一類非線性高階q-對稱差分方程解的存在性

徐佳寧， 何延生

( 延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002 )

摘 要：研究一類非線性高階q-對稱差分方程解的存在性，通過計算得出解的表達形式，利用Banach空間完全連續(xù)算子的不動點定理得出解的存在唯一性結(jié)果，應用Schaefer's不動點定理得出解的存在性。

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一類非線性高階q-對稱差分方程解的存在性

徐佳寧， 何延生

( 延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002 )

摘 要：研究一類非線性高階q-對稱差分方程解的存在性，通過計算得出解的表達形式，利用Banach空間完全連續(xù)算子的不動點定理得出解的存在唯一性結(jié)果，應用Schaefer's不動點定理得出解的存在性。

q-對稱差分方程； 解的唯一性； 不動點定理； 解的存在性

0 引言

這里q是不等于1的常數(shù),t≠0且f是一個實函數(shù)。如果f在t≠0時是可微的,則有

q-對稱微積分在很多領域已被證明實用，尤其在機械學[7-8]中 。近年來，關(guān)于q-量子微積分研究有很大進展，關(guān)于q-對稱微積分研究較少[9-10]。文獻[9]首先給出關(guān)于q-對稱微積分的一些定義；然后建立q-對稱變換問題的一個充分必要條件,即

文獻[10]研究一類二階q-對稱差分方程兩點邊值問題解的存在性，即

首先，利用Banach空間壓縮映像原理獲得解的存在唯一性結(jié)果；其次，在一定的邊界條件下，假設非線性項具有超線性和次線性，建立該問題存在正解的充分性條件。筆者研究非線性高階q-對稱差分方程問題，主要研究BVP(1)-(2),即

解的唯一性和存在性。

1 預備知識

另記

假設q∈(0,1),I是R的一個包含0的區(qū)間(有界或無界)，表示Iq,即

定義1[10]假定f是一個定義在I上的實值函數(shù)，則f的q-對稱差分算子定義為

定義2[10]假定a,b∈I，且a

這里

且如果一致收斂于x=a和x=b，則f在[a,b]上是q-對稱可積的。

引理1[10]假設f是一個定義在I上的連續(xù)函數(shù)，且f在x=0處連續(xù)，則對于每一個x∈1，定義

顯然F在x=0處連續(xù)。

根據(jù)定義1，推出其計算公式。

引理3[10]多重q-對稱積分，即

等價于

這里

證明：利用數(shù)學歸納法證明。

當n=2時,有

由引理3得出

假設n=k時成立，當n=k+1時,有

引理4[9]Schaefer's不動點定理：假定C[a,b]是一個Banach空間，算子F:C([a,b],R)→C([a,b],R)是一個完全連續(xù)算子，如果集合

E={u=rFu:u∈E,0≤r≤1}

是有界的，則算子F在C([a,b],R)上至少有一個不動點。

2 解的表達形式

建立BVP(1)-(2)問題的解

為得到問題BVP(1)-(2)的解，引入定理。

定理2 假設aq-n

的唯一解為

這里

且滿足條件

(5)

證明：由引理3、式(3)和式(4)知

3 解的唯一性

引理5 對函數(shù)Bn(x)有B2k-1(a)=0,k=1,2,…,且當x∈[a,q-(n-2)a)時，

當x∈(q-(n-2)a,b]時

證明：

當x∈[a,q-(n-2)a)時，

當x∈(q-(n-2)a,b]時，

結(jié)論成立。

那么邊值問題有唯一的解。

這里

ρn=max{Bn(a),Bn(b),Bn(aq-(n-2))}。

證明：由定理2知問題BVP(1)-(2)有唯一解,可表示為

在C[a,b]定義算子,即

那么對任意的y,z∈C[a,b]，有

當n=2k時,

當n=2k+1時，

4 解的存在性

定理4[9]假設

(1)函數(shù)f：[a,b]×R→R是連續(xù)的,

(2)存在一個N,當N>0時，|f(x,u)|≤N,?x∈[a,b],u∈R,

則BVP(1)-(2)在[a,b]上至少有一個解。

證明：用Schaefer's不動點定理，分4步來證明。

第1步：F是連續(xù)的。

令{ym}是一個數(shù)列，且ym→y，那么對于任意的x∈[a,b]，有

當n=2k時,

當n=2k+1時,

由f的連續(xù)性可知

即‖(Fym)(x)-(Fy)(x)‖∞→0。

第2步：F在[a,b]是有界集。

對于任意的η*>0，存在一個常數(shù)，即當

時，有‖F(xiàn)(y)‖∞≤。

由定理4得出,對于每一個x∈[a,b],即

第3步：令x1,x2∈[a,b],且x1

綜合步驟1—3可知算子F:C([a,b],R)→C([a,b],R)是完全連續(xù)的。

第4步：假設ε={y∈C([a,b],R):y=λF(y),0<λ<1}是有界的，取y∈ε，則y=λF(y)，因此，對于每一個x∈[a,b]，有

由定理4中條件(2)得對于任意的x∈[a,b],有

因此，對于每一個x∈[a,b]，有

可以證明ε是有界的，由Schaefer's不動點定理得出F有一個解 。

5 結(jié)束語

研究一類非線性高階q-對稱差分方程解的問題，首先通過計算得出解的表達形式；然后建立Banach空間和完全連續(xù)算子F，利用不動點定理得到解的唯一性；最后利用Schaefer's不動點定理證明解的存在性。

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2016-06-23；編輯：關(guān)開澄

國家自然科學基金項目(11161049)

徐佳寧(1992-),女,碩士研究生, 主要從事偏微分方程方面的研究。

何延生,E-mail:a13039337970@126.com

O175.6

A

2095-4107(2016)05-0114-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.05.014