“三類思維”互相轉(zhuǎn)化：數(shù)學(xué)概念的形成路徑

【摘要】數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，對抽象思維能力偏弱的小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念是難以理解的?！叭愃季S”互相轉(zhuǎn)化，即具象思維、形象思維、抽象思維三者之間互相轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)概念在學(xué)生心中由內(nèi)而外自然生長的形成路徑。

【關(guān)鍵詞】具象思維；形象思維；抽象思維；數(shù)學(xué)概念；形成路徑

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）36-0034-03

【作者簡介】孟霞，江蘇省連云港市墟溝中心小學(xué)（江蘇連云港，222042），高級教師，連云港市名教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者。

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，但對抽象思維能力偏弱的小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念是難以理解的。因此，“數(shù)學(xué)概念不足”被列為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一大原因。

“三類思維”互相轉(zhuǎn)化，是指具象思維、形象思維、抽象思維三者之間互相轉(zhuǎn)化。具象思維是指為達(dá)到認(rèn)識目的，運(yùn)用具象的材料或因素進(jìn)行的思維，需要借助物象（即感官對于事物具體形象的感知）。形象思維是指在思維過程中借助于表象而進(jìn)行的思維。抽象思維是指在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律的思維，需要借助詞語、符號。

在人類思維形式的發(fā)展史上，最先形成的是具象思維，而后是形象思維，再后是抽象思維。據(jù)此，我們應(yīng)該遵循學(xué)生具象思維—形象思維—抽象思維—具象思維的發(fā)展路徑（如圖1），讓數(shù)學(xué)概念在學(xué)生心中由內(nèi)而外自然形成。

一、從具象到形象：讓數(shù)學(xué)概念在“直觀”中“顯影”

何謂具象？《現(xiàn)代漢語詞典》（第6版）中的解釋是：①具體的；不抽象的。②具體的形象。具象思維是人類的一種特殊的精神活動現(xiàn)象，它是用具體生動的整體形象揭示事物本質(zhì)、表述認(rèn)識結(jié)果的一種思維。小學(xué)生的思維以直觀動作思維為主，這是具象思維的初級階段。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)直觀教學(xué)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象，促進(jìn)其具象思維向形象思維發(fā)展，讓數(shù)學(xué)概念在“直觀”中“顯影”。

1.追根溯源，引導(dǎo)概念生長。

捷克教育家夸美紐斯說：“我們由此可以為教師們找出一條金科玉律，在可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)該盡量地放在感官跟前?！薄斑@是因?yàn)橹R的開端永遠(yuǎn)必須來自感官?！备拍罱虒W(xué)應(yīng)呈現(xiàn)具象的知識，以此來刺激學(xué)生的感官，促使表象形成，為概念的生長鋪平道路。

教學(xué)蘇教版四下《平行四邊形的認(rèn)識》時，我把它和《梯形的認(rèn)識》整合成一個課時進(jìn)行教學(xué)。

出示下列圖形：

師：你能一眼看出哪個不是四邊形嗎？（三角形）你能把對邊平行的四邊形的組數(shù)做一個統(tǒng)計嗎？

師：根據(jù)對邊平行的組數(shù)，你能把這些圖形分分類嗎？

學(xué)生很快把這些四邊形分成“有兩組對邊平行”和“只有一組對邊平行”兩類。

在揭示平行四邊形和梯形的定義后，教師追問：“為什么說只有一組對邊平行的是梯形？能不能把這個‘只字去掉？”

生1：不能。因?yàn)樘菪问且唤M對邊平行，另一組對邊不平行，去掉這個“只”字，意義就表達(dá)不明確了。

生2：這個“只”字強(qiáng)調(diào)梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行，所以不能去掉。

教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，將具象的學(xué)習(xí)素材轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的表象，在一次次智慧的碰撞中，概念自然生長于學(xué)生的腦海，悄然生長的還有學(xué)生的數(shù)學(xué)精神。

2.虛實(shí)相生，直擊概念內(nèi)核。

虛實(shí)相生是指兩者處于一種互動的狀態(tài)，其中，實(shí)是具象，虛是表象。有些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以借用虛實(shí)相生的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷由“實(shí)”的具象到“虛”的表象的過程，促進(jìn)學(xué)生深刻地理解概念，巧妙地建構(gòu)新的知識生長點(diǎn)，從而由此及彼、由具象到表象地掌握知識。

