MPCK視角下的核心概念教學(xué)——觀摩“向量的概念及其表示”課的體會(huì)與思考

浙江省寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué) (315806)

李鑫娟

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MPCK視角下的核心概念教學(xué)
——觀摩“向量的概念及其表示”課的體會(huì)與思考

浙江省寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué) (315806)

李鑫娟

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(Mathematic Pedagogical Content knowledge ,簡稱MPCK)MPCK是關(guān)于某一特點(diǎn)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表達(dá)、呈現(xiàn)和解釋，從而使學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí).按照香港中文大學(xué)黃毅英教授的觀點(diǎn)，MPCK是三個(gè)基本集：MK、PK、CK的公共部分.其中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(Mathematics Knowledge 簡稱MK)；一般教學(xué)法知識(shí)(Pedagogical Knowledge 簡稱PK) ；有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)(Content Knowledge,簡稱CK， 包括教學(xué)對(duì)象——學(xué)生學(xué)習(xí)背景、學(xué)習(xí)環(huán)境、教學(xué)宗旨等方面的知識(shí))三者地位相當(dāng)，MPCK即上述三者的交集.

數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎都是概念，而對(duì)學(xué)生今后生活起到觀念性影響的是數(shù)學(xué)中的一些核心概念、核心思想方法.核心概念、核心思想方法的抽象性、層次性、表征多元性決定學(xué)生對(duì)它的理解需要經(jīng)歷一個(gè)不斷往復(fù)、逐步加深、螺旋上升的過程.我們?cè)诮虒W(xué)中似乎忽視了幾個(gè)核心問題：數(shù)學(xué)是什么？課堂是什么？學(xué)生是什么？寧波市李惠利中學(xué)特級(jí)教師蘇茂鳴老師親自開設(shè)研討課《向量的概念及其表示》，這節(jié)課使人耳目一新，以其獨(dú)到的見解和處理方式向我們展示了如何對(duì)數(shù)學(xué)的核心概念進(jìn)行有效教學(xué)，如何在核心概念的教學(xué)中追逐數(shù)學(xué)的本質(zhì)，如何讓學(xué)生在核心概念的教學(xué)中習(xí)得數(shù)學(xué)的核心思想，又如何讓數(shù)學(xué)課堂浸潤數(shù)學(xué)文化.整節(jié)課也始終追求：自然的數(shù)學(xué)、自由的課堂、自主的學(xué)生，一氣呵成，自然連貫.筆者聽課后，感觸頗深，回味無窮，粗淺提筆談?wù)剬?duì)此節(jié)課的體會(huì)與思考.

一堂有效的數(shù)學(xué)課應(yīng)該有一條主線把教師與學(xué)生的理解、傾聽、認(rèn)知形成一條線索，促進(jìn)雙方的理解和感悟.教師可以更好的駕馭課堂，學(xué)生可以更容易的建構(gòu)本節(jié)課的新內(nèi)容融入現(xiàn)有的知識(shí)體系，更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).蘇老師遵循“直通始終、明確方向、整體連續(xù)”的注意點(diǎn)，理出了“問題情景——提出問題——學(xué)生活動(dòng)——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——反思提升”這樣一條主線，教學(xué)效果證明，這是一條行之有效的核心主線.

(一)生活感知 初識(shí)概念

引子 章節(jié)引言

設(shè)計(jì)意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的.用一個(gè)簡單直觀的問題讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生更有親切感，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.從而使學(xué)生體會(huì)向量是溝通幾何性質(zhì)和代數(shù)運(yùn)算的高速公路，沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)“坐標(biāo)”，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量才無限，使他們真正感受到向量引入的必要性.

問題1 一艘船從港口O出發(fā)，向東航行了3千米到達(dá)A處，又航行了60千米到達(dá)B處，遇到意外情況需要派直升機(jī)援助.請(qǐng)問：直升機(jī)應(yīng)該到何處尋找該船？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：(1)該船沒有告知速度(2)該船沒有告知航行方向，無法確定船只的位置.

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，源于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生初步感知即將學(xué)習(xí)的概念的實(shí)際背景，明白學(xué)習(xí)的必要，產(chǎn)生求知欲.

(二) 感知積累 內(nèi)化概念

問題2 你能舉出哪些既有大小又有方向的量？哪些只有大小，沒有方向的量？

學(xué)生舉例：既有大小又有方向的量:位移、速度、力、加速度；只有大小沒有方向的量：時(shí)間、距離、長度.

在學(xué)生舉例的同時(shí)，蘇老師巧妙地就著學(xué)生的話語引出了數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，以偉人牛頓的光輝人格魅力感染學(xué)生，對(duì)他們進(jìn)行了一次心靈的洗滌.恰到好處地穿插數(shù)學(xué)史，不僅豐富了課堂內(nèi)涵，更讓我們看到了蘇老師的博學(xué)和對(duì)課堂的把握.

