society of Actuaries, 1994, 46:68-88.

[18] 程鋮, 石曉軍, 張順明. 基于Esscher變換的巨災指數(shù)期權定價與數(shù)值模擬 [J]. 中國管理科學, 2014, 22(1): 20-28.

[19] Yago G, Reiter P. Financial innovations for catastrophic risk: CAT bonds and beyond[R]. Financial Innovation Lab Report, 2008，5： 1-48.

[20] Cummins J D, Weiss M A. Convergence of Insurance and Financial Markets: Hybrid and Securitized Risk-Transfer Solutions[J]. Journal of Risk and Insurance，2009，76(3)：493-545.

[21] Cox S H, Fairchild J R, Pedersen H W. Valuation of structured risk management products[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 34(2): 259-272.

[22] Lin S, Chang C, Powers M R. The valuation of contingent capital with catastrophe risks[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 45(1):65-73.

[23] Black F, Derman E, Toy W. A one-factor model of interest rates and its application to treasury bond options[J]. Financial Analysts Journal, 1990, 46(1):33-39.

Pricing Catastrophe Bonds under the Doubly Stochastic Compound Poisson Losses and Numerical Simulation

MA Zong-gang1, ZOU Xin-yue1, MA Chao-qun2

(1.School of Finance，Guangdong University of Finance& Economics, Guangzhou 510320, China； 2.School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China)

Due to an increasing risk of extreme losses caused by value concentration and climate change as well as due to a limited (and volatile) capacity of traditional reinsurance and retrocession markets. Against this background, Alternative risk transfer (ART) intends to provide additional (re)insurance coverage by transferring insurance risks to the capital market, which offers considerably higher capacities and can thus help satisfying the demand. catastrophe risk bonds are by far the most successful and importantART financial innovation，hence have large potential in China. Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)(2013) projections of more frequent and more intense extreme weather events in the 21st century and the occurrence and severity of abnormal climate change presents an irregular cycle with an upward trend. To capture the two catastrophic characteristics, a doubly stochastic Poisson process with Black DermanToy(BDT) intensity is proposed to model the arrival process for catastrophic risk events. The empirical results reveal the BDT arrival rate process is superior to the mean-reverting arrival process due to its larger E and d, and smaller RMSE, MAE and U. Second，to depict extreme features of catastrophic risks, the Block Maxima Method(BMM) in extreme value theory(EVT) is adopted to characterize the tail characteristics of catastrophic risk loss distribution. And then the loss distribution is analyzed and assessed using the graphics technology, the goodness-of-fit test, and model evaluation, it is found that the Generalized Extreme Value(GEV) distribution is the best fit. Furthermore, a pricing formula is derived for catastrophe bonds in a stochastic interest rates environment with the losses following a compound doubly stochastic Poisson process using risk-neutralized measure method. Next, the parameters of the pricing model are estmated and calibrated using the catastrophe loss data provided by the Property Claim Services(PCS) Unit of the Insurance Service Office(ISO) from 1985 to 2010 and 12-Month London Interbank Offered Rate (LIBOR) based on U.S. Dollar. Finally, simulation results verify our model predictions and demonstrate how financial risks and catastrophic risks affect the prices of catastrophe bonds.

catastrophe bonds;doubly stochastic poisson process; Black-Derman-Toy intensity;generalized extreme value distribution

2014-11-12；

2015-07-09

教育部人文社會科學研究青年基金項目(15YJC790074); 廣東省自然科學基金-博士科研啟動項目(2014A030310305); 國家自然科學基金創(chuàng)新研究群體(71521061); 國家自然科學基金資助項目(71273066,71301047,71573056);國家自然科學基金重點資助項目(71431008)

簡介：馬超群(1963-)，男(漢族)，湖南岳陽人，湖南大學工商管理學院院長，教授，博導，研究方向：金融工程與風險管理，E-mail:cqma1998@126.com.

1003-207(2016)10-0035-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.10.004

F830.9

A