二值圖像邏輯與運算CNN模板的穩(wěn)定性設(shè)計

李碩, 魏小亭, 李國東,b

(新疆財經(jīng)大學(xué)a.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院;b.新疆社會經(jīng)濟統(tǒng)計研究中心, 烏魯木齊830012)

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二值圖像邏輯與運算CNN模板的穩(wěn)定性設(shè)計

李碩a, 魏小亭a, 李國東a,b

(新疆財經(jīng)大學(xué)a.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院;b.新疆社會經(jīng)濟統(tǒng)計研究中心, 烏魯木齊830012)

結(jié)合細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Cellular Neural Networks)理論，提出了一類能快速實現(xiàn)二值圖像邏輯與運算的模板。對模板穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)分析表明，只要模板參數(shù)符合文中定理的要求，CNN就能夠?qū)煞祱D像進行與運算。實驗仿真證明了LOGAND CNN在實際應(yīng)用中的有效性及穩(wěn)定性設(shè)計定理的正確性。

二值圖像；細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；邏輯與運算；穩(wěn)定性設(shè)計

引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN，cellular neural network)是由蔡少棠和楊林[1-2]在1988年提出的。目前，大型集成電路已經(jīng)可以實現(xiàn)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的功能，而且它也在許多重要領(lǐng)域得到應(yīng)用[3-9]。CNN的模板參數(shù)決定了它的功能，參數(shù)的多樣性使得CNN的圖像處理功能十分強大。因此研究模板參數(shù)在什么范圍內(nèi)能使CNN實現(xiàn)特定功能，并使CNN具備穩(wěn)定性[10-12]有很大的研究意義。Chua L O提出了二值圖像邏輯與(LOGAND)CNN的模板[5]。丁蕾研究了一種對二值圖像進行邏輯運算的改進算法[13]。張群等[14]研究了一類能對灰度圖像進行邏輯或的CNN。有研究發(fā)現(xiàn)，CNN處理器的圖像處理速度理論上要比數(shù)字處理器快1000倍[5]，表明了此算法的優(yōu)越性。本文對Chua L O給出的LOGAND CNN模板參數(shù)進行了擴展，提出了一個符合二值圖像邏輯與運算的定理。

標(biāo)準(zhǔn)的M×N的CNN是由細(xì)胞Ci,j構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)基本形式如圖1所示。每個細(xì)胞Ci,j的狀態(tài)方程[5]為：

∑B(i,j;k,l)ukl+z

(1)

圖1二階CNN的結(jié)構(gòu)圖

輸出變量yi,j是由下述分段函數(shù)定義的：

1≤i≤M;1≤j≤N

(2)

其中，xi,j、yi,j、ui,j和z分別表示為狀態(tài)變量、輸出變量、輸入變量和閾值；A(i,j;k,l)和B(i,j;k,l)為兩個矩陣，A為反饋模板，B為控制模板。狀態(tài)方程的動力學(xué)性質(zhì)就由模板A、B和偏移z來決定。標(biāo)準(zhǔn)的CNN的輸出函數(shù)如圖2所示。

圖2標(biāo)準(zhǔn)CNN輸出函數(shù)

1二值圖像與運算CNN

(3)

為了確保像素點是一一對應(yīng)的，要求兩幅進行邏輯與運算的二值圖像尺寸必須相同。任何一個像素點對應(yīng)的輸入和初值只能為1或-1，只有當(dāng)對應(yīng)像素點的輸入和初值全為1(黑像素)時，輸出才為1；否則，輸出為-1，即白像素。其模板由式(4)給出

(4)

1.1LOGAND CNN的整體任務(wù)

LOGAND CNN的整體任務(wù)如下：

(1) 給定兩幅靜態(tài)二值圖像P1和P2。

(2) 輸入圖像：U=P1。

(3) 初始狀態(tài)圖像：X(0)=P2。

(4) 邊界條件：周期(toroidal)邊界條件。

1.2LOGAND CNN的局部規(guī)則

由LOGAND CNN的整體任務(wù)可以看出，它的輸出結(jié)果僅與它的輸入和初始的狀態(tài)有關(guān)系，輸入和初始狀態(tài)共有4種組合形式：(1,1)、(1,-1)、(-1,1)、(-1,-1)。按照這4種情況，可以將整體任務(wù)分成4個局部規(guī)則：

(1) (ui,j,xi,j(0))=(1,1)?yi,j(∞)=1；

(2) (ui,j,xi,j(0))=(1,-1)?yi,j(∞)=-1；

(3) (ui,j,xi,j(0))=(-1,1)?yi,j(∞)=-1；

(4) (ui,j,xi,j(0))=(-1,-1)?yi,j(∞)=-1；

所以，對待處理的二值圖像P1和P2，LOGAND CNN的4個局部規(guī)則可以歸納為表 1 的形式。

表1LOGAND CNN模擬二值圖像邏輯與運算的局部規(guī)則

1.3LOGAND CNN模板穩(wěn)定性定理及證明

LOGAND CNN的邏輯與運算功能是用線性非耦合模板式(4)來實現(xiàn)的，它是LOGAND CNN的一種特殊形式。這里仿照上述模板，采用下文的一般線性非耦合模板來實現(xiàn)LOGAND CNN的功能。

