度量股票市場(chǎng)情緒指數(shù)的新方法
——基于狀態(tài)空間模型

蔣文江，李彩雯，劉鵬懿

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

度量股票市場(chǎng)情緒指數(shù)的新方法
——基于狀態(tài)空間模型

蔣文江1，李彩雯1，劉鵬懿2

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

眾所周知，市場(chǎng)參與者的整體情緒對(duì)市場(chǎng)走勢(shì)有極大的影響，如何度量這一情緒的變化過(guò)程，進(jìn)而研究其對(duì)證券市場(chǎng)的影響，有重要的意義.然而，迄今為止，尚無(wú)一個(gè)系統(tǒng)有效的方法直接度量股票市場(chǎng)的情緒指數(shù).文章基于下面的基本事實(shí)：所謂的市場(chǎng)情緒指數(shù)雖然不可以直接觀測(cè)度量，然而受其影響控制的股票指數(shù)卻可以觀測(cè)，而這正是狀態(tài)空間模型研究的問(wèn)題，因此文章選擇在狀態(tài)空間模型的框架下研究股票市場(chǎng)情緒指數(shù)的度量問(wèn)題.核心思想是，將市場(chǎng)情緒指數(shù)作為狀態(tài)變量，股票指數(shù)作為觀測(cè)變量，建立狀態(tài)空間方程組.在對(duì)模型中未知參數(shù)進(jìn)行確定時(shí)，選用嵌入的EM算法，結(jié)合經(jīng)典的Kalman濾波進(jìn)行迭代，在迭代完成的同時(shí)，也給出了市場(chǎng)情緒指數(shù)的度量.

Kalman濾波；狀態(tài)空間；EM算法；股票市場(chǎng)情緒指數(shù)

近年來(lái)，隨著行為金融學(xué)的不斷發(fā)展，市場(chǎng)情緒這一概念得到了廣泛的關(guān)注，眾多專(zhuān)家學(xué)者先后提出了各種各樣的市場(chǎng)情緒評(píng)測(cè)方法，并展開(kāi)深入的研究.但目前多數(shù)學(xué)者多采用情緒代理指標(biāo)去揣測(cè)市場(chǎng)情緒的變動(dòng)，情緒代理指標(biāo)通常分為直接指標(biāo)和間接指標(biāo)兩類(lèi).直接指標(biāo)，通過(guò)直接調(diào)查投資者，得到其對(duì)市場(chǎng)的看法，形成相關(guān)指數(shù)；間接指標(biāo)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)，得到折射市場(chǎng)情緒的各種統(tǒng)計(jì)量.這兩類(lèi)指標(biāo)各有利弊，第一類(lèi)雖然主觀直接，但存在樣本代表性不強(qiáng)、問(wèn)卷失真的問(wèn)題；第二類(lèi)指標(biāo)雖然客觀綜合，但也存在相對(duì)滯后、摻雜數(shù)據(jù)帶來(lái)噪音的問(wèn)題.縱觀各類(lèi)研究方法，并沒(méi)有一種有效且客觀的方法直接測(cè)得市場(chǎng)參與者

的情緒.因?yàn)檫@種市場(chǎng)情緒直接地影響著投資者的未來(lái)投資意向，所以本文研究的目標(biāo)是在得到這種市場(chǎng)情緒后，去預(yù)測(cè)可觀測(cè)變量的未來(lái)走勢(shì)，從而做出合理的投資策略.采用合理的數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)有效地得到這種潛在的市場(chǎng)情緒，意義十分重大.那么如何對(duì)這一抽象概念有個(gè)直觀合理的評(píng)價(jià)呢？本文假定市場(chǎng)情緒就是一種隱藏在股票數(shù)據(jù)里的不可觀測(cè)的隨機(jī)變量，它是一個(gè)綜合的信息量，包含數(shù)據(jù)背后的一切信息.狀態(tài)空間模型就是提供一種可行的方法對(duì)數(shù)據(jù)潛在的信息量進(jìn)行提取、過(guò)濾，并獲得所需要的信息.這種思想的核心是一些不可觀測(cè)的變量可以從一些可以觀測(cè)的變量信息中提取出來(lái)，從而能夠?qū)Σ豢捎^測(cè)的信息進(jìn)行分析研究.本文將主要采用Kalman濾波算法和EM算法，對(duì)我國(guó)股市近幾年來(lái)的相關(guān)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立狀態(tài)空間模型，在EM算法估計(jì)參數(shù)的同時(shí)在E-step應(yīng)用Kalman濾波算法得到實(shí)時(shí)的市場(chǎng)情緒指數(shù).

