理清來(lái)龍去脈 分析臨界狀態(tài)

宋浩杰

高中物理涉及到臨界的問(wèn)題學(xué)生往往比較頭疼。什么是臨界問(wèn)題呢？當(dāng)物體由某種狀態(tài)轉(zhuǎn)變成另一狀態(tài)的過(guò)程中，中間某個(gè)質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)則可對(duì)應(yīng)為臨界狀態(tài)，物理學(xué)上有關(guān)臨界狀態(tài)的問(wèn)題研究就稱為臨界問(wèn)題。教師引導(dǎo)學(xué)生處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)，切忌讓學(xué)生對(duì)臨界條件死記硬背，而要幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)量變過(guò)程的分析，來(lái)認(rèn)識(shí)質(zhì)變的必然。筆者以高一階段的幾個(gè)典型臨界問(wèn)題為例，談?wù)勛约簩?duì)此類內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)的思考。

1有關(guān)速度的臨界問(wèn)題

運(yùn)動(dòng)學(xué)的臨界問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在追及情形中。追及問(wèn)題就是討論兩個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程發(fā)生追趕或相遇的問(wèn)題。此類問(wèn)題中的物體都有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就導(dǎo)致彼此間距離的變化需要進(jìn)行定量的計(jì)算分析，再因?yàn)槌鯌B(tài)二者間的距離或大或小，則會(huì)發(fā)生沒有追上或追上的可能。這時(shí)就會(huì)有一個(gè)臨界狀態(tài)的討論，此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于，學(xué)生不僅要對(duì)兩個(gè)物體的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析，還要對(duì)物體的空間關(guān)系、速度關(guān)系進(jìn)行研究。

例1 現(xiàn)有貨車甲從某地沿直線以20 m/s的速度向前勻速行駛，轎車乙在甲出發(fā)了200 m之后，從同一位置由靜止?fàn)顟B(tài)開始，以加速度2 m/s²向前勻加速去追趕甲車。求轎車在追上貨車之前二者之間的最大的距離。

分析

本題處理的關(guān)鍵在于學(xué)生必須理順兩輛汽車之間的空間位置的變化關(guān)系，一項(xiàng)重要的輔助手段是畫出汽車行進(jìn)的示意圖（如圖1所示）。s₀是乙車出發(fā)時(shí)，甲車已經(jīng)領(lǐng)先的距離，此時(shí)乙車速度為零，它還有一段逐漸加速的過(guò)程，在乙車速度小于甲車的階段，二者的距離會(huì)逐漸變大；隨著乙車的速度不斷增加，當(dāng)乙車速度超過(guò)甲車后，二者距離逐漸減小；因此甲乙二車速度相等的時(shí)刻就是彼此距離增大和縮短的分界點(diǎn)，也就是我們所說(shuō)的臨界狀態(tài)。所以，解題步驟為兩個(gè)部分，第一求出乙車速度增加至20 m/s所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，第二在這段時(shí)間里甲車和乙車分別發(fā)生的位移，二者相減之后再加上原有的200 m的距離，即為答案。

進(jìn)一步的思考：本題的處理還有相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、圖象法以及二次函數(shù)求極值的方法，筆者認(rèn)為前兩種方法屬于物理思維的積極體現(xiàn)，第三種方法需要學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行處理，也是當(dāng)下物理教學(xué)的一個(gè)重要方面——培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述物理過(guò)程，用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的相關(guān)能力。但是引導(dǎo)學(xué)生用此類方法進(jìn)行處理時(shí)，依然要和學(xué)生結(jié)合函數(shù)關(guān)系分析出具體的物理情境，不能簡(jiǎn)單地將物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

2有關(guān)時(shí)間的臨界問(wèn)題

高一階段常常會(huì)涉及到最短時(shí)間的問(wèn)題，行程類問(wèn)題和小船渡河問(wèn)題中都涉及到最短時(shí)間的問(wèn)題。

例2 有一汽車沿著平直的公路從甲地靜止出發(fā)駛向相距為s的乙地，已知汽車先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a₁，接著做勻速運(yùn)動(dòng)，最后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)停于乙地，加速度為a₂，那么，該汽車從甲地運(yùn)動(dòng)到乙地最短時(shí)間是多少？

分析

對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，很多學(xué)生會(huì)想到建立方程組進(jìn)行求解，其實(shí)利用圖象研究物理問(wèn)題也是一種常用的數(shù)學(xué)方法，借助于圖象簡(jiǎn)單、直觀等優(yōu)點(diǎn)幫助學(xué)生分析物理過(guò)程，找到問(wèn)題中涉及到的臨界條件，接著再計(jì)算得出結(jié)論。本題做出汽車的v-t圖象如圖2所示，四邊形OABC的面積表示甲乙兩地的距離s，動(dòng)態(tài)作圖，為了保證面積不變，可以發(fā)現(xiàn)改變加速時(shí)間會(huì)導(dǎo)致總時(shí)間的變化，繼而找到臨界，即先加速接著減速時(shí)間最短。

