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    學生課堂追問引發(fā)的思考

    2016-12-02 05:27:16孫小龍
    中學教研(數(shù)學) 2016年1期
    關鍵詞:交點參考答案直線

    ●孫小龍

    (如皋市第一中學 江蘇如皋 226500)

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    學生課堂追問引發(fā)的思考

    ●孫小龍

    (如皋市第一中學 江蘇如皋 226500)

    筆者在講解一道直線與圓位置關系試題時,有學生質疑解題過程中的設法,筆者隨即與學生進行了交流,隨著學生的逐步追問,師生對疑慮進行了深入地探究.

    題目 求經過直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點,且面積最小的圓的方程.

    解 設圓的方程為

    x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R),即

    x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0.

    該解法設法巧妙,圓隨著λ的變化而運動,利用函數(shù)思想快速求出了面積最小的圓的方程.

    一位喜好鉆研的學生問:為什么這樣設?為什么這樣設的曲線一定表示經過直線和已知圓交點的圓呢?

    (對于學生提出的這個問題,筆者胸有成竹.)

    師:對于方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R),方程組

    的解一定滿足曲線方程,即經過已知直線與圓的交點.

    學生追問:為什么這樣設的曲線方程一定表示圓呢?

    師:因為這是一個二元二次方程,而且滿足圓的一般方程的特點,所以表示圓.

    學生又追問:圓的一般方程表示圓除了形式上的特點,還有一個重要的條件是:

    D2+E2-4F>0,

    你沒有驗證怎能直接說該曲線表示的是圓呢?

    學生的提問有理有據,沒有任何破綻,筆者感到很欣慰,表揚學生很細心,有質疑精神.

    師:方程整理可得

    x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0,

    D2+E2-4F= (2+2λ)2+(4+λ)2-4(1+3λ)=

    5λ2+4λ+16,

    由5>0,Δ<0,可得5λ2+4λ+16>0恒成立,方程表示的曲線一定表示圓.

    師:當D2+E2-4F≤0時,方程表示一個點或者不表示任何曲線,而直線2x-y+3=0與圓x2+y2-2x-4y+1=0相交,有2個不同的交點,方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)一定經過2個不同的點,于是D2+E2-4F>0成立,曲線方程一定表示圓.

    學生再次追問:方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)表示經過直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點的圓,能表示經過交點的所有圓嗎?

    此時筆者一愣,這個問題確實沒有考慮到,而且應該思考.前面設直線方程時,要求學生分斜率存在與不存在這2種情況考慮,其實就是希望學生不要漏了斜率不存在的直線,造成失解.學生的追問不也是要說明這個問題嗎?在贊賞學生思維縝密的同時,如何解決這個問題?師生展開了進一步地探討,徹底解決了這個問題.

    設直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),設經過點A,B的圓的方程為

    x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),

    2個式子相減可得

    (D-2)x1+(E+4)y1+F-1=0,

    同理可得 (D-2)x2+(E+4)y2+F-1=0,

    可得點A(x1,y1),B(x2,y2)在直線

    (D-2)x+(E+4)y+F-1=0

    上.因為經過點A,B的直線只有1條,所以方程(D-2)x+(E+4)y+F-1=0和2x-y+3=0表示同一條直線,對應的系數(shù)應成比例,不妨設

    (D-2)x+(E+4)y+F-1=λ(2x-y+3),

    可得Dx+Ey+F=λ(2x-y+3)+2x-4y+1,

    此時方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可化為

    x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R).

    仔細分析上述探究,發(fā)現(xiàn)可利用2個圓的相交弦方程進行推導:由圓x2+y2+2x-4y+1=0及經過點A,B的圓的方程

    x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),

    相減可得直線AB的方程為

    (D-2)x+(E+4)y+F-1=0,

    其余同上.

    經上述論證,經過點A,B的圓與方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)表示的圓是等價的.

    教學反思 1)培養(yǎng)學生的質疑精神.現(xiàn)代教育體制下,大部分學生沒有質疑精神,很少質疑教師傳授的知識.少部分學生在質疑時,對教師的解答有時似懂非懂,卻不敢追問,仍然稀里糊涂.為了培養(yǎng)學生的質疑精神,教師要營造有利于學生主動質疑的良好氛圍,鼓勵學生大膽質疑;歡迎他們與自己爭論,對學生的質疑給予充分肯定,特別是對平時課堂上敢于發(fā)表反駁意見的學生,更要予以表揚;即使他們的觀點是錯誤的,也要在肯定學生勇于質疑的前提下,與學生一起討論來加以引導,并糾正學生的錯誤觀點,從而保護學生質疑的熱情,樹立學生質疑的信心.教師還要鼓勵學生敢于質疑教師、質疑課本、質疑權威,“金無足赤,人無完人”,教師不是圣人,在課堂上,教師也會出現(xiàn)問題,鼓勵學生大膽質疑,善于思考,點燃學生自主學習的激情.