本文的評(píng)價(jià)方法有效地避免了上述指標(biāo)法中的缺陷，采用Kalman算法是因?yàn)檫@種方法是一種噪聲濾波方法，可以有效過(guò)濾掉數(shù)據(jù)噪聲.采用股票數(shù)據(jù)是因?yàn)楣墒袛?shù)據(jù)是最直觀易得且可信度最強(qiáng)的有效數(shù)據(jù)，可以實(shí)時(shí)獲取，從而可以對(duì)市場(chǎng)情緒進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控和評(píng)測(cè).此外應(yīng)用Kalman算法不僅可以評(píng)測(cè)出當(dāng)前的市場(chǎng)情緒狀態(tài)，也可對(duì)未來(lái)的趨勢(shì)進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)地評(píng)測(cè)市場(chǎng)情緒.應(yīng)用EM算法還能夠有效地估計(jì)出狀態(tài)空間模型的參數(shù).所以只要得到觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)本文中提供的算法便可以得到相應(yīng)的市場(chǎng)情緒模型參數(shù)和市場(chǎng)情緒變量的分布.

1 狀態(tài)空間模型建立

建立如下方程：

模型解釋?zhuān)悍匠蹋?）是更新方程，方程（2）是觀測(cè)方程，x，y為兩個(gè)隨機(jī)變量，其中y是可觀測(cè)的變量，且無(wú)缺失值，x是不可觀測(cè)的變量（即隱藏變量），A、B、C是狀態(tài)空間方程的系數(shù)，且待估計(jì).ωt，vt是相互獨(dú)立的高斯白噪聲，且方差分別為Q、R.即除y可觀測(cè)外，方程的其他信息未知.所以本文的目標(biāo)是得到隱藏變量x的同時(shí)，估計(jì)方程的參數(shù)φ={A,B,C,Q,R,wt,vt}.

2 概念介紹

2.1 市場(chǎng)情緒介紹

市場(chǎng)情緒是整個(gè)市場(chǎng)所有市場(chǎng)參與人士觀點(diǎn)的綜合展現(xiàn).這種所有市場(chǎng)參與者共同表現(xiàn)出來(lái)的感覺(jué)，即我們所說(shuō)的市場(chǎng)情緒，決定了當(dāng)前市場(chǎng)的總體方向.市場(chǎng)情緒指數(shù)是反映市場(chǎng)上樂(lè)觀或悲觀程度的指標(biāo)，是投資者心理的反應(yīng)，也是投資者對(duì)市場(chǎng)表現(xiàn)的反應(yīng).市場(chǎng)情緒指數(shù)能夠反應(yīng)出市場(chǎng)的總體趨勢(shì)，給投資者提供判斷的依據(jù).

2.2 Kalman濾波算法和EM算法簡(jiǎn)介

Kalman濾波算法是最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，主要采用信號(hào)與噪聲的線性狀態(tài)空間模型，并運(yùn)用遞推的方法來(lái)解決線性?xún)?yōu)化濾波問(wèn)題，即利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值.Kalman濾波要比直接從全部的過(guò)去數(shù)據(jù)里進(jìn)行每步濾波要高效，它適合于實(shí)時(shí)處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算.

EM算法是一種迭代算法，用于含有隱變量的概率參數(shù)模型的最大似然估計(jì)或極大后驗(yàn)概率估計(jì)，其目標(biāo)是找出有隱性變量的概率模型的最大可能性解，它分為兩個(gè)過(guò)程：E-step和M-step，E-step通過(guò)最初假設(shè)上一步得出的模型參數(shù)得到后驗(yàn)概率（期望），M-step重新算出模型的參數(shù)，重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到目標(biāo)函數(shù)值收斂.EM算法在機(jī)器學(xué)習(xí)、高斯混合模型、隱性馬爾科夫鏈（HMM）以及計(jì)算機(jī)視覺(jué)的數(shù)據(jù)聚類(lèi)等研究方面得到廣泛應(yīng)用.

