非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型及其應(yīng)用

尹 暉，周曉慶，張曉鳴

1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079

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非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型及其應(yīng)用

尹 暉1,2，周曉慶1，張曉鳴1,2

1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079

將彼此關(guān)聯(lián)的多個變形監(jiān)測點(diǎn)納入整體建模，將單點(diǎn)的變形分析擴(kuò)展到空間多點(diǎn)的整體變形分析，采用非等間距等距化處理的改進(jìn)方法，建立了基于非等間距的多點(diǎn)變形預(yù)測模型。本文通過實例分析與對比，驗證了非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型的可行性和有效性，是一種非線性時空整體變形分析與預(yù)測的新方法。

非等間距序列；多點(diǎn)；整體變形分析；預(yù)測模型

采用空間多點(diǎn)的立體布網(wǎng)模式監(jiān)測工程建筑物的安全狀態(tài)，用變形觀測序列的潛在信息進(jìn)行定量預(yù)測是當(dāng)前變形監(jiān)測分析與預(yù)報的有效方法。由于受工程現(xiàn)狀、觀測條件及突發(fā)因素等影響，變形觀測所獲得的數(shù)據(jù)不一定是大樣本的長期觀測序列，而是小樣本、非等間距的觀測數(shù)據(jù)，因此，針對小樣本數(shù)據(jù)處理的灰色系統(tǒng)理論就具有優(yōu)越性[1-2]。由于傳統(tǒng)GM(1,1)建模要求數(shù)據(jù)序列是等間距的，不少學(xué)者就非等間距GM(1,1)建模方法進(jìn)行了研究[3-11]，但仍局限在單點(diǎn)或單方向時間序列的研究上，事實上監(jiān)測工程建筑物的變形狀態(tài)都布設(shè)有大量的變形監(jiān)測點(diǎn)，監(jiān)測點(diǎn)間是相互影響、彼此關(guān)聯(lián)的，單點(diǎn)的處理沒有利用監(jiān)測點(diǎn)間相互關(guān)系的信息，不足以反映變形體的整體變形趨勢和變形規(guī)律[12-14]。而事實上，同一變形塊體上的變形點(diǎn)，其各向變形規(guī)律應(yīng)具有相似性，通過變形觀測序列進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析與描述，在結(jié)合工程地質(zhì)綜合考慮的基礎(chǔ)上，將彼此關(guān)聯(lián)的多個變形點(diǎn)視為同一塊體上的點(diǎn)，從而建立空間多點(diǎn)的整體變形預(yù)測模型。

針對變形體的整體變形分析與模型研究，文獻(xiàn)[12]首次提出了將單點(diǎn)GM(1,1)模型擴(kuò)展為多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的新方法，建立了多點(diǎn)變形預(yù)測模型。文獻(xiàn)[13]利用多點(diǎn)動態(tài)預(yù)測模型描述了建筑物整體變形的趨勢和規(guī)律。近年來，不少學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究[15-21]，并在系統(tǒng)工程、巖土工程等領(lǐng)域得到了應(yīng)用，但上述研究均是基于等間距序列所建立的預(yù)測模型，對于實際工程可能存在非等間距觀測或某幾期缺測的實際狀況，如何建立非等間距觀測的多點(diǎn)變形模型卻鮮有報道。本文基于非等間距的變形觀測序列，首先提出了一種非等間距等距化處理的改進(jìn)方法，在此基礎(chǔ)上，將單點(diǎn)的GM(1,1)模型擴(kuò)展為空間多點(diǎn)的變形預(yù)測模型，最后再處理為非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型。為驗證非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型的可行性和有效性，首先以實例給出了建模的具體步驟及模型擬合和預(yù)測結(jié)果，并與單點(diǎn)GM(1,1)模型進(jìn)行了對比分析；再利用文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的實例與等間距多點(diǎn)預(yù)測模型進(jìn)行了對比分析；最后利用文獻(xiàn)[14]的實例，采用人為刪去部分觀測數(shù)據(jù)，使原等間距序列變?yōu)槿睖y某幾期數(shù)據(jù)的不等間距序列進(jìn)行了建模與對比，結(jié)果表明非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型既適用于觀測時間超前或滯后、以及因缺測某幾期觀測數(shù)據(jù)導(dǎo)致的非等間距序列的建模，也適用于等間距序列的建模，且具有較高的模型擬合精度與預(yù)測精度，是一種非線性時空整體變形分析與預(yù)測的新方法。相比單點(diǎn)GM(1,1)建模，利用彼此關(guān)聯(lián)的變形監(jiān)測點(diǎn)所建立的空間多點(diǎn)整體變形預(yù)測模型的擬合及預(yù)測精度更高。

1 非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型

1.1 模型建立

與現(xiàn)有非等間距序列等距化處理方法不同[5-7]，考慮到非等間距序列在時間軸上相對等間距而言，可能出現(xiàn)超前或滯后的現(xiàn)象，本文提出一種非等間距序列等距化處理的改進(jìn)方法，具體步驟如下：

(1) 求平均時間間隔

(1)

(2) 求等距處理后的時間序列

tk′=t1+(k-1)Δt0k=1，2，…,n

(2)

(3) 求等距處理前后各期的時間差

Δtk=tk-tk'=tk-t1-(k-1)Δt0k=1，2，…,n

(3)

(4) 計算各序列值的修正系數(shù)

(4)

(5) 計算各序列值的修正值

(5)

式中，Δtk≥0時，μi取μi(tk)；Δtk<0時，μi取μi(tk+1)。

(6) 求得處理后的等間距序列值

(6)

(7)

其一階累加生成序列為

考慮m個點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)，將GM(1,1)模型擴(kuò)展到空間多點(diǎn)的變形預(yù)測模型，其一階白化微分方程為

