全空間中一類橢圓方程組解的存在性

張虎梅，李鴻翔，郝悅斌

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

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全空間中一類橢圓方程組解的存在性

張虎梅，李鴻翔，郝悅斌

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

討論了下面問題:

橢圓方程組;Nehari流形;能量泛函

0 引言

研究下面一類橢圓方程組

(1)

橢圓方程組解的存在性得到了廣泛的研究,涌現(xiàn)出很多重要的研究成果。 尤其在有界區(qū)域上出現(xiàn)了大量的研究工作,比如Alves在文獻(xiàn) [1]中研究了下面的問題

(2)

(3)

(4)

他們通過對(duì)f,g進(jìn)行了適當(dāng)假設(shè)證明了方程組(4)至少存在一個(gè)正解。

還有在文獻(xiàn) [11]中Liu對(duì)相類似的方程

(5)

也進(jìn)行了研究,她先對(duì)a(x),b(x)作了合適的衰減假設(shè),再通過臨界點(diǎn)理論,在有界的球內(nèi)找到了近似解,然后通過分析找到的近似解的結(jié)構(gòu)再取極限,從而證明了方程組(5)有無窮多的正能量解。因?yàn)楸疚氖窃赗N上來研究,而且要考慮比較一般的權(quán)函數(shù)q(x),這將會(huì)導(dǎo)致緊性嚴(yán)重缺失,所以需要更加仔細(xì)地分析極小化序列,研究極小化序列的各種可能行為來克服緊性缺失的問題,本文將作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)來證明橢圓方程組(1)解的存在性?，F(xiàn)在給出q的假設(shè):

(Q):0<δ:=infRNq

本文的結(jié)論如下:

定理1 若N≥3,α>1,β>1,α+β∈(2,2*),并且q滿足假設(shè)Q,那么橢圓方程組(1)至少存在一個(gè)非平凡的非負(fù)弱解。

1 預(yù)備知識(shí)

定義H1(RN)的內(nèi)積為:

(u1,u2)=∫RN▽u1·▽u2+q(x)u1·u2dx，

相對(duì)應(yīng)的范數(shù)為:‖u‖={∫RN|▽u|2+q(x)u2

要在空間X上對(duì)方程組(1)進(jìn)行討論。相對(duì)應(yīng)地定義能量泛函為:

方程組(1)的一個(gè)弱解就相當(dāng)于泛函I(u,v)在H1(RN)×H1(RN)上的一個(gè)臨界點(diǎn)。對(duì)泛函I(u,v)來講,易知I無下界,所以要將I限制到Nehari流形上,定義如下:

N={(u,v)∈X|u≠0,v≠0,〈I′(u,v),(u,v)〉=0}

若(u,v)∈N,則相對(duì)應(yīng)的能量泛函是:

現(xiàn)在定義:m=inf(u,v)∈NI(u,v)。

引理1 N是非空集,m>0。

證明 首先證N是非空集。 因?yàn)?u,v)∈X,u≠0,v≠0,且∫RN|u|α|v|βdx≠0,所以存在t>0,使得(tu,tv)∈N,就有

再證m>0。因?yàn)?u,v)∈N,則可用Sobolev不等式和不等式|u|α|v|β≤|u|α+β+|v|α+β,得到 ‖u‖2+‖v‖2=2∫RN|u|α|v|βdx

≤2∫RN|u|α+β+|v|α+βdx

假定{(uk,vk)}k?N是I的極小化序列,而顯然(|uk|,|vk|)∈N,同時(shí)又有I(|uk|,|vk|)=I(uk,vk)成立,故{(|uk|,|vk|)}k也是極小化序列,所以在RN中有uk(x)≥0,vk(x)≥0,且uk,vk在H1(RN)中是有界的,故有u,v∈H1(RN)使得

