基于因果微積分定理討論時(shí)域分析和s域分析

楊忠根,任 蕾,陳紅亮

(上海海事大學(xué)電子工程系,上海 200135)

0 引言

一些信號(hào)與系統(tǒng)的經(jīng)典教材[1-3]并未清楚交待拉氏變換中的幾個(gè)重要性質(zhì):時(shí)域微分定理、時(shí)域積分定理、初值定理和終值定理的物理意義,更沒有深入討論系統(tǒng)時(shí)域分析與s域分析的聯(lián)系。在我們歷年的“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)[4-5]中,通過引入因果微分定理,并通過它來解釋這幾個(gè)性質(zhì)并建立時(shí)域分析與s域分析的聯(lián)系與比較,收到了良好的教學(xué)效果。

1 用因果微分定理推導(dǎo)拉氏變換定理

現(xiàn)在,對(duì)拉氏變換的時(shí)域微積分性質(zhì)、初值定理和終值定理進(jìn)行推導(dǎo)。

1)因果微分定理[4-5]

下列關(guān)系稱為因果微分定理:

因果微分定理敘述了信號(hào)各階導(dǎo)數(shù)的因果分量與信號(hào)因果分量的各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,它們之差與初始條件有關(guān)。在本文,下標(biāo)的+號(hào)標(biāo)記因果化運(yùn)算。

2)因果信號(hào)微分的拉氏變換

拉氏變換是對(duì)信號(hào)因果分量 f+(t)定義的,其反變換為

因此,信號(hào)因果分量的導(dǎo)數(shù)為

反復(fù)求導(dǎo)后,有

3)拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)

在拉氏變換中,通常表述信號(hào)導(dǎo)數(shù)的因果分量的拉氏變換。這需要對(duì)式(1)至(3)的因果微分定理的兩邊取拉氏變換。這樣,我們有如下所述的拉氏變換時(shí)域微分性質(zhì):

所以,式(8)至式(10)表達(dá)的拉氏變換時(shí)域微分性質(zhì)實(shí)際上是因果微分定理的s域表達(dá)式。

4)拉氏變換的初值定理

把式(8)中的0-改為 0+,有sF(s)-f(0+)=對(duì)它取 s ※+∞的極限 ,注意到使得就得到拉氏變換的初值定理:

5)拉氏變換的終值定理

這就是拉氏變換的終值定理:

2 用因果積分定理推導(dǎo)拉氏變換性質(zhì)

1)因果積分定理

把等式

的兩邊因果化后,考慮到因果信號(hào)的積分必因果,就得到因果積分定理為

其中,f(-1)(t)和[f+(t)](-1)分別是f(t)和 f+(t)的積分。它敘述了信號(hào)積分的因果分量與信號(hào)因果分量積分的關(guān)系。

2)因果信號(hào)積分的拉氏變換

對(duì)式(5)積分后,有

它敘述了對(duì)因果信號(hào)而言的拉氏變換時(shí)域積分定理。

3)拉氏變換的時(shí)域積分性質(zhì)

為得到信號(hào)積分后的因果分量的拉氏變換,對(duì)式(13)表述的因果積分定理的兩邊取拉氏變換,就得到如下所述的拉氏變換時(shí)域積分定理:

它是因果積分定理的s域表達(dá)式。

3 系統(tǒng)時(shí)域分析和s域分析的比較

由n階線性常系數(shù)微分方程

描述的n階LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析和s域分析的原理和方法是非常相似的。前者基于因果微分定理的時(shí)域表達(dá)式,后者基于因果微分定理的s域表達(dá)式。表1列出了一些重要內(nèi)容的比較。從它可清楚地看出系統(tǒng)時(shí)域分析和s域分析之間的密切聯(lián)系:s域表達(dá)式是時(shí)域表達(dá)式的拉氏變換[5]。

表1 系統(tǒng)時(shí)域分析和s域分析的比較

4 結(jié)語

從上述討論可以得出以下結(jié)論:①拉氏變換的時(shí)域微分定理和時(shí)域積分定理是時(shí)域因果微分定理和時(shí)域因果積分定理的 s域版本;②對(duì)[f′(t)]+的拉氏變換取s※∞的極限就得到拉氏變換的初值定理,而對(duì)[f′(t)]+的拉氏變換取s※0的極限就得到拉氏變換的終值定理;③系統(tǒng)的時(shí)域分析和s域分析都是基于因果微分定理,其原理和方法十分相似,可以認(rèn)為,s域分析是時(shí)域分析的s域版本。這些概念有助于明確時(shí)域分析與s域分析的密切聯(lián)系。

當(dāng)然,借助于部分分式分解技術(shù),s域分析技術(shù)實(shí)際上無需求出對(duì)應(yīng)的規(guī)范化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、等效零輸入激勵(lì)和等效零狀態(tài)激勵(lì)的拉氏變換,一般直接計(jì)算零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換。這使得系統(tǒng)s域分析技術(shù)比時(shí)域分析技術(shù)更簡捷。

[1] 鄭君里,應(yīng)啟珩,楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000年

[2] 吳大正主編,楊林耀,張永瑞編.信號(hào)與系統(tǒng)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998

[3] 劉樹棠譯,A.V.Oppenheim,A.S.Willsky,W.S.H.Nawab著,信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1998年

[4] 楊忠根,任蕾,陳紅亮.因果微分定理及其應(yīng)用[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2009,31(4):50-52

[5] 楊忠根,任蕾,陳紅亮.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009年7月