一類級數(shù)部分和不等式及其應(yīng)用

羅靜

(四川理工學(xué)院理學(xué)院， 四川自貢643000)

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一類級數(shù)部分和不等式及其應(yīng)用

羅靜

(四川理工學(xué)院理學(xué)院， 四川自貢643000)

級數(shù)部分和不等式是不等式研究和近代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，基于對經(jīng)典不等式的研究，建立了一類含有多個參數(shù)，結(jié)構(gòu)形式簡潔的級數(shù)部分和不等式。應(yīng)用基本不等式，結(jié)合初等變換對所建立的不等式進行了嚴格證明。在分析該類不等式結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，賦于參數(shù)特定的值式，得出了一系列重要的推論。通過實例，檢驗定理及其推論在構(gòu)造或者證明一大批級數(shù)部分和不等式中具有普適性。同時所得結(jié)果不僅囊括了眾多著名不等式，更是對這些不等式以及相關(guān)文獻結(jié)果的推廣、改進和加強。

基本不等式；級數(shù)部分和不等式；普適性

引言

級數(shù)部分和不等式在不等式研究中占有重要地位，它的一些著名定理在很多領(lǐng)域都是重要的基本工具，是近代數(shù)學(xué)發(fā)展不可缺少的理論基礎(chǔ)(比如經(jīng)典的Holder不等式和Minkowski不等式是建立Lp空間的基本工具)。本文以幾個基本不等式為引理，建立了一類很有意義的級數(shù)部分和不等式。這些結(jié)果推廣或改進了相關(guān)文獻的相應(yīng)結(jié)果，在不等式研究中有較好的應(yīng)用。

1基本引理

引理1(Jensen不等式推論)設(shè)xk>0(k=1,2,…,n)，當p≤0或p≥1時，

(1)

當0

(2)

當p=0，或p=1，或x1=x2=…=xn時等號成立。

注在文獻[1]中取f(x)=xp(x>0)即得此推論。

引理2(cp不等式)設(shè)xk>0(k=1,2,…n)，當p≤1時，

(3)

當p>1時，

(4)

當p=1，或n=1時等號成立。

引理3(Holder不等式)設(shè)xk,yk≥0(1≤k≤n)，α+β=1，當αβ>0時，

(5)

當αβ<0時，

(6)

引理4(Chebyshev不等式)設(shè){xn},{yn}是兩個實序列，當它們同增，或同減時，

(7)

當它們一增一減時，

(8)

當且僅當x1=x2=…=xn，或y1=y2=…=yn時等號成立。

2主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)xk，yk>0(1≤k≤n),r>0，則當αβ<0,α-β≥r時，

(9)

當αβ>0,α-β≤r時，

即是

同理可證αβ>0, αβ≤r時的情況。

定理2設(shè)xk,yk>0(1≤k≤n),r>0,αβ>0,α-β≥r，則

即是

定理3設(shè)xk,yk>0(1≤k≤n),r>0,α>0,β<0,α-β≤r，則

證明同定理2，過程略。

定理4設(shè)xk,yk>0(1≤k≤n),r>0，則

當α≤0,β>0時有

(10)

當α≥0,r≥-β>0時，不等號反向。當且僅當x1=x2=…=xn，且y1=y2=…=yn時等號成立。

即(10)式成立。

(ⅱ)當α<0,β>0時，由(ⅰ)的結(jié)論得

式兩邊β-α乘方后取倒數(shù)得

由傳遞性得

此時(10)式成立。

同理可證α≥0,r≥-β>0時的情況。

定理5設(shè)xk,yk>0(1≤k≤n),α≥r>0，若β>0，且{xn},{yn}是一增一減序列，或β≤-r，且{xn},{yn}是同增或同減序列，則

當x1=x2=…=xn，且y1=y2=…=yn，或α=β，且xk=λyk(λ為常數(shù))時等號成立。

即是

同理可證β≤-r，且{xn},{yn}是同增或同減序列的情況。

當x1=x2=…=xn，且y1=y2=…=yn，或當α=β，且xk=λyk(λ為常數(shù))時等號成立。

證明同定理5，過程略。

在定理1～定理6中，各不等式成立的條件雖然各異，但結(jié)果的結(jié)構(gòu)形式相同或者十分相近。特別是指數(shù)α與β的非共軛性，寓示著不等式有較寬的應(yīng)用范圍。對定理中各參數(shù)取適當?shù)闹悼傻贸鲆幌盗兄匾耐普摗?/p>