(5)

其中，a、b、z為實數(shù)，且a>1，b>0。

則LOGAND CNN的狀態(tài)方程為：

-xi,j+ayi,j+bui,j+z

(6)

定理1設(shè)二值數(shù)字圖像邏輯與運算CNN的模板為式(5)所示形式，那么當(dāng)式(7)表示的不等式組成立時，CNN能夠?qū)崿F(xiàn)二值圖像邏輯與運算的功能。

(7)

證明將LOGAND CNN的狀態(tài)方程式(6)寫為

-xi,j+ayi,j+wi,j,

i=1,2,…M; j=1,2,…N

(8)

其中，wi,j=bui,j+z。

圖3單個LOGAND CNN的動力學(xué)曲線

wi,j=bu+z=-2b+z

(9)

(2) ui,j(0)=-1，且xi,j(0)=1?yi,j(∞)=-1?？傻肅i,j的動力學(xué)曲線，位于圖3中的wi,j=0曲線下方(即bu+z<0)。得到

wi,j=bu+z=z<0

(10)

(3) ui,j(0)=1，且xi,j(0)=1?yi,j(∞)=1?？傻肅i,j的動力學(xué)曲線，位于圖3中的wi,j=1-a曲線上方(即bu+z>1-a)。得到

wi,j=bu+z=2b+z>1-a

(11)

z<0

(12)

由式(9)～式(12)與a>1，b>0可得(7)式。

定理1證明完畢。表明只要CNN的模板參數(shù)滿足定理1中式(7)的要求，就能夠完成對數(shù)字二值圖像進行邏輯與運算的任務(wù)。

2實驗結(jié)果

{a=2,b=1,z=-1}

{a=10,b=2,z=-2}

{a=100,b=20,z=-10}

三組參數(shù)模擬的結(jié)果如圖4(c)所示，可以看出實驗仿真的效果很好。

為了避免實驗結(jié)果的偶然性，選取不同的圖像P3(圖5(a))和P4(圖5(b))進行實驗仿真，同樣選取三組不同的(滿足定理1)的模板參數(shù)：

{a=20,b=10,z=-3}

{a=200,b=100,z=-20}

{a=300,b=200,z=-30}

結(jié)果如圖5(c)所示。

綜上，當(dāng)選擇的模板參數(shù)滿足定理1的要求時，LOGAND CNN便能對兩幅靜態(tài)二值數(shù)字圖像完成邏輯與運算，且效果比較理想，確認(rèn)了定理1的可行性與正確性。

3結(jié)束語

圖4LOGAND CNN模擬二值圖像P1和P2的與運算

圖5LOGAND CNN模擬二值圖像P3和P4的邏輯與運算

通過對Chua L O給出的LOGAND CNN模板參數(shù)進行擴展，給出了一個適用于二值圖像邏輯與運算的定理，并對該定理進行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。只要LOGAND CNN的模板參數(shù)滿足定理的要求，就可以完成對兩幅二值圖像的邏輯與運算。實驗結(jié)果證明了LOGAND CNN的有效性、穩(wěn)定性以及設(shè)計定理的正確性。該LOGAND CNN具有所有CNN的高速運算功能，使得此算法在實際圖像處理過程中具有很大的優(yōu)越性。

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The Stability Design of Binary Image Logic and CNN Template

LIShuoa,WEIXiaotinga,LIGuodonga,b

(a.School of Applied Mathematics; b.Research Center of Xinjiang Social and Economic Statistics, Xinjiang University of Finance & Economics, Urumqi 830012, China)

A kind of binary image logic and CNN was proposed by combining with CNN theory. A theorem was established to design the stability template parameters of LOGAND CNN, and a rigorous mathematical proof was given. As long as the template parameters conform to the requirements of the theorem, CNN can conduct and operations for two binary image. The simulation results illustrate the effectiveness and the correctness of the LOGAND CNN in practical application.

binary image; cellular neural networks; logical or operation; stability design

2016-05-31

國家自然科學(xué)基金項目(11461063);國家社科基金項目(14BTJ021);國家教育部人文社會科學(xué)基金項目(13YJAZH040);新疆維吾爾自治區(qū)普通高等學(xué)校人文社會科學(xué)重點研究基地基金項目(050315B03)

李 碩(1988-),男,河北保定人,碩士生,主要從事數(shù)據(jù)分析與圖像處理方面的研究,(E-mail)15026066340a@sina.com;

李國東(1972-),男,黑龍江鶴崗人,教授,博士,主要從事數(shù)據(jù)分析與圖像處理方面的研究,(E-mail)lgdzhy@126.com

1673-1549(2016)04-0044-05

10.11863/j.suse.2016.04.10

TP183

A