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    在解三角形問題中不可小視的簡單性質(zhì)定理和解法細節(jié)

    2016-12-02 21:43黨泉元
    理科考試研究·高中 2016年11期
    關(guān)鍵詞:正弦平分線化簡

    黨泉元

    有關(guān)解三角形的問題,是近幾年高考的熱點,應(yīng)說是一道基礎(chǔ)題,但好多同學(xué)得分不高.就其原因是忽視了簡單而重要的性質(zhì)的應(yīng)用,比如平面幾何中與三角形有關(guān)的性質(zhì)定理不可小視,應(yīng)該予以重視.本文就是對這一問題進行了簡單分析和說明.

    如圖1,在△ABC中,A,B,C分別是邊a,b,c的對角,AD是角A的角平分線,有下面的簡單而又重要的定理及性質(zhì):

    性質(zhì)1A+(B+C)=π; (A+B)+C=π;(A+C)+B=π.

    評注可把三個角看成兩個角,看起來很簡單,但這一變形作用很大,不可小視.

    由性質(zhì)1及由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得到下面的重要性質(zhì):

    性質(zhì)2若兩角互補,則正弦值相等,余弦值互為相反數(shù),正切值互為相反數(shù).即

    sinA=sin(B+C);sinC=sin(A+B);sinB=sin(A+C);cosA=-cos(B+C);cosC=-cos(A+B);cosB=-cos(A+C).

    評注在高考當中我們可以把它當成常見而重要的公式直接用,不僅可避免走很多彎路,還可以節(jié)省時間.

    性質(zhì)3角平分線性質(zhì)定理:ABAC=BDDC.

    性質(zhì)4三角形面積公式:

    S=12bcsinA=12absinC=12acsinB.

    例1(2014全國文科Ⅱ卷17題)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

    (Ⅰ) 求C和BD;

    (Ⅱ) 求四邊形ABCD的面積.

    解(Ⅰ)如圖2,(畫圖可以使問題更直觀形象,讓學(xué)生養(yǎng)成隨時動手畫圖的習(xí)慣,認識圖形的重要性)

    由余弦定理可得

    BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,①

    BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC.②

    又因為cosC=-cosA(性質(zhì)2),

    由①②得cosC=12,故C=60°.

    評注解決這一問題的關(guān)鍵是找到互補兩角A和C的橋梁BD把A和C聯(lián)系起來,在這里必須畫出圖形連接BD,同時利用好兩角互補余弦值互為相反數(shù)這一既簡單又常用的性質(zhì),不可小視這兩個條件,好多同學(xué)忽視了這兩個條件從而無從下手,因此沒得分.

    (Ⅱ)由cosC=12可得cosA=-12,

    再由平方關(guān)系可得sinA和sinC.

    所以S=12AB·DA·sinA+12BC·CD·sinC=23(性質(zhì)4).

    評注解決這一問,只要對平方關(guān)系sin2α+cos2α=1和三角形面積公式熟悉即可.

    例2(2015年全國文科Ⅱ卷17題)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,BD=2DC.

    (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C;

    (Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.

    解如圖3所示,因為AD平分∠BAC,所以可設(shè)∠BAD=∠BAC=α.

    評注這樣設(shè),結(jié)合圖形可以在直觀上簡化問題.

    (Ⅰ)解法一由正弦定理得

    BDsinα=ADsinB①,CDsinα=ADsinC②.

    由②式比①式得

    sinBsinC=CDBD=12.

    評注此處可以用多種方法化簡,應(yīng)仔細觀察并思考可知兩式相比更妙,平時要多訓(xùn)練習(xí),同時要注意AD和α是找到sinB和sinC聯(lián)系的橋梁,牽線搭橋的作用,好多同學(xué)無從下手是因為沒找到聯(lián)系.

    解法二

    如圖3,設(shè)∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c (這樣設(shè),結(jié)合圖形同樣可以在直觀上簡化問題使表示更簡潔).

    由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得bc=CDBD=12.

    又由正弦定理可知

    sinBsinC=bc=12.

    評注此法解決的前提是知道三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)以及正弦定理,對能力要求較強.

    (Ⅱ)解法一

    sinB=sin(60°+C)(性質(zhì)2),

    又sinBsinC=12,化簡可得cosC=0.

    評注此處用到∠B和(∠A +∠C)互補這一隱含條件,還必須用到(性質(zhì)2)的結(jié)論,這是解題的關(guān)鍵,否則無法往下進行.

    又∠C是三角形的內(nèi)角,所以∠C=90°,

    故∠B=30°.

    解法二

    sinC=sin(60°+B) (性質(zhì)2),

    化簡可得

    sinC=32cosB+12sinB.

    又sinBsinC=12,

    所以 2sinB=32cosB+12sinB.

    化簡得tanB=33,所以∠B=30°.

    評注此法思路同“法一”,區(qū)別是直接得出∠B,所以∠C=90°.

    此處還可選擇多種方法,但仔細思考觀察可發(fā)現(xiàn)三邊恰好構(gòu)成直角三角形,從而使問題簡化,故∠B=30°.

    上述解法對知識的綜合能力以及知識的積累要求較強,要靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論使問題更簡單.

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