教學(xué)蘇教版二上《認(rèn)識線段》時，我利用毛線、直尺的邊等具象的材料，幫助學(xué)生經(jīng)歷線段表象的建立到線段概念的形成過程。鞏固階段，我請學(xué)生判斷生活中一些現(xiàn)象形成的是不是線段，其中包括水龍頭水流的軌跡。

水流軌跡在學(xué)生腦中虛實(shí)相生，直擊線段的概念內(nèi)核，幫助學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)從具象到表象的轉(zhuǎn)變。

二、從形象到抽象：讓數(shù)學(xué)概念在“理性”中“定格”

抽象思維是對客觀現(xiàn)實(shí)進(jìn)行間接的、概括的反映的過程，屬于理性認(rèn)識階段。因此，在教學(xué)中，只有找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，借助形象，適時抽象，才能幫助學(xué)生跨越從形象到抽象的思維障礙，促使數(shù)學(xué)概念在“理性”中“定格”。

1.突出現(xiàn)象，鋪設(shè)概念形成的通達(dá)之路。

概念學(xué)習(xí)需要依賴學(xué)生積累的數(shù)學(xué)表象，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感悟和建構(gòu)。

教學(xué)蘇教版五上《循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識》時，我首先讓學(xué)生觀看馬路兩邊廣告牌和欄桿一一間隔排列、人行道地磚紅白相間排列等生活現(xiàn)象的圖片，使學(xué)生獲得對“循環(huán)”含義的初步理解。接著，我啟發(fā)學(xué)生：“像這樣的事例，你們還能舉出一些嗎？”有的學(xué)生說：“春夏秋冬四季輪換，太陽東升西落?！蔽医又鴨l(fā)：“那么數(shù)學(xué)中有沒有循環(huán)呢？請試著計算1÷3、40÷6。”

利用“循環(huán)小數(shù)”這一概念的現(xiàn)實(shí)原型引入新課，緊緊抓住概念的關(guān)鍵詞——循環(huán)，喚醒學(xué)生關(guān)于“循環(huán)”的生活經(jīng)驗(yàn)，為概念的順利理解鋪平了道路。

2.促使遷移，營造概念形成的酣暢之境。

新課標(biāo)指出：課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索。概念教學(xué)應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活情景中尋找數(shù)學(xué)現(xiàn)象，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無處不在，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，并使學(xué)生學(xué)會在生活和數(shù)學(xué)中互相遷移。

教學(xué)蘇教版六上《長方體和正方體的認(rèn)識》時，我先以“我們學(xué)過哪些圖形？”這個問題引入，讓學(xué)生回憶學(xué)過的平面圖形，再出示兩個立體圖形，從而揭示課題。接著讓學(xué)生找出生活中的長方體或正方體，再拿出長方體模型，讓學(xué)生通過摸一摸、數(shù)一數(shù)，初步認(rèn)識長方體的面、棱和頂點(diǎn)，在數(shù)的時候讓學(xué)生思考：怎樣數(shù)才能既不重復(fù)也不遺漏？著重引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成有序思維的好習(xí)慣。在學(xué)習(xí)正方體的特征時，放手讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)習(xí)長方體的經(jīng)驗(yàn)自學(xué)。

學(xué)生把學(xué)習(xí)長方體的方法遷移到正方體，不但明晰了正方體的特征，還厘清了長方體和正方體的聯(lián)系與區(qū)別。

三、從抽象到具象：讓數(shù)學(xué)概念在“物化”中“成像”

抽象思維是人們進(jìn)行理性認(rèn)識的一種工具，但在人類社會的發(fā)展史中，具象思維的發(fā)生無處不在，人們在自覺和不自覺中無數(shù)次地運(yùn)用著具象思維。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維不是終點(diǎn)，而能把抽象化的概念以具象化的直觀形式表達(dá)出來，則表明學(xué)生對概念的理解達(dá)到了爐火純青的境界。圖形分析是解讀概念的一種形式，既可以反映學(xué)生對概念的理解程度，有助于培養(yǎng)他們的幾何直觀能力，又可以讓數(shù)學(xué)概念得以拓展延伸，讓數(shù)學(xué)概念在“物化”中“成像”。

