改進(jìn)后的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型盈余首達(dá)時間分析

韓建勤，喬克林

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

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改進(jìn)后的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型盈余首達(dá)時間分析

韓建勤，喬克林

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

對賠付為復(fù)合Poisson-Geometric的經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)行改進(jìn),并運(yùn)用鞅的方法對改進(jìn)后的模型進(jìn)行研究,得到盈余首次達(dá)到給定水平時刻的拉氏變換以及相應(yīng)的期望、方差和3階中心矩的具體表達(dá)式.

負(fù)二項過程;Poisson-Geometric項過程;鞅;停時

0 引言及模型簡介

在保險公司對某同質(zhì)保單組合實(shí)施推出免賠付額制度和無賠款折扣等制度的背景下，毛澤春和劉錦萼引入了一類描述賠付計數(shù)過程的復(fù)合Poisson-Geometric過程,結(jié)合經(jīng)典風(fēng)險模型,許多學(xué)者對其進(jìn)行了推廣,并得到了許多有關(guān)破產(chǎn)概率方面的結(jié)果[1-8],例如: 文獻(xiàn)[1]中在經(jīng)典風(fēng)險模型上對破產(chǎn)概率進(jìn)行了研究,得到了破產(chǎn)概率所滿足的更新方程,而且在索賠服從指數(shù)分布的情況下給出了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式;文獻(xiàn)[2]中將經(jīng)典的風(fēng)險模型推廣到復(fù)合P-G模型,研究了其破產(chǎn)概率的上界估計問題，并得到了估計式;文獻(xiàn)[3]中對索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型進(jìn)行研究,給出了當(dāng)初始資本為0及索賠額為指數(shù)分布下破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式,并利用鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式和一般公式.

筆者主要考慮到保險公司發(fā)生破產(chǎn)的概率畢竟非常小,保險公司更加關(guān)心公司需要多長時間盈利首次達(dá)到給定的水平,以便公司進(jìn)行合理規(guī)劃,采取適當(dāng)?shù)拇胧┓乐蛊飘a(chǎn)發(fā)生等一系列因素,在文獻(xiàn)[4-9]的基礎(chǔ)上,針對一類改進(jìn)的風(fēng)險模型,利用鞅的知識對其盈余首次達(dá)到給定水平的時刻進(jìn)行研究，得到給定水平時刻的拉氏變換以及相應(yīng)的期望、方差和3階中心矩的具體表達(dá)式.

定義 在一個完備概率空間(Ω,F,P)上,設(shè)保險公司的盈余過程為

U(t)=(u-F)+(1+tj)F+Z(t)-S(t)+σW(t)，

假設(shè):

1) 設(shè)u為初始資本，F(xiàn)表示根據(jù)初始資本及在單位時間內(nèi)預(yù)測賠付額的大小而設(shè)定用于投資的資金，j表示單位時間的投資收益.

3) 保險公司收取保單和進(jìn)行理賠均在離散的時刻t(t=0,1,2,)進(jìn)行的.

因為本文中并不考慮破產(chǎn)概率,所以可以令U(0)=0,即u=0.故盈余過程可簡寫為

U(t)=tjF+Z(t)-S(t)+σW(t)

(1)

1 預(yù)備引理

引理1.1[10]盈余過程{U(t),t≥0}具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量性.

引理1.2 對于盈余過程{U(t),t≥0}存在函數(shù)s=s(r)使得E[e-rU(t)]=ets,且函數(shù)s(r)=0存在唯一的正解R,稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).

其中:

(2)

引理1.2的證明 根據(jù)模型(1)式得

E[e-rU(t)]=E[exp(-rtjF-rZ(t)+rS(t)-rσW(t))]=

E[exp(-rtjF)]E[exp(-rZ(t))]E[exp(rS(t))]E[exp(-rσW(t))]=

即證,存在函數(shù)s=s(r)使得E[e-rU(t)]=ets.

又因

故

(3)

(4)

從而有

引理1.3的證明 因為

E[e-rU(t)-st|Fv]=E[e-rU(t)-st+rU(v)+sv-rU(v)-sv|Fv]=

E[e-rU(v)-sve-r(U(t)-U(v))-s(t-v)|Fv]=

e-rU(v)-svE[e-rU(t-v)-s(t-v)|Fv]=e-rU(v)-sv,

引理1.4[11]假設(shè)T是關(guān)于鞅{X(t),t≥0}的有界停時,則有E[X(T)]=E[X(0)].

2 主要結(jié)論及證明

定理2.1T的拉氏變換E[e-sT]=erx,其中s,r滿足(2)關(guān)系式.

定理2.1的證明 對于過程{U(t),t≥0},由鞅停時理論知T為事件Fn-停時,故可由引理3和引理4得E[e-rU(t)-ts]=1,又因為U(T)=x,所以E[e-rx-Ts]=1,即E[e-sT]=erx,證畢.

其中:

定理2.2的證明 在定理2.1中E[e-sT]=erx的基礎(chǔ)上,令φ(s)=lnE[e-sT],則有φ(s)=rx,進(jìn)而可得

(5)

故當(dāng)令s=r=0時,由(3),(5)式得

同理有

(6)

同樣當(dāng)令s=r=0時,由(6),(7),(8)式得

類似地有

再由(4)式有

令s=r=0時,由(3),(4),(8)式得

[1] 毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2005,28(3):419-428.

[2] 張淑娜,陳紅燕,胡亦鈞.一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)雜志,2009,29(4):567-572.

[3] 熊瑩盈,高莘莘.關(guān)于復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的研究[J].湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,33(1):31-35.

[4] 謝杰華,鄒娓.一類具有時間相依索賠風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J].中國科學(xué)院研究生院學(xué)報,2008,25(3):313-319.

[5] 贠小青.Poisson-Geometric風(fēng)險模型調(diào)節(jié)系數(shù)不存在的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2015,45(15):189-195.

[6] 喬克林,韓建勤,延杰，等. 帶干擾的雙復(fù)合負(fù)二項風(fēng)險模型的連續(xù)化[J].河南科學(xué),2015,33(12):2075-2080.

[7] 廖基定,劉再明,龔日朝.賠付次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險模型破產(chǎn)概率上界估計[J].南華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,22(3):5-8.

[8] 王貴紅,趙金娥,龍瑤.一類索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2014,44(21):6-12.

[9] 趙金娥,王貴紅,龍瑤.復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型下盈余首次達(dá)到給定水平的時間分析[J].云南名族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,21(1):26-29.

[10] 龔日朝.保險風(fēng)險理論模型[M].北京:中國經(jīng)濟(jì)出版社,2011.

[11] Gerber H U. An introduction to mathematical risk theory[M].Philadelphia: University of Pennsylvania,1979.

(責(zé)任編輯 趙燕)

Analysis of the time when the surplus reaches a level firstly in an improved Poisson-Geometric risk model

HAN Jianqin，QIAO Kelin

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,China)

Be improved which the claim numbers is a Poission-Geometric process in the paper. Using the martingale method，the time when the surplus reaches a level firstly is considered，and its Laplace translation and its mean andk-th central moments (k=2,3)are obtained.

negative processes; Poission-Geometric process; martingale; stopping time

2016-03-23

陜西省教育廳專項科研計劃項目(2013JK0576)，延安市科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(2014ZC-6)和延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目資助

韓建勤(1988-),男,碩士生;喬克林,通信作者，副教授,E-mail:yadxqklin@163.com

1000-2375(2016)06-0484-04

O211.5

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.06.003