3有關(guān)摩擦力的臨界問(wèn)題

高中階段的摩擦力主要是兩類：靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力。其中靜摩擦力具有應(yīng)變性以及一定的取值范圍；而滑動(dòng)摩擦力的產(chǎn)生條件是發(fā)生摩擦的兩個(gè)物體之間要存在相對(duì)滑動(dòng)。當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力情形發(fā)生變化的時(shí)候，就可能導(dǎo)致靜摩擦力或滑動(dòng)摩擦力發(fā)生變化，自然也就有對(duì)應(yīng)摩擦力臨界狀態(tài)的發(fā)生。傳送帶模型經(jīng)常與此類問(wèn)題結(jié)合在一起成為問(wèn)題設(shè)計(jì)的情境。

例3 一個(gè)如圖3中甲圖所示的傾斜傳送帶長(zhǎng)度為16 m。其傾角為37°，現(xiàn)在正以10 m/s的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)轉(zhuǎn)。某質(zhì)量為0.5kg的物體從其上端由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，求物體從上端A運(yùn)動(dòng)到底端B所需要的時(shí)間。

分析 本題的解題關(guān)鍵在于學(xué)生要能分析出物體下滑16m過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具體操作如下：

①對(duì)初始狀態(tài)的物體進(jìn)行受力分析，除重力和支持力之外，考慮到初階段物體即使要加速，其開始階段的速度也要小于傳送帶的速度，亦即物體相對(duì)于傳送帶有向上的速度，則滑動(dòng)摩擦力向下，完整受力如圖3中的乙圖所示：

②第一階段受力情形會(huì)一直持續(xù)到物體的速度增加到與傳送帶速度相等的10 m/s，其后有一個(gè)判斷，物體在這段時(shí)間內(nèi)加速的位移為多少。通過(guò)計(jì)算可得，這一階段加速時(shí)間為1s，對(duì)應(yīng)位移5 m，即尚有11 m的位移需在第二階段走完。

③第二階段的受力是何特點(diǎn)呢？考慮到物體速度已經(jīng)達(dá)到與傳送帶一致，則有兩種可能，可能隨傳送帶一起勻速下降，也可能繼續(xù)加速。但由于最大靜摩擦力小于重力沿斜面方向分量，即物體的靜摩擦力無(wú)法抗衡重力的影響，物體會(huì)繼續(xù)加速，而其速度一旦大于傳送帶速度，則其滑動(dòng)摩擦力會(huì)沿斜面向上，受力情況如圖3中丙圖所示，結(jié)合第二階段的加速度求解和剩余位移11 m的已知，可求出第二段時(shí)間也為1 s，則全段時(shí)間2 s。

進(jìn)一步的思考：本題涉及到的臨界狀態(tài)在于物體與傳送帶速度相等的時(shí)刻，這一時(shí)刻是物體運(yùn)動(dòng)形式切換的分界點(diǎn)。如果本題中的動(dòng)摩擦因數(shù)較大，大于或等于傳送帶傾角的正切值，物體會(huì)勻速下滑；而如果動(dòng)摩擦因數(shù)小于傾角的正切值，則與本題所出現(xiàn)的情形一致，物塊繼續(xù)加速，但是要區(qū)分前后階段滑動(dòng)摩擦力方向上的差別。此外這也體現(xiàn)了滑動(dòng)摩擦力作用上的區(qū)分：前階段滑動(dòng)摩擦力充當(dāng)動(dòng)力；后階段滑動(dòng)摩擦力起到阻力的效果。

4有關(guān)彈力的臨界問(wèn)題

彈力也屬于應(yīng)變力，而且其方向都有嚴(yán)格的限制。例如，繩子的力就只能沿其收縮的方向；支撐面上的力肯定是垂直于表面向外的推力。當(dāng)外界的影響達(dá)到一定程度，使得繩子或支撐面上的力逐漸減小到零之后，這些地方的力是不會(huì)出現(xiàn)為負(fù)值的，因?yàn)槭噶康恼?fù)往往具有方向的含義，即它們的力不會(huì)反向：繩子不可能起到支撐作用；支撐面也不會(huì)反過(guò)來(lái)進(jìn)行吸附。此類情況經(jīng)常出現(xiàn)在豎直平面里圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題中一

例4 繩子拉動(dòng)的小球在豎直平面里做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4中的甲圖所示。求進(jìn)行完整的圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度有何要求。（自由落體運(yùn)動(dòng)加速度為g）

進(jìn)一步的思考：本例題還可以用水流星作為情境創(chuàng)設(shè)的背景，得出最高點(diǎn)速度的范圍。此外如果是如圖4中丙圖的圓形軌道模型，在最高點(diǎn)提供給小球的力類似于繩子，只能提供往下的力，而不能提供向上的力，因此，臨界狀態(tài)與上述情形完全一致。

綜上所述，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)臨界問(wèn)題進(jìn)行處理時(shí)，不應(yīng)該將學(xué)生的視線束縛在臨界狀態(tài)這一點(diǎn)上，而應(yīng)該結(jié)合過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)的分析，思考臨界情形發(fā)生的根源，這才有助于學(xué)生能力的真正提高。當(dāng)然，從方法上看，求解這類問(wèn)題較多用到數(shù)學(xué)方法，在分析清楚了過(guò)程和臨界條件的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理極值問(wèn)題，不僅易被高中學(xué)生接受，而且能培養(yǎng)學(xué)生處理信息和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。