SIM(2)引力規(guī)范理論

吳奕障,薛迅

(華東師范大學(xué)物理系，上海200241)

SIM(2)引力規(guī)范理論

吳奕障,薛迅

(華東師范大學(xué)物理系，上海200241)

基于宇宙微波背景輻射(Cosmic Microwave Background Radiation,CMB)的各向異性觀測結(jié)果和馬赫原理,假設(shè)了洛倫茲(Lorentz)對稱性從大于星系尺度開始破缺,并基于這個(gè)動(dòng)機(jī)以SIM(2)規(guī)范理論為例,詮釋了所謂的“暗物質(zhì)效應(yīng)”,意即天文觀測上對牛頓—愛因斯坦(New ton-Einstein)引力理論預(yù)言的偏離,可以由小尺度上Lorentz對稱性的破缺在大尺度上的累積呈展出來.分析了SIM(2)規(guī)范理論,在場運(yùn)動(dòng)方程之外得到了8個(gè)約束方程,并且將獨(dú)立contorsion分量個(gè)數(shù)也約化到了8個(gè).得到了contorsion是非平庸的,并且即使在沒有物質(zhì)分布的區(qū)域也會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)等效的能—?jiǎng)訌埩糠植?最后,分析了在弱場近似下的度規(guī)柱對稱解,分析了此解的性質(zhì).

SIM(2)群;洛倫茲破缺;引力規(guī)范理論;contorsion

0 引言

廣義相對論是當(dāng)代物理學(xué)中最重要的理論之一.隨著量子場論,特別是其中規(guī)范理論成功地統(tǒng)一了弱電理論,加上大統(tǒng)一理論(Grand Unified Theory,GUT)的鋪建,人們逐漸開始思考是否可以將廣義相對論,也就是引力理論容納到規(guī)范場論之中去.Utiyama在1955年首先提出了將廣義相對論看成是一種規(guī)范理論的思想[1],他得出了規(guī)范勢是克氏符,規(guī)范場強(qiáng)是黎曼張量.Kibble在1960年基于Utiyama的基礎(chǔ),將這個(gè)理論更加形式化[2].楊振寧在1974年也用他自己的Yang-M ills理論將引力規(guī)范化[3].

Lorentz對稱性是當(dāng)代物理學(xué)的基礎(chǔ).自從麥克斯韋方程組的問世,愛因斯坦在看到麥克斯韋方程組美妙的同時(shí),也看到了這個(gè)方程組是有Lorentz對稱性的.這一觀點(diǎn)徹底顛覆了牛頓時(shí)代的時(shí)空觀.愛因斯坦將這個(gè)對稱性用在了他的第一個(gè)理論——狹義相對論中.隨著時(shí)間的推移,物理學(xué)家們開始思考如果沒有Lorentz對稱性會(huì)產(chǎn)生怎樣的物理,而這些暗示出現(xiàn)在了大尺度的物理圖像上.

CMB是宇宙早期光子退耦時(shí)的輻射.從CMB的數(shù)據(jù)可以看到,我們的本星系團(tuán)相對于CMB靜止參考系以627±22 km/s的速度沿銀經(jīng)l=263.99?±0.14?,b=48.26?±0.03?方向運(yùn)動(dòng),這個(gè)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致偶極矩各向異性.從理論角度看,CMB靜止參考系的存在即使在遠(yuǎn)離任何星系的地方都破壞了Lorentz協(xié)變性[4].CMB數(shù)據(jù)還存在低多級矩和其他反常,諸如非常大尺度的各向異性、反常排列和非高斯分布等,其中持續(xù)時(shí)間最長的爭論來自于低-l多級矩：球玉展開l=2的四級矩振幅與大爆炸預(yù)言相比過低,l=3的四級矩與八級矩模式間有無法解釋的聯(lián)系并與黃道面和黃道面與天球赤道兩個(gè)交點(diǎn)連線有聯(lián)系,這個(gè)連線也被稱為邪惡軸心[5].

馬赫原理說明局域慣性標(biāo)架由大尺度物質(zhì)分布確定,其可以被更一般地陳述為：局域物理規(guī)律由宇宙的大尺度結(jié)構(gòu)確定[6].這為我們思考大尺度上Lorentz對稱性的問題提供了參考.

CMB的非各向同性以及對馬赫原理的思考暗示了Lorentz對稱性在小尺度上破缺而在大尺度上累積成客觀效應(yīng)的可能性.

1999年,Coleman和Galshow提出了偏離Lorentz對稱性的一個(gè)模型[7].這個(gè)模型保時(shí)空平移以及空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性,而允許對偽轉(zhuǎn)動(dòng)的改變;這個(gè)模型用一個(gè)常的類時(shí)4矢(刺矢)來參數(shù)化.而后Colladay和Kostelecky引入了更一般的刺矢導(dǎo)致的擾動(dòng),這些量可以看成是由于Lorentz對稱性破缺而導(dǎo)致的某些張量的非零的真空期望值[8].