1.化數(shù)為形，拓展圖形分析時空。

“數(shù)”和“形”是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容。解決數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)把問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來，化數(shù)為形，彌補(bǔ)抽象思維的不足，變抽象為具象，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識，提高其解決問題的能力。教學(xué)蘇教版五下《解決問題的策略：轉(zhuǎn)化》一課時，出示以下三道計算題：

+ = + + = + + + =

隨著加數(shù)的增加，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用通分的方法計算不便利。這時，我出示正方形圖（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生在正方形中逐一表示出 、 、 和 四個分?jǐn)?shù)，然后要求他們觀察圖2并展開討論：圖中哪個部分表示這些分?jǐn)?shù)的和？空白部分占大正方形的幾分之幾？把算式和圖形聯(lián)系起來，你還能想到求這些分?jǐn)?shù)的和的不同方法嗎？

在學(xué)生明確化數(shù)為形的方法后，出示變式題： + + + =。學(xué)生依據(jù)上述學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，迅速得出結(jié)果是 ，片刻安靜后，齊呼：“好像不對！”正確的結(jié)果是什么？一時又說不清。而把頭腦中模糊的想法轉(zhuǎn)化成圖形后，解題思路就躍然紙上了：

+ + + =1- - =

一圖抵百語，化數(shù)為形抓住了數(shù)與形之間的聯(lián)系，以具象的形表達(dá)抽象的數(shù)，在問題得以解決的同時，還幫助學(xué)生感悟到以具象的圖形語言思考問題的價值。

2.化難為易，提高概念理解能力。

將圖形和等式結(jié)合起來分析，不但可以幫助學(xué)生較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)他們思維的發(fā)展，還能啟迪其思路，化難為易，深化學(xué)生對概念的理解，為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機(jī)會，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。

圖3所示的是“解決問題的策略：轉(zhuǎn)化”單元中的一道思考題：涂色部分是正方形，你能求出圖中最大長方形的周長嗎？

師：涂色正方形的邊長與大長方形的邊有什么關(guān)系？

生：涂色正方形的邊長等于大長方形的寬。

師：27+19表示什么意思？

生：27+19=大長方形的長+大長方形的寬。

師：現(xiàn)在你知道圖中大長方形的周長了嗎？

生（異口同聲地）：知道！大長方形的周長是（27+19）×2=92（厘米）。

上述案例，如果從常規(guī)思路——長方形的周長計算公式出發(fā)，先求出長方形的長和寬，再計算周長，就會陷入死胡同。改用推理的方法，很快就會發(fā)現(xiàn)：給出的兩條線段之和恰好是長方形一條長與一條寬的和。用轉(zhuǎn)化的策略將圖形和等式結(jié)合起來，是解決問題的突破口。

有學(xué)者把數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)分為具體期、確認(rèn)期、分類期、生產(chǎn)期和形式期五個階段，其中，形式期是最高級的階段，處于這一階段的學(xué)生可以說出概念的定義。其實(shí)，學(xué)生的概念學(xué)習(xí)是貫穿其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，是漸進(jìn)的。我認(rèn)為還應(yīng)該有第六階段——創(chuàng)生期，在這一階段，學(xué)生不但能流利地說出概念的定義，這個定義還帶有學(xué)生個性化、創(chuàng)生性的理解。學(xué)生只有多角度、多層面地理解了概念，才能順利地向創(chuàng)生期過渡，“三類思維”互相轉(zhuǎn)化不失為一條有效的路徑。

【參考文獻(xiàn)】

[1]覃可霖.試論寫作活動中的具象思維[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報：哲學(xué)社會科學(xué)版，2012（2）.

[2]劉天君.具象思維是中醫(yī)學(xué)基本的思維形式[J].中國中醫(yī)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)雜志，1995（2）.

[3]劉天君.具象思維的概念及其意義探討[J].北京中醫(yī)藥大學(xué)學(xué)報，2011（9）.

[4]魏玉龍.具象思維的形成、發(fā)展和研究[J].中醫(yī)學(xué)報，2009（24）.

[5]孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.

[6]楊曉榮.重視培養(yǎng)幾何直觀能力[J].教育研究與評論，2011（8）.

[7]蘇瑜.小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)[J].教育研究與評論，2015（4）.

注：本文獲2015江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。