3 本文算法介紹

3.1 算法開(kāi)始前的初步計(jì)算

設(shè)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程中的噪聲為高斯白噪聲，則有如下?tīng)顟B(tài)變量和觀測(cè)變量的條件概率密度：

由馬爾科夫性，可將x，y的聯(lián)合概率密度表示為：

展開(kāi)并對(duì)其取log得到如下式子：

由于上式中的似然函數(shù)含有隱性變量，無(wú)法直接進(jìn)行極大化.所以根據(jù)EM算法，首先需要對(duì)完全數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)取條件期望，得到下式：

這里由于式子較長(zhǎng)，所以舍去每個(gè)條件期望的條件表示，但實(shí)際每個(gè)期望表示應(yīng)理解為關(guān)于參數(shù)和觀測(cè)變量y的條件期望.我們的目標(biāo)是極大化上式，然后對(duì)每個(gè)待估計(jì)參數(shù)求偏導(dǎo)，從而求得參數(shù)，并不斷重復(fù)此過(guò)程進(jìn)行參數(shù)更新，直至似然函數(shù)收斂.

這里每個(gè)參數(shù)都可以得到如下的顯示解，所以逐一進(jìn)行計(jì)算如下：

根據(jù)上述式子重新表示下的參數(shù)期望表示形式，去掉期望.則每次更新后的各個(gè)參數(shù)表示如下：

現(xiàn)在得到了各個(gè)參數(shù)的表示形式，除了變量x未知外，其他量均已知，所以下一步就是應(yīng)用Kalman濾波估計(jì)不可觀測(cè)的變量x.

4 整體算法思路解釋

Kalman算法開(kāi)始：

分析1：根據(jù)Kalman濾波算法，狀態(tài)空間方程的系統(tǒng)參數(shù)需要已知，才能開(kāi)始整體算法.但是在設(shè)定的模型中，系統(tǒng)參數(shù)是需要估計(jì)的，所以首先需要給定參數(shù)的初值，這里采用蒙托卡羅投點(diǎn)法產(chǎn)生初值.

步驟1：給定系統(tǒng)參數(shù)初值

分析2：在給定系統(tǒng)參數(shù)初值后，Kalman濾波就可以開(kāi)始運(yùn)算了.將給定的參數(shù)初值代入方程后，通過(guò)濾波算法，可以得到初始的不可觀測(cè)變量x，即“情緒指數(shù)”，但這步得到的只是初始狀態(tài)下的不可觀測(cè)變量.最終需要得到參數(shù)最優(yōu)時(shí)的不可觀測(cè)變量，那么如何得到最優(yōu)的參數(shù)，這需要后面的EM算法求解.此外，這里Kalman算法采用了兩步，包括Kalman濾波和Kalman-Rauch平滑.

步驟2：初值給定后，開(kāi)始Kalman算法（包括向前濾波和向后平滑兩個(gè)過(guò)程）.通過(guò)此步可以估計(jì)出不可觀測(cè)變量x.

EM算法開(kāi)始：

分析1：目標(biāo)是求得最優(yōu)的參數(shù)估計(jì).所以根據(jù)EM算法，首先考慮求出完全數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，即如上文所求；但由于所得對(duì)數(shù)似然函數(shù)中含有不可觀測(cè)變量，無(wú)法直接進(jìn)行求偏導(dǎo)估計(jì)參數(shù)，所以需要對(duì)其取條件期望，然后極大化其條件期望.

步驟1：求出x，y的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并對(duì)其取對(duì)數(shù)似然函數(shù)，然后取條件期望.目標(biāo)是極大化這個(gè)條件似然函數(shù).

分析2：這里采用的是顯示求解法，因?yàn)楸疚乃婕暗母怕拭芏群瘮?shù)均為正態(tài)分布，如上式可見(jiàn)，是比較容易得到顯示解的.所以將對(duì)數(shù)似然函數(shù)具體表示出來(lái)后，分別對(duì)每一步取條件期望，因?yàn)闂l件期望具有可加性；得到具體條件似然函數(shù)表達(dá)式后，分別對(duì)每次待估計(jì)參數(shù)求偏導(dǎo)，得到各個(gè)參數(shù)的條件期望表示形式.

步驟2：分別對(duì)條件似然函數(shù)中每個(gè)待估計(jì)參數(shù)求偏導(dǎo)，得到各個(gè)參數(shù)的條件期望表示形式.

分析3：得到這些參數(shù)表達(dá)式后，可以看到這些條件期望都是含等式的條件期望形式.下面就考慮將各個(gè)參數(shù)的條件期望用Kalman濾波后得到的表示形式替換掉.

步驟3：去掉條件期望將參數(shù)由已經(jīng)求得的含{xt}和可觀測(cè){yt}的式子表示，即每個(gè)參數(shù)中均含有觀測(cè)變量和不可觀測(cè)變量的信息.