2000年,Amelino-Camelia提出了雙狹義相對論[9].這個(gè)理論也稱為有兩個(gè)觀測者不依賴尺度的狹義相對論：一個(gè)是有速度量綱的c;一個(gè)是有質(zhì)量量綱的κ.前者可以認(rèn)同為光速,后者可以認(rèn)同的Plank質(zhì)量;而在κ→∞時(shí)理論回到狹義相對論.因此這個(gè)理論本身是狹義相對論破缺的.

CPT(Charge conjugation-Parity-Tim e reversal,CPT)對稱性也是當(dāng)代物理的最嚴(yán)格的對稱性之一;而這個(gè)對稱性和Lorentz群有著非常緊密的聯(lián)系.我們發(fā)現(xiàn),在某些理論中CP和P會(huì)出現(xiàn)破缺,這暗示著P、T對稱性并非是嚴(yán)格不變的.而Lorentz群(固有)加上P、T對稱性才是最大Lorentz群.這就暗示,Lorentz群(固有)也可能會(huì)破缺.

2006年,Cohen和Glashow提出了狹義相對論對稱性破缺的機(jī)制,這個(gè)理論稱為非常狹義相對論[10].時(shí)空對稱性不再是Lorentz群(Poincare群),而是Lorentz群的子群：E(2)；HOM(2)；SIM(2).他們發(fā)現(xiàn)狹義相對論中要求的時(shí)間變化、速度疊加等不需要Lorentz群而只需要其子群就可以實(shí)現(xiàn).其條件是,子群加入P、T就可以擴(kuò)張成完整的Lorentz群.在這些子群中,破缺程度最小的就是4生成元子群SIM(2)群.2007年, Gibbons、Gomis和Pope提出了SIM(2)群作為時(shí)空局部對稱群模型,他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型具有Finsler幾何的性質(zhì)[11].

我們以SIM(2)群為局域規(guī)范對稱群,并將其用于規(guī)范理論.

1 SIM(2)引力規(guī)范理論

本文的一些記號規(guī)范參考了文獻(xiàn)[12-13].

Lorentz度規(guī)的表達(dá)式為

定義標(biāo)架haμ,它滿足

其結(jié)構(gòu)系數(shù)可以表示為

因此

Lorentz李代數(shù)有6個(gè)獨(dú)立生成元,其滿足的對易子為

其中,對應(yīng)角動(dòng)量生成元的為

對應(yīng)偽轉(zhuǎn)動(dòng)(boost)生成元的為

用角動(dòng)量和偽轉(zhuǎn)動(dòng)生成元表示,對易關(guān)系可以寫成

SIM(2)生成元為

Lorentz聯(lián)絡(luò)Aμ具體展開的形式為

Mab對下標(biāo)反稱,這使得與其縮并的Aabμ也是反稱的.這個(gè)聯(lián)絡(luò)定義的協(xié)變導(dǎo)數(shù)算符為

實(shí)際上,Mab是Lorentz李代數(shù)的表示,由于我們選擇切空間,故為Lorentz群的矢量表示.

為了將李代數(shù)限制在SIM(2)上,我們施加限制方程

有了這樣的限制,就從Lorentz時(shí)空規(guī)范理論得到SIM(2)時(shí)空規(guī)范理論.

與Aabμ相對應(yīng)的線性聯(lián)絡(luò)Γρνμ滿足

這可以分解為克氏符和contorsion

Acab寫成fcab以及撓率Tcab的函數(shù),滿足

曲率和自旋聯(lián)絡(luò)間滿足

可以寫成時(shí)空指標(biāo)的形式

仍然將拉氏量選取為標(biāo)量曲率.根據(jù)曲率張量,標(biāo)量曲率可以寫為

Lorentz時(shí)空規(guī)范理論的作用量是Hilbert作用量,而SIM(2)時(shí)空規(guī)范理論有兩個(gè)約束,相當(dāng)于要再作用兩個(gè)約束乘子項(xiàng),作用量為

我們對自旋聯(lián)絡(luò)做變分,結(jié)果為

其中,

這個(gè)結(jié)果可以寫為

由于

因此對SIM(2)規(guī)范理論,即使是沒有物質(zhì)場的情況下,撓率也不再為0.我們得到

對其他的(a,b)有

對標(biāo)架變分

由于約束方程,我們得到的動(dòng)力學(xué)方程在形式上和Einstein方程一樣

我們?nèi)匀粚⒋朔Q為Einstein方程.但要注意兩點(diǎn)：第一,實(shí)質(zhì)上這個(gè)方程還要和約束方程聯(lián)立,因此,曲率和Hilbert作用量的結(jié)果不同；第二,這個(gè)方程的contorsion并不為0,因此其規(guī)范勢和廣義相對論的不同.