    2)教學相長.教學是教與學的交往互動,師生雙方相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)、相互補充,在這個過程中教師與學生進行情感交流,從而達到共識、共享、共進,實現(xiàn)教學相長與共同發(fā)展.教和學互相影響和促進,共同得到提高.通過學生的追問弄清了經過點A,B的圓與方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)(其中λ∈R)表示的圓是等價的.在解除學生顧慮的同時,教師也實現(xiàn)了自我的提高與認識的升華.就這一點來說,教師也應該培養(yǎng)學生的質疑精神.

    3)積極反思,完善自我.教師的教學容易受到既有經驗的影響,循規(guī)蹈矩,對一些公認、權威處于默認、服從的狀態(tài).而對于學生而言,這些是全新的,學生會在學習中理解,在理解中質疑,在鼓勵學生質疑的同時,教師更應該在教學中積極反思,面對權威,要敢于質疑,不應一味順從.上述學生的追問理由充分,但課后筆者向同組教師了解時,大多數(shù)教師卻表示未能思考到.教師在講解時,多次強調化簡、設直線等要注意等價性,而自己在面對時卻口是心非,怎能讓學生信服呢?筆者用質疑的眼光梳理了一下,發(fā)現(xiàn)在教材、典型試題中也存在類似的問題,有待更正與商榷.

    (a2-cx)2=a2[(x-c)2+y2],

    (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

    令a2-c2=b2(其中b>0),可得橢圓標準方程為

    (a2-cx)2=a2[(x-c)2+y2],

    等價嗎?從式子的化簡角度看是不等價的.教材對此未作說明,也未在橢圓幾何性質一節(jié)中補充說明,這容易對學生產生誤導.筆者認為教學時應該彌補.具體如下:

    亦即

    例1 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,滿足下列條件:

    ①對任意n∈N*,an≠0,

    1)求數(shù)列{an}的通項an及前n項和Sn;

    2)求證:0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

    1)解 由題意可得

    當n≥2時,

    整理可得 (an+an-1)(an-an-1-1)=0.

    又因為對任意n∈N*,an≠0,所以

    an+an-1=0或an-an-1-1=0.

    當an+an-1=0時,

    當an-an-1-1=0時,

    a1=1,an-an-1=1,

    2)證明 當an+an-1=0時,

    從而

    |Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0.

    于是 |Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=

    綜上可得0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

    此題在綜合試卷中出現(xiàn)頻率較高,上述為各綜合試卷和百度搜索中提供的參考答案,看上去思路清晰,邏輯性強,是大家公認的標準答案.

    第1)小題中的2種結果在證明第2)小題時恰到好處地與結論進行了銜接,似乎沒有任何問題.但筆者經過研究之后發(fā)現(xiàn)此題和參考答案均存在問題,不妨從數(shù)列{an}的前3項說起:

    解得

    a2=-1或a2=2.

    解得

    a3=1.

    解得

    a3=3或a3=-2.

    綜上所述:a1,a2,a3共有3種可能,分別為1,-1,1;1,2,3;1,2,-2.

    而從上述參考答案得到的a1,a2,a3卻只有2種可能,分別為1,-1,1;1,2,3.出現(xiàn)矛盾,究竟誰是誰非?

    同理再算一算a4.當a3=1時,a4=-1或a4=2;當a3=-2時,a4=-1或a4=2;當a3=3時,a4=4或a4=-3.a4有6種可能,從而a1,a2,a3,a4共有6種可能,而從上述參考答案得到的a1,a2,a3,a4同樣只有2種可能.顯而易見,上述參考答案是錯誤的.

    此題中突出的是正項數(shù)列,本題中則為任意n∈N*,an≠0,難道正是因為這個條件的變化導致了本題的錯誤嗎?運用這個條件的是等式

    (an+an-1)(an-an-1-1)=0.

    若{an}為正項數(shù)列,則an+an-1>0,即an-an-1=1,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,可得an=n.

    若對任意n∈N*,an≠0,則

    an+an-1=0或an-an-1-1=0,

    參考答案由此得到了數(shù)列{an}為等比數(shù)列或等差數(shù)列,實質理解為an+an-1=0對n≥2恒成立或an-an-1-1=0對n≥2恒成立,但是由an+an-1=0或an-an-1-1=0只能說明對于一個確定的n(其中n≥2)必有一個成立,但不一定是其中的一個恒成立,可以是對一部分n(其中n≥2),an+an-1=0成立,而對另一部分n(其中n≥2),an-an-1-1=0成立,顯然參考答案的理解是其中一種非常特殊的情況,有失偏頗.

    從上面的分析可知本題的第1)小題情況非常多,無從回答,第2)小題更無從談起.一道出現(xiàn)頻率較高的試題竟然是一道錯題,著實讓人驚訝!

    在平時的教學過程中教師應做好學生的表率,不迷信經典,不迷信權威,不全盤吸收,勇于質疑,勇于挑戰(zhàn),大膽糾錯,在不斷的質疑中提高自身的數(shù)學素養(yǎng).

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