分析4：表示出各個(gè)參數(shù)后，最終目標(biāo)還是估計(jì)出這些參數(shù).要想得到最優(yōu)參數(shù)估計(jì)，需要不斷的更新參數(shù)，使得條件似然函數(shù)取得最大值.通過(guò)交替的使用Kalman算法和EM算法，不斷地將這些參數(shù)和不可觀測(cè)變量{xt}代入這個(gè)循環(huán)中，不斷地更新不可觀測(cè)變量{xt}和所有待估計(jì)參數(shù)，最終得到使條件似然函數(shù)收斂的最優(yōu)值，此時(shí)的參數(shù)估計(jì)值和不可觀測(cè)變量就是所需要的.

步驟4：不斷循環(huán)算法，取得使條件似然函數(shù)收斂時(shí)的參數(shù)估計(jì)值和不可觀測(cè)變量.

具體算法流程詳見(jiàn)流程圖，見(jiàn)圖1.

5 實(shí)證檢驗(yàn)和結(jié)果

5.1 前期準(zhǔn)備

數(shù)據(jù)選?。哼x取來(lái)自上證指數(shù)2015年1月到2016年1月間的全部開(kāi)盤(pán)價(jià)244個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為初始數(shù)據(jù).

數(shù)據(jù)預(yù)處理：考慮到股市開(kāi)盤(pán)價(jià)的具體數(shù)值有很大的波動(dòng)性，所以在應(yīng)用數(shù)據(jù)之前，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理.

圖1 整體算法流程圖Fig.1 Overall algorithm flow chart

軟件包的選?。哼x用R軟件中的MARSS包來(lái)完成相應(yīng)的算法應(yīng)用和模型選取，MARSS包是較新的R軟件包，用來(lái)分析多變量時(shí)間序列，且MARSS包選用的也是狀態(tài)空間模型，方便了本文的應(yīng)用.

5.2 模型選擇

本文主要使用MARSS軟件包的模型進(jìn)行實(shí)證分析，但模擬測(cè)試的結(jié)果并不理想，我們的判斷是參數(shù)維度高帶來(lái)的優(yōu)化失效.依據(jù)這種判斷，我們將分部分優(yōu)化的思想融入模型之中.即，先用軟件提供的方法粗略估計(jì)出所有參數(shù)，將所得參數(shù)分成S1和S2兩組，然后固定S1這組參數(shù)，套用較低維度之下的模型對(duì)S2組參數(shù)進(jìn)行第二次估計(jì)，將所得的S2組參數(shù)固定，再套用較低維度之下的模型對(duì)第一次粗估得到的S1組參數(shù)進(jìn)行第二次估計(jì).從第二次估計(jì)得到的參數(shù)出發(fā)，循環(huán)往復(fù)上述過(guò)程，直至達(dá)到比較理想的結(jié)果.為了比較起見(jiàn)，

根據(jù)MARSS軟件包的模型，本文對(duì)模型進(jìn)行三種不同形式的定義：

不定義模型：選用MARSS包的自身定義功能，并未對(duì)任何參數(shù)形式進(jìn)行定義.

自定義模型：根據(jù)本文的模型將各個(gè)參數(shù)按照固定形式進(jìn)行定義.

Kemfit及參數(shù)定義模型：采用MARSS中自帶的Kemfit模型.即上述引入分部分優(yōu)化思想之后定義的模型：固定部分參數(shù)，估計(jì)剩余參數(shù)；然后將估計(jì)得到的參數(shù)值代入模型，再次定義一個(gè)模型，估計(jì)出之前固定的參數(shù)值，....

直接應(yīng)用MARSS和引入我們分部分優(yōu)化思想之后的模擬測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表1，表2.通過(guò)R軟件編輯的程序計(jì)算得到狀態(tài)空間模型參數(shù)估計(jì)，通過(guò)水平誤差看出估計(jì)參數(shù)結(jié)果的好壞.根據(jù)表1可以看出，選擇第三種方式定義模型是最合理的，即引入分部分優(yōu)化思想之后的方法優(yōu)于直接使用MARSS軟件的方法.

表1 MARSS軟件包三種模型輸入方式擬合效果對(duì)比Tab.1MARSS package three models input fitting contrast effect

表2 狀態(tài)空間模型參數(shù)估計(jì)值Tab.2State space model parameter estimates

表2為上證指數(shù)狀態(tài)空間模型參數(shù)估計(jì)表.從表2中可以看出狀態(tài)空間模型參數(shù)R、B、Q、C、A的估計(jì)結(jié)果較好，水平誤差都低于百分之五；但是x0，V0的估計(jì)誤差在百分之二十五左右，這是可以理解的，因?yàn)槌踔当旧砭筒粔蚍€(wěn)定，而且目標(biāo)主要是估計(jì)R等參數(shù).