·uk(x)→u(x)a.e.,vk(x)→v(x)a.e.x∈RN。

引理2 λ>0。

2 l與λ的3種情形

需要考慮3種情況:l=λ,l=0,和 0

2.1 l=λ

引理3 若l=λ,則(u,v)∈N,I(u,v)=m。

2∫RN|uk|α|vk|βdx,

而顯然有I(u,v)≥m,又通過范數(shù)的弱下半連續(xù)性可得

I(u,v)≤lim infkI(uk,vk)=m。引理3證畢。

2.2 l=0且u=0,v=0

現(xiàn)在我們定義一個(gè)泛函:

最后定義mγ=inf(u,v)∈NγIγ(u,v)。

引理4 存在(u,v)∈Nγ使得Iγ(u,v)=mγ。

≤∫RN|▽ek|2+|▽fk|2dx+γ∫RN|ek|2+|fk|2dx

=2∫RN|ek|α|fk|βdx

=2∫RN|wk|α|zk|βdx。

=Iγ(ek,fk)。

現(xiàn)在來證明弱極限u,v∈Nγ且Iγ(u,v)=mγ。

先證u,v∈Nγ,由類似引理1的證明得

(6)

取極限得 0

=t2lim infkIγ(uk,vk)=t2mγ

再由范數(shù)的弱下半連續(xù)性可得 Iγ(u,v)≤lim infkIγ(uk,vk)=mγ,而Iγ(u,v)≥mγ,故有Iγ(u,v)=mγ。引理4證畢。

引理5 m

證明 易知Nγ≠Φ,mγ>0,存在(u0,v0)∈Nγ使得Iγ(u0,v0)=mγ,且u0≥0,v0≥0。由Q的假設(shè)我們可推斷存在δ1>0和一個(gè)球BR(x1)使得對(duì)?x∈BR(x1)有q(x)≤γ-δ1,而且也存在δ2>0,一個(gè)球BR(x2)以及一個(gè)集合A?BR(x2)使得在A中處處有u0(x)≥δ2。 現(xiàn)在可以定義一個(gè)函數(shù)u1∈H1(RN)使得u1(x)=u0(x-x1+x2)。如果x∈BR(x1),那么x-x1+x2∈BR(x2),因此在一個(gè)集合A′?BR(x1)中處處有u1(x)≥δ2。則

因?yàn)閝(x)≤γ,所以

從而

因此存在t∈(0,1)使得(tu1,tv1)∈N有

引理6 u=0,v=0不會(huì)發(fā)生。

證明 可以固定ε>0,取Rε>0使得對(duì)?|x|≥Rε有|q(x)-γ|≤ε,從而

(7)

2∫RN|uk|α|vk|βdx,

所以易知對(duì)每個(gè)k存在tk≥1使得對(duì)(tkuk,tkvk)∈Nγ有

(8)

(9)

(10)

|uk|α|vk|βdx-

取極限得mγ≤m。矛盾。引理6證畢。

2.3 0

首先通過選擇一個(gè)正的遞增序列{Rj}j使得Rj+1>Rj+1,因此當(dāng)Rj→+∞時(shí)有下列性質(zhì)成立:

又因?yàn)樵赗N中的有界子集上存在緊性,所以對(duì)每個(gè)j有下列結(jié)論成立:

故對(duì)每個(gè)j∈Ν存在子序列{(ukj,vkj)}有

現(xiàn)在取{(ukj,vkj)}作為一個(gè)新的極小化序列記為{(uj,vj)}j。

考慮對(duì)每個(gè)j存在一個(gè)函數(shù)ψj∈C∞(RN)使得下列結(jié)論成立:

· 對(duì)每個(gè)x有0≤ψj(x)≤1,

· 若|x|≤Rj,則ψj(x)=1,

· 若|x|≥Rj+1,則ψj(x)=0,

· 對(duì)每個(gè)x有|▽?duì)譲(x)|≤C。

=|ψjuj|α|ψjvj|β+(1-ψj)α|uj|α(1-ψj)β|vj|β

另一方面

∫RN|uj|α|vj|βdx=∫BRj|uj|α|vj|βdx+

∫RN|u″j|α|v″j|βdx

∫RNψj(1-ψj)|▽uj|2dx-∫RNψjuj▽uj·▽?duì)譲dx

-∫RNψjuj▽uj·▽?duì)譲dx。

|∫RNψjuj▽uj·▽?duì)譲dx|≤∫RNψjuj|▽uj||▽?duì)譲|dx

同樣的有 |∫RN(1-ψj)uj▽uj·▽?duì)譲dx|≤ο(1),

∫RN|▽u″j|2dx+ο(1),

∫RN|▽v″j|2dx+ο(1),

引理9 若l∈(0,λ),(u,v)∈N,則I(u,v)=m。

由引理8我們可以寫出

(11)

所以對(duì)于足夠大的j可推出

(12)

因此，存在sj∈(0,1)使得(sju″j,sjv″j)∈Nγ有

=I(uj,vj)+ο(1),

取極限得mγ≤m。 矛盾。

故有I(u,v)≥m,所以I(u,v)=m成立。 引理9證畢。

2.4 l=0

引理10 l=0不會(huì)發(fā)生。

3 定理1的證明

2∫RN|u|α|v|βdx,

[1] AlVES C O,MORAIS FILHO D C,SOUTO M A S.On systems of elliptic equations involving subcritical or critical Sobolev exponents[J] .Nonlinear Analysis,2000,42:771-787.

[2] BOUCHEKIF M,NASRI YASMINA.On elliptic system involving critical Sobolev-Hardy exponents[J].Mediterr J math,2008,5:237-252.

[3] BOUCHEKIF M,NASRI YASMINA.On a elliptic system at resonance[J].Annali di Matematica,2010,189:227-240.

[4] KANG D,PENG S.Existence and asymptotic properties of solutions to elliptic systems involving multiple critical exponents[J].Science China Mathematics,2011,54(2):243-256.

[5] ZHANG Y.Multiple solutions of an inhomogeneous Neumann problem for an elliptic system with critical Sobolev exponent[J].Nonlinear Anal,2012,75:2047-2059.

[6] HAN P.High-energy positive solutions for a critical growth Dirichlet problem in noncontractible domains[J].Nonlinear Anal,2005,60:369-387.

[7] 張亞靜,郝江浩.一個(gè)非齊次臨界Neumann 問題的多正解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013,33A(4):661-672.

[8] WU T.Multiple positive solutions for semilinear elliptic systems with nonlinear boundary condition[J].Appl Math Comput,2007,189:1712-1722.

[9] BROWN K J,WU T.A semilinear elliptic system involving nonlinear boundary condition sign-changing weight function[J].J Math Anal Appl,2008,337:1326-1336.

[10]LI G,WANG C.The existence of nontrivial solutions to a semilinear elliptic systems in the whole space without the Ambrosetti-Rabinowitz condition[J].Acta Mathematica Scientia,2010,30B(6):1917-1936.

[11]LIU Z.Infinitely many solutions for some nonlinear scalar system of two elliptic equations[J].J Math Anal Appl,2011,382:731-747.

Existence of solutions for elliptic system in the whole space

ZHANG Humei,LI Hongxiang,HAO Yuebin

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan，Shanxi 030006,China)

By using the calculus of variations, we can prove that at least one nontrivia and nonnegative solution exists in the following elliptic system.

ellipticsystem;Neharimanifold;energyfunctional

1004—5570(2016)05-0041-08

2016-04-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374089);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014011005-2)

張虎梅(1989-),女,碩士研究生,研究方向:非線性泛函分析,E-mail:1244755406@qq.com.

O175.25

A

應(yīng)用變分法證明了以上橢圓方程組至少存在一個(gè)非平凡的非負(fù)解。

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