設(shè)計(jì)意圖：形成區(qū)別不同量的必要性，概念抽象需要豐富典型的實(shí)例，讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對(duì)概念屬性的領(lǐng)悟，形成對(duì)概念的初步認(rèn)識(shí).學(xué)生的直觀感知經(jīng)驗(yàn)十分重要，但切不可超之過急，否則感知就會(huì)成為過場，當(dāng)感知多次重復(fù)形成“共同的印象”，下一步就可以進(jìn)行聯(lián)想和想象，從而對(duì)感知的內(nèi)容進(jìn)行內(nèi)化，為形成概念作鋪墊.

(三)抽象概括 同化概念

定義1 我們把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量.

定義2 帶有方向的線段叫作有向線段，數(shù)學(xué)上用有向線段表示向量.

設(shè)計(jì)意圖：在經(jīng)歷了直觀感知和想象內(nèi)化后，蘇老師和學(xué)生們一起通過“去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里”的反復(fù)提煉推敲，利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念來同化向量這一核心概念，抽象概括出向量的本質(zhì)特征，這樣的設(shè)計(jì)顯得順其自然，同時(shí)也為概念的應(yīng)用埋下伏筆.

類比實(shí)數(shù)的構(gòu)成，在實(shí)數(shù)中的數(shù)字“0”和“1”，在對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)和后繼的運(yùn)算都有著舉足輕重的地位.那么向量中有那些特殊的向量呢？

定義4 單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

設(shè)計(jì)意圖：向量的引入是為了簡化計(jì)算，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題方法，特殊向量的引入是為了完善向量的體系，沒有運(yùn)算的向量就沒有生命力.

(四)實(shí)際應(yīng)用 活化概念

例1 (完善問題1)一艘船從港口出發(fā)，以20km/h的速度向東航行3小時(shí)到達(dá)A處，又向南航行了60km到達(dá)B處.

(1)畫出該船的兩次位移；

(2)畫出從O到B的向量，并說說該向量的大小和方向.

例2 下列說法正確的是( ).

A.平面直角坐標(biāo)系xoy中的x軸是向量

B.單位向量一定大于零向量

D.有向線段就是向量，向量就是有向線段

概念活化是指數(shù)學(xué)概念從其無活性狀態(tài)變?yōu)榫哂谢钚缘倪^程，通常表現(xiàn)為靈活運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，目的是進(jìn)一步深刻理解概念，培養(yǎng)遷移能力.

設(shè)計(jì)意圖：向量本身就具備代數(shù)和幾何雙重屬性，問題1的引入本身就具有開放性，以問題為驅(qū)動(dòng)，同時(shí)可以為后繼概念的學(xué)習(xí)引用.給出概念并不意味著概念就在學(xué)生的腦袋里生根發(fā)芽了，這只是概念形成的開始，從而例題2是在定義給出后對(duì)概念進(jìn)行的辨析，即適當(dāng)做一些“逗留”從正反兩方面辨析向量是什么，什么不是向量，如何用文字和符號(hào)表征向量概念，以加深學(xué)生對(duì)概念的理解.

(五)辨析理解 固化概念

圖1

定義5 相等向量：長度相等且方向相同的向量.

規(guī)定：零向量和零向量是相等向量.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生活動(dòng)可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣和積極性，讓他們從大小和方向兩個(gè)方面展開思考，教師適時(shí)介入，強(qiáng)化本質(zhì)特征，規(guī)范概念表達(dá)，與學(xué)生一同完成概念的定義.

相等向量和平行向量是對(duì)向量的再次審視，從特殊的位置進(jìn)行深度的挖掘，對(duì)概念的形成過程進(jìn)行回味，思考概念定義語句的含義和特點(diǎn)，揭示概念的內(nèi)涵和外延，把握相關(guān)概念的區(qū)別和聯(lián)系，從而達(dá)到對(duì)概念固化的目的.教師多媒體課件的演示更讓學(xué)生直觀感知，形象記憶，同時(shí)也給學(xué)生學(xué)習(xí)向量的流程的回味，加深對(duì)向量本質(zhì)的理解，如何對(duì)新知識(shí)點(diǎn)展開自主學(xué)習(xí).

圖2

練習(xí)：下列說法正確的個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

設(shè)計(jì)意圖：通過例題活用，鞏固概念.在問題的解決中，把握相關(guān)概念的區(qū)別和聯(lián)系，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體實(shí)例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)，類比數(shù)的概念獲得向量的概念，類比數(shù)的集合認(rèn)識(shí)向量的集合，類比直線的基本關(guān)系認(rèn)識(shí)向量的基本關(guān)系.在題目中體會(huì)認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的基本思路，而不是死記硬背一個(gè)概念.

