具有垂直傳染的SEIR疾病模型的分支方向

于莉琦

(黑龍江東方學(xué)院)

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具有垂直傳染的SEIR疾病模型的分支方向

于莉琦

(黑龍江東方學(xué)院)

在具有垂直傳染的SEIR疾病模型中引入了時間延遲，當(dāng)時間延遲到達(dá)或穿過臨界值時，系統(tǒng)在正平衡點附近出現(xiàn)了一族周期解.應(yīng)用規(guī)范型和中心流形理論給出決定該模型分支方向及分支周期解穩(wěn)定性的顯示表達(dá)式.

Hopf分支；穩(wěn)定性；周期解

在文獻(xiàn)[1]中，Li Michiael Y和Wang L研究了一個具有垂直傳染的SEIR疾病模型，具有這種特征的疾病如風(fēng)疹，皰疹等，模型經(jīng)簡化[1]如下，其中S表示易感人群，E表示攜帶者(未發(fā)病)人群， I表示患者人群，

(1)

在系統(tǒng)(1)中引入時間延遲τ，得到時滯系統(tǒng)

(2)

當(dāng)時間延遲τ到達(dá)或穿過臨界值τ(j)(其中τ(j)如文獻(xiàn)[2]中定義)時在正平衡點附近出現(xiàn)了一族周期解，當(dāng)τ=τ(j)時系統(tǒng)(2)在正平衡點處出現(xiàn)了Hopf分支，下面應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形理論和中心流形理論來研究分支周期解的穩(wěn)定性[3-7].

令系統(tǒng)的正平衡點為 S*，E*，I*，u1(t)=S(t)-S*,u2(t)=E(t)-E*,u3(t)=I(t)-I*,xi(t)=ui(τt),τ=τ(j)+μ,μ∈R,系統(tǒng)(2)等價于系統(tǒng)

(3)

此時該系統(tǒng)(3)具有平衡點(0,0,0).

系統(tǒng)(3)可等價為一個C=C([-1,0],R3)中的泛函微分方程

(4)

其中xt(θ)=x(t+θ)∈C，且Lμ:C→R,F:R×C→R定義如下：

Lμ(φ)=(τ(j)+μ)×

(5)

其中φ(θ)=(φ1(θ),φ2(θ),φ3(θ))T∈C，由文獻(xiàn)[2]知，當(dāng)μ=0時系統(tǒng)(3)的特征方程有一對純虛根±iτ(j)ω0，且橫截條件成立，系統(tǒng)在零平衡點處出現(xiàn)了Hopf分支.由Riesz表示定理，存在著分量為有界變差函數(shù)的三階矩陣η(θ,μ)

(6)

事實上，只要取

η(θ,μ)=(τ(j)+μ)×

(7)

即可，對φ∈C1([-1,0],R3)，定義

這樣方程(4)可寫成如下形式

(8)

其中，對于任意ψ∈C([0,1],(R3)*)，定義

和雙線性內(nèi)積

(9)

其中η(θ)=η(θ,0).則A(0)與A*互為共軛算子.令q(θ)=(1,α,β)Teiθω0τ(j)是A(0)關(guān)于iτ(j)ω0的特征向量，即A(0)q(θ)=iτ(j)ω0q(θ)，計算得

同理設(shè)q*(s)=D(1,α*,β*)eiθω0τ(j)是A*關(guān)于-iτ(j)ω0的特征向量，計算得

由雙線性內(nèi)積=1可將q*規(guī)范化.令xt為(4)式在μ=0時的解，定義，

z(t)=,W(t,θ)=xt(θ)-2Re{z(t)q(θ)}

(10)

(11)

其中

(12)

其中xt(θ)=(x1t(θ),x2t(θ),x3t(θ))T=

根據(jù)(11)式，得

將x1t(0),x3t(0),x1t(-1),x3t(-1)代入得

為了確定g21，需要計算W20(θ),W11(θ)， 由方程(10)，(11)得

(13)

(14)

(A-2iτ(j)ω0)W20=-H〗20(θ),

AW11(θ)=-H11(θ)

(15)

對于任意的θ∈[-1,0)，

(16)

與(14)比較系數(shù)得

由(13)(15)及矩陣A，得到

(17)

因q(θ)=(1,α,β)Teiθω0τ(j)，有

(18)

(19)

其中η(θ)=η(θ,0)，則

注意到

定理：對于系統(tǒng)(3)應(yīng)用規(guī)范型和中心流形定理給出參數(shù)gij的計算公式，從而可以計算下列參數(shù)的值.

β2=2Re{c1(0)},

這幾個參數(shù)決定了系統(tǒng)當(dāng)分支值變化到τ(j)時的分支方向及分支周期解的相關(guān)性質(zhì)，κ2決定了分支的方向：κ2>0，分支是上臨界的，分支周期解在τ>τ(j)時出現(xiàn)，κ2<0，分支是下臨界的；分支周期解在τ<τ(j)時出現(xiàn)，β2決定了分支周期解的穩(wěn)定性，β2<0，中心流形上的周期解是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，T2決定了分支周期解的變化：T2>0，周期解的周期是增加的，否則是減少的.

[1] Michael Y Li, Hal L. Smith and Liancheng Wang. Global Dynamics of An Seir Eqidemic Model with Vertical Transmission. SIAMJ.App Math,2001,62:158-169.

[2] 于莉琦. 具有垂直傳染的SERI疾病模型的Hopf分支分析[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2015，30(4)：753-757.

[3] Feichtinger G, Forst C V, Piccardi C. A nonlinear Dynamical Model for the Dynastic Cycle[J]. Chaos Solitons & Fractals, 1996,7(2): 257-271.

[4] Wei Junjie, Li Michael Y. Global Existence of Periodic solution in A Tri-neuron Model with Delays[J]. Physical D, 2004,198(1):106-119.

[5] Rebecca V, Culashaw, Ruan Shigui. A Delay-differential Equation Model of HIV Infection of CD4 T-cells[J]. Mathematical Biosciences,2000,165(1):27-39.

[6] Song Yongli, Han Maoan, Wei Junjie. Stability and Hopf Bifurcation Analysis on a Simplified BAM Neural Network with Delays[J]. Physical D, 2005,200(1):185-204.

[7] Ding Xiaohuan, Li Wenxue. Local Hopf bifurcation and global existence of periodic solutions in a kind of physiological system[J]. Nonlinear Analysis:Real World .

(責(zé)任編輯：于達(dá))

The Direction of Hopf Bifurcation and Stability of SEIR Eqidemic Model with Vertical Transmission

Yu Liqi

(East University of Heilongjiang)

The delay to the SEIR Eqidemic Model with Vertical Transmission is introduced in this paper. The positive equilibrium’s stability changes when the delay cross a sequence of critical values in the dynamical model of the dynastic cycle with delay. The normalform theory and center manifold argument are employed, the explicit formulas determining direction and other properties of bifurcation periodic solutions are given.

Hopf bifurcation; Stability; Periodic solution

2016-01-20

O29

A

1000-5617(2016)02-0043-04