6 股票市場(chǎng)情緒指數(shù)評(píng)測(cè)

在上述算法中代入觀測(cè)數(shù)據(jù)，測(cè)得股票市場(chǎng)情緒指數(shù)（見(jiàn)圖2）.

接下來(lái)的目標(biāo)是研究所得市場(chǎng)情緒指數(shù)的性質(zhì).首先考慮它的分布是否正態(tài)分布.畫(huà)QQ圖，見(jiàn)圖3.很顯然，所得到的市場(chǎng)情緒指數(shù)并不服從正態(tài)分布.這就意味著，以后應(yīng)該尋找能夠更好擬合市場(chǎng)情緒指數(shù)的非正態(tài)分布，并在新的分布下建立狀態(tài)空間模型.

圖2 股票市場(chǎng)情緒指數(shù)折線圖Fig.2 Stock Market Sentiment Index line chart

圖3 股票市場(chǎng)情緒指數(shù)分布QQ圖Fig.3Stock Market Sentiment Index Distribution QQ FIG

下面想知道所得到的股市市場(chǎng)情緒指數(shù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)上證指數(shù)是否來(lái)自同一個(gè)分布.兩組數(shù)據(jù)的QQ圖，見(jiàn)圖4.可以看出，股票市場(chǎng)情緒指數(shù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)上證指數(shù)來(lái)自同一個(gè)分布.這就意味著，可以通過(guò)研究股市

上證指數(shù)的變化規(guī)律來(lái)評(píng)價(jià)股票市場(chǎng)情緒指數(shù).其實(shí)這也是很容易理解的，股票市場(chǎng)的情緒指數(shù)在很大程度上是由股市的上證指數(shù)決定的.

圖4 股票市場(chǎng)情緒指數(shù)與觀測(cè)上證指數(shù)相關(guān)QQ圖Fig.4Stock market sentiment index and Shanghai Composite Index observation related QQ FIG

7 結(jié)論與展望

本文提出了一個(gè)基于狀態(tài)空間模型的度量股票市場(chǎng)情緒的方法.由于模型僅需要股市公開(kāi)發(fā)布的交易數(shù)據(jù)，因此在應(yīng)用上有極大的便利性，同時(shí)數(shù)據(jù)的質(zhì)量也有保障.今后的工作將從兩方面展開(kāi)：

1.正如圖3所揭示的市場(chǎng)情緒指數(shù)并不服從正態(tài)分布，并且與上證指數(shù)的分布十分接近，因此可以對(duì)上證指數(shù)究竟服從什么樣的分布展開(kāi)實(shí)證研究，并依據(jù)得到的結(jié)果提出相應(yīng)的狀態(tài)空間模型.

2.多元化考慮：市場(chǎng)參與者的情緒會(huì)對(duì)滬市和深市中的所有板塊指數(shù)的走勢(shì)產(chǎn)生重要影響，但是受市場(chǎng)情緒驅(qū)動(dòng)的不僅僅有市場(chǎng)指數(shù)，加入其它同受情緒指數(shù)影響的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程，建立多維的狀態(tài)空間模型，有望得到情緒指數(shù)更加精準(zhǔn)的度量，這將是今后研究的主要方向.

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[14]孫文凱，胡曉華，蔣文江.多個(gè)關(guān)聯(lián)確定性時(shí)間序列微分方程建模方法研究[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，28（1）：9-14.

責(zé)任編輯：吳興華

A New Method for Measuring the Stock Market Sentiment Index——Based on State Space Model

JIANG Wenjiang1，LI Caiwen1，LIU Pengyi2
（1.School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China；2.School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming 650500，China）

It is well known that sentiment index of stock market has great influence on market trends.However,there isn’t a systematic and effective method to directly measure the stock market’s sentiment index.As we know,sentiment index cannot be observed directly,but the stock index,whose trends are heavily influenced by the sentiment movement of the investors,are readily available in the stock market.Therefore,to employ the popular state space model by setting the sentiment index as the state variable and stock index as the observed variable is a natural choice to measure the unobserved sentiment index.In this paper,we first establish a state space model in the way above,then use EM algorithm together with Kalman filter to start an iterative process to estimate the unknown parameters in the model and evaluate the sentiment index.Thus we can estimate the unknown parameter in the model and obtain the stock market sentiment index at the same time.

Kalman filter algorithm；state space；EM algorithm；stock market sentiment index

F 224.7

A

1674-4942（2016）03-0242-07

2016-05-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11361022）