(六)反思過程 順化概念

(1)本節(jié)課我們研究了一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——向量，主要研究了哪些內(nèi)容？

(2)從今天概念產(chǎn)生的過程和問題解決的過程看，對(duì)你以后的學(xué)習(xí)有什么啟示？

(3)本節(jié)課老師送你們幾句話：方向長度兩要素，類比實(shí)數(shù)有特殊；三次規(guī)定零向量，相等共線(平行)慎看圖.

(4)課后體驗(yàn)：(象棋中的跳“馬”問題)在象棋棋盤中，“馬”每走一步就確定一個(gè)向量(位移).起初“馬”在點(diǎn)A處，最終目標(biāo)是“馬”要到達(dá)點(diǎn)B處.為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)①請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，并在圖中畫出向量表示；②在你設(shè)計(jì)的走法中，是否可以出現(xiàn)共線但不相等的向量？舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)幫助學(xué)生順化概念，理解整個(gè)向量的概念體系，從而達(dá)到有點(diǎn)連線的整體感，為學(xué)生完全掌握概念，形成有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供幫助，同時(shí)概念的產(chǎn)生和問題的解決過程也為后繼的學(xué)習(xí)提供借鑒平臺(tái).課后歸納和體驗(yàn)更是把這節(jié)課提升了一個(gè)高度.

從MK的角度看，本節(jié)課的例子和例題都是蘇老師在MPCK的三個(gè)維度，比較和吸取教材及現(xiàn)實(shí)生活中的典型實(shí)例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)：抽象性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性，全面反映了數(shù)學(xué)教與學(xué)的特點(diǎn).以發(fā)展智力、培養(yǎng)能力和創(chuàng)新能力為出發(fā)點(diǎn)，具有典型性和代表性.向量是本節(jié)課的核心概念，因?yàn)樗菧贤ù鷶?shù)、三角和幾何的橋梁，對(duì)更新和完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)起著重要的作用.它不僅有著豐富的實(shí)際背景和幾何背景，作為數(shù)學(xué)模型，它廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科和實(shí)際生活中的問題，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位是不言而喻的.本課不僅要理解向量概念、更要了解概念產(chǎn)生和發(fā)展的過程，滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法.在教學(xué)活動(dòng)中始終貫穿：從具體實(shí)例和章頭圖引入向量的概念及幾個(gè)特殊向量；從大小和方向兩方面刻畫向量的本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)認(rèn)識(shí)研究數(shù)學(xué)新對(duì)象的方法和基本思路，從而提高提出問題分析問題和解決問題的能力.

從PK的角度看，在概念的引入部分，首先是從日常生活或數(shù)學(xué)中有代表性的事例入手，分化出相關(guān)概念的屬性，從而概括出其共同屬性.并在特定的情境中檢驗(yàn)，確定關(guān)鍵屬性.本節(jié)將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)史有機(jī)的結(jié)合，發(fā)揮了“數(shù)學(xué)育人”的功能.引言使學(xué)生從一個(gè)比較宏觀的角度了解即將學(xué)習(xí)的新內(nèi)容——向量的特點(diǎn)和意義，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，同時(shí)起到“先行組織者”的作用，激發(fā)了學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的心向，提高了學(xué)習(xí)的效率.在概念形成的過程中，均采用“歸納——表征——精致——內(nèi)化”的過程，體現(xiàn)人類的認(rèn)知規(guī)律，在初步表征概念時(shí)滲透類比的思想，并在概念的內(nèi)涵和外延的錘煉中，精致和內(nèi)化數(shù)學(xué)概念，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

從CK的角度看，不同認(rèn)知水平的學(xué)生對(duì)該問題的認(rèn)識(shí)有一定的差異，特別是在引入階段如何做到“開啟全章、奠定基調(diào)、滲透方法”，要求體現(xiàn)新課程理念的教材，提出了大量具有思考價(jià)值的問題，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，盡可能展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程.在宏觀上蘇老師為學(xué)生勾勒出研究框架和整體思路，學(xué)生能“抬頭看”，知道往哪里走，這也是起始課的重要任務(wù)；微觀上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究向量的關(guān)系，這樣的編排是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的.在課堂教學(xué)流程的設(shè)計(jì)上，重現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程.在教學(xué)預(yù)設(shè)和課堂動(dòng)態(tài)生成取得平衡的過程中，讓流暢的教學(xué)過程成為學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生和發(fā)展以及問題的解決過程，也成為學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行意義建構(gòu)概念、實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過程.

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，教師要在自身的MPC多下功夫，站在人的發(fā)展和課程相融的高度，把精力集中在數(shù)學(xué)核心知識(shí)及其思想方法的學(xué)習(xí)和研究上，不斷提高自己.路漫漫而修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索！