我們具體的求解思路是將所有的量都表達(dá)為contorsion K和結(jié)構(gòu)系數(shù)f的表達(dá)式.

將自旋聯(lián)絡(luò)寫成contorsion的形式有

其中,

約束條件可以用contorsion和f表達(dá)

我們用contorsion表達(dá)

可以寫成

對得到的

和

聯(lián)立,就能得到

以及

以及

我們發(fā)現(xiàn)獨(dú)立的contorsion變成了8個(gè),而限制方程也為8個(gè),因此正好能夠求解.

另一方面,對標(biāo)架求變分得到的Einstein方程在時(shí)空指標(biāo)下可以寫為

其中,Kμνρ=haμhbνhcρKabc.式(37)的第一行就是里奇張量,余下部分就是時(shí)空指標(biāo)的contorsion的貢獻(xiàn).這又給出10個(gè)方程,加上10個(gè)度規(guī)分量,因此,總共是18個(gè)未知量和18個(gè)方程.

我們求解的是真空Einstein方程.我們將里奇張量記作?Rλμ,則真空方程可以寫成

這相當(dāng)于求解一個(gè)非真空的方程.實(shí)際上,對Einstein方程

我們選取一般柱對稱系,度規(guī)張量為一般柱對稱度規(guī)

選取合適的Lorentz變換,要求滿足8個(gè)約束方程.史瓦西度規(guī)在恒星或星系尺度下是D氏度規(guī)的弱場近似,其特征參數(shù)為,其中,Rc是恒星或星系尺度,c是光速,G是萬有引力常數(shù),M是恒心或星系的質(zhì)量(如太陽的這個(gè)參數(shù)就約等于2×10-6).我們也要求柱對稱度規(guī)滿足弱場近似(但不要求遠(yuǎn)場是弱場),并用這個(gè)特征參數(shù)(為簡單起見,記作ε)作為展開參數(shù).展開到一階,我們發(fā)現(xiàn)滿足約束的度規(guī)的形式為

將這個(gè)結(jié)果代入場方程,發(fā)現(xiàn)在一階情況下V(ρ,z)=0.接下來,我們分析這個(gè)度規(guī)的性質(zhì).對四速有

由于運(yùn)動(dòng)軌跡在一個(gè)平面上,我們選擇一個(gè)平面.根據(jù)度規(guī)我們看到2個(gè)Killing矢量：由此可以定義兩個(gè)守恒量

和

其中,E是能量,L代表角動(dòng)量.將度規(guī)和守恒量代入可得

可以看出有效勢為

我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)度規(guī)沒有引力勢,只有離心勢.這導(dǎo)致沒有穩(wěn)定的軌道,一旦受到徑向的微擾就會(huì)趨向無窮遠(yuǎn)處.

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[2]KIBBLE TW B.Lorentz invariance and the gravitational field[J].Journal of Mathematical Physics,1961(2)：212-221.

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[13]ALDROVANDI R,PEREIRA J G.Teleparallel Gravity[M].New York：Sp ringer,2013.

(責(zé)任編輯：李藝)

SIM(2)gravitational gauge theory

WU Yi-wei,XUE Xun
(Department of Physics,East China Normal University,Shanghai 200241,China)

Based on the anisotropies of CMB(Cosmic Microwave Background Radiation, CMB)on the large scale and Mach’s principle,this paper proposed that the Lorentz invariance is violated from the length scale of galaxy.SIM(2)gauge theory was taken as an example of such motivation to illustrate the so called dark matter effect,the deviation of astronomical observation from New ton-Einstein prediction,which can be emerged from the accumulated Lorentz violation effect on the short scale.SIM(2)gauge theory was analyzed and 8 additional constrain equations were obtained in addition to the equation of motion,while the independent components of contorsion were also reduced to 8.It can lead us to the conclusion that the contorsion is non-trivial and can contribute an effective energy-momentum distribution even in the region devoid of matter.Finally,the cylindrical symmetrized solution of metric under weak field expansion was given and its property was analyzed.

SIM(2)group;Lorentz breaking;gravitational gauge theory;contorsion

O41

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.009

1000-5641(2016)03-0076-08

2015-05

吳奕<,男，碩士研究生,研究方向?yàn)槁鍌惼澠迫?、等效引力理論、與暗物質(zhì)有關(guān)的超越標(biāo)準(zhǔn)模型理論.E-mail：longqi07@qq.com.

薛迅,男,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槁鍌惼澠迫?、等效引力理論、與暗物質(zhì)有關(guān)的超越標(biāo)準(zhǔn)模型理論.E-mail：xxue@phy.ecnu.edu.cn.