2道課本試題的探究

●王健發(fā)

(華羅庚中學(xué) 廣東惠州 516000)

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2道課本試題的探究

●王健發(fā)

(華羅庚中學(xué) 廣東惠州 516000)

筆者對人教版《數(shù)學(xué)(必修5)》習(xí)題2.1A組第4題與復(fù)習(xí)參考題B組第6題進(jìn)行研究后,發(fā)現(xiàn)這2道題可以歸結(jié)為同一種類型,并進(jìn)行了如下探究.

(人教版必修5習(xí)題2.1A組第4題第2)小題)

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(其中n≥3)，對于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

(人教版必修5復(fù)習(xí)參考題B組第6題)

這2道題都給出了數(shù)列的遞推公式，首先我們對例2的遞推公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?，將?huì)發(fā)現(xiàn)它們可以化為同一結(jié)構(gòu).

將遞推公式an=2an-1+3an-22邊同除以an-2，可得

bn·bn-1=2bn-1+3，

2邊同除以bn-1，得

先來看一道廣泛分布在各類復(fù)習(xí)書和試卷中的測試題：

這道測試題的目的是檢測學(xué)生對等差數(shù)列定義的理解和求通項(xiàng)公式.我們先給出該題的解答過程，再進(jìn)行探究性拓展.

解 因?yàn)?/p>

注意到這道測試題也是給出了類似的遞推公式，而且通過對原數(shù)列加減某一個(gè)數(shù),再取倒數(shù)構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列最終求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.

但是上述2道習(xí)題卻難以通過這種方式解決.

解得

p=-2x,r=-x2.

設(shè)公比為q，則

由式(1)得

整理得

(x-y)(x+y+p)=0,

從而

x-y=0(舍去)或x+y=-p,

整理得

(x-y)(xy+r)=0,

從而x-y=0(舍去)或xy=-r.

即

例5 (斐波拉契數(shù)列)數(shù)列{Fn}滿足：F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(其中n≥3)，求數(shù)列{Fn}的通項(xiàng)公式.

解 為了應(yīng)用上述定理，先將Fn=Fn-1+Fn-2進(jìn)行變形.2邊同除以Fn-2,得

即

或

當(dāng)n=1時(shí)，F(xiàn)1=1適合上式,從而

當(dāng)Δ=p2+4r=0時(shí)，可通過構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式；

當(dāng)Δ=p2+4r≠0時(shí)，可通過構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.

例6 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+4,求{an}的通項(xiàng)公式.

解 因?yàn)閍n=2an-1+3an-2+4，所以

an+1=2(an-1+1)+3(an-2+1).

令bn=an+1，則

bn=2bn-1+3bn-2,

2邊同除以bn-2，可得

因?yàn)閜=2,r=3，所以

p2+4r≠0.

故

即

當(dāng)n=1,n=2時(shí)，a1=1,a2=3適合上式，因此

如果將例6中遞推公式的常數(shù)4改為常見的指數(shù)形式或者一次函數(shù)形式，問題仍然可獲解.限于篇幅，我們只給出一個(gè)具體的指數(shù)形式進(jìn)行分析.

例7 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+2n,求{an}的通項(xiàng)公式.

解 可先將遞推公式an=2an-1+3an-2+2n變形為

an+λ·2n= 2(an-1+λ·2n-1)+

3(an-2+λ·2n-2),

即

an=2an-1+3an-2+3λ·2n-2，

本文是廣東省“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“山區(qū)高中數(shù)學(xué)分層教學(xué)的策略研究”(編號(hào)：2013YQJK195)的階段性研究成果.