在定理2，定理3和定理4中，取yk=1，即得此推論。特別，取r=1，即為引理1。

在定理1中，設(shè)β=-α<0，即得此推論。特別，取α=1,r=2，即是Cauchy不等式。

在定理1中，設(shè)α=p,β=-q,r=1，即得此推廣。

推論5(Radon不等式推廣)設(shè)xk，yk>0(1≤k≤n)，則當p>0,q<0,p+q>0時，

當p>0,q>0時，

在定理1中，設(shè)α=p+q>0,β=q<0,r=p得推論5中第一個不等式，設(shè)α=p+q,β=p>0,r=q>0得推論5中第二個不等式。特別，在第二個不等式中取q=1，即是Radon不等式。

在定理5與定理6中，設(shè)β=-α即得此推論。特別，若取α=r=1，則得文獻[2]中的不等式。

推論8 (Minkowshi不等式推廣)[5-8]設(shè)ajk>0(1≤k≤n,1≤j≤m)，則當p≥1時，

當p≤1時，不等號反向。當且僅當

等號成立。

記

則

依次取j=1,2,…,m得m個同向不等式，累加得

即

得

同理可證p≤1時的情況。特別，當m=2時即為Minkowshi不等式。

3實例

證明在定理4中取r=1,α=q≤0,β=p>0，設(shè)xk=bk,yk=ak，(或在定理2中取r=1，α=q,β=p>0使q-p≥1，設(shè)xk=bk,yk=ak)，則有

所以不等式成立。

證明在定理2，定理4中取α=2p(p≥1,或p≤0),β=r=1，則有：

證畢。

特別，在此命題中，設(shè)A=t=β=1,B=-1,bk=xk,ck=xk+1，則得文獻[9]中的不等式：

若再取p=1，則得文獻[10]中的不等式：

證明(ⅰ)當p>0時，文獻[11]已證不等式成立。

(ⅱ)當p≤0時，在定理4中，取α=p≤0,r=β=1，則

設(shè)xk=ak,yk=M-ak，得

綜合(ⅰ)與(ⅱ)，對?p∈R，不等式成立。

特別，若取p=M=1，則為Shapiro不等式。

證明當p>1,q<0，且p+q≥1時，根據(jù)推論4得：

∑ak(ak+bk)p≥

同理，

∑bk(ak+bk)p≥

兩式相加：

∑(ak+bk)p+1≥

所以，

即

例5(Mikolas不等式)設(shè)ajk>0，若β≥1且αβ≥1，則

當β≤1且αβ≤1時，不等式反向。

兩邊β方，

(11)

所以待證不等式左式成立。又根據(jù)推論8，當β≥1時，

所以，

所以，

(12)

即待證不等式右式成立。綜合(11)式與(12)式，命題獲證。

同理可證β≤1且αβ≤1的情況。

4結(jié)束語

本文定理所述不等式結(jié)構(gòu)特征具有簡單性和普適性[12]，如果繼續(xù)對其中各量取適當?shù)闹凳?，不僅可以涵蓋、推廣或改進相關(guān)文獻的相應(yīng)結(jié)果[13-15]，更可得出一大批級數(shù)部分和不等式。

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A Kind of Series Part and Inequality and Its Application

LUOJing

(School of Science, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

Series part and inequality is the foundation of inequality research and the development of modern mathematics. Based on the study of classical inequalities, series part and inequality with multiple parameters and simple structure form is established. In the application of some basic inequalities, the inequality is strictly proved by elementary transformation. Based on the analysis of the structure characteristic of the inequality and the given specific parameters value, a series of important corollaries are presented. Through several notable examples, the test theorem and its corollary are universal in constructing or proving a large number of series and inequalities. At the same time, the results not only include a large number of well-known inequalities, but also are the promotion, improvement and enhancement of these inequalities and the recent literature.

basic inequality; series part and inequality; generalization

2016-03-24

羅 靜(1980-)，女，四川自貢人，助教，主要從事數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)理論方面的研究，(E-mail) 379040763@qq.com

1673-1549(2016)04-0081-07

10.11863/j.suse.2016.04.18

O178

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