(8)

用矩陣表示為

(9)

式中

k=1,2,…,n

(10)

1.2 模型參數(shù)求解

(11)

由式(11)可得

(12)

(13)

對式(13)作轉(zhuǎn)置處理，并將k=2,3,…,n代入，得

(14)

按最小二乘準(zhǔn)則求得

(15)

根據(jù)式(15)求得模型參數(shù)A的最小二乘解

(16)

(17)

式(11)整理為

(18)

將k=1,2,…,n代入式(17)，整理得

(19)

其相應(yīng)的殘差方程為

(20)

同理，可根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則求得

(21)

式中

（3）引進(jìn)大數(shù)據(jù)處理的相關(guān)技術(shù)人員。在大數(shù)據(jù)時代下建設(shè)新型電網(wǎng)規(guī)劃體系需要多方面技術(shù)人員的共同合作和努力，大數(shù)據(jù)不僅僅與計算機(jī)科學(xué)技術(shù)相關(guān)，它還涉及到社會經(jīng)濟(jì)、電子信息、社會調(diào)查等多個學(xué)科領(lǐng)域，所以除了電力人員以外，引入大數(shù)據(jù)相關(guān)的專業(yè)性人才是非常有必要的，這對新型電網(wǎng)規(guī)劃體系的建設(shè)有著十分重要的意義。

1.3 非等間距多點(diǎn)預(yù)測模型

由式(18)并顧及均值化處理式(7)，可得等間距序列的預(yù)測模型為

(22)

式(22)中的時序k=1,2,…,n，其時間間隔為1；考慮實際觀測序列為非等間距序列tk-tk-1≠const(k=2,3,…,n)，則可以得到非等間距多點(diǎn)預(yù)測模型在任一時刻tk的預(yù)測式為

(23)

1.4 非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型的檢驗

為了檢驗非等間距多點(diǎn)變形灰色模型預(yù)測結(jié)果的可靠性，需要對其進(jìn)行檢驗。一般采用模型的擬合精度和模型預(yù)測的平均相對誤差來檢驗[12,19]。

模型的擬合精度

(24)

記ρtk為tk時預(yù)測值的平均相對誤差，則

(25)

2 實例分析與驗證

2.1 非等間距多點(diǎn)預(yù)測模型

通過關(guān)聯(lián)性分析，選取位于某基坑北側(cè)邊坡上相互關(guān)聯(lián)的4個沉降觀測點(diǎn)的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行整體變形分析與建模，表1給出了A點(diǎn)非等間距的累積沉降觀測數(shù)據(jù)及其等距化處理計算結(jié)果。本文取前9期序列用于建模，后5期數(shù)據(jù)作為模型預(yù)測結(jié)果的對比分析。下面給出建模的具體步驟及模型擬合預(yù)測結(jié)果。

2.1.1 原始序列等距化處理

根據(jù)上面的計算公式，首先對4個監(jiān)測點(diǎn)前9期非等間距序列進(jìn)行等間距化處理，表1給出了A點(diǎn)的等距化處理計算結(jié)果。

2.1.2 計算模型參數(shù)

由預(yù)測式(23)知，預(yù)測式只需要模型參數(shù)A、C，求解結(jié)果為

2.1.3 計算模型擬合值與預(yù)測值

經(jīng)過計算，所建立的多點(diǎn)模型的擬合精度為σ2=0.80，模型的擬合與預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表1 A點(diǎn)等距化處理計算結(jié)果

表2 多點(diǎn)模型的擬合與預(yù)測結(jié)果

2.2 與單點(diǎn)預(yù)測模型的比較

為了比較非等間距多點(diǎn)模型與單點(diǎn)模型的模擬和預(yù)測結(jié)果，對4個監(jiān)測點(diǎn)分別建立了非等間距單點(diǎn)GM(1,1)模型，各監(jiān)測點(diǎn)的擬合和預(yù)測結(jié)果如表3所示。由表2和表3可知，無論是殘差均值還是模型的模擬和預(yù)測精度，多點(diǎn)整體變形模型的擬合和預(yù)測結(jié)果均優(yōu)于單點(diǎn)模型，說明了空間多點(diǎn)模型由于利用了具有相似變形性質(zhì)、彼此關(guān)聯(lián)和相互影響的多個變形監(jiān)測點(diǎn)建模，可以獲得更好的模型擬合和預(yù)測效果。圖1給出了非等間距的單點(diǎn)與多點(diǎn)模型的擬合與預(yù)測結(jié)果的對比。

表3 單點(diǎn)模型的擬合與預(yù)測結(jié)果

續(xù)表

圖1 單點(diǎn)與多點(diǎn)模型的對比圖Fig.1 Comparison between single point and multi-points modeling

2.3 與等間距多點(diǎn)預(yù)測模型比較

為驗證非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型的有效性

和適用性，本文對等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型也進(jìn)行了對比分析，數(shù)據(jù)來源分別為文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的等間距多點(diǎn)變形監(jiān)測實例。由解算結(jié)果可知:①本文計算的模型參數(shù)與文獻(xiàn)[12]基本一致，但由于文獻(xiàn)[12]給出的是圖形結(jié)果，因此可以量化比較的差異在于本文模型的模擬精度為0.22，文獻(xiàn)[12]為0.28，其差異在于預(yù)測模型式(23)的細(xì)微差別;②本文提出的建模思路因與文獻(xiàn)[13]在模型參數(shù)求解方式及模型預(yù)測公式上完全不同，兩者對比結(jié)果略有差異，但都具有很好的預(yù)測效果。表4給出了取自文獻(xiàn)[13]的實測值和殘差(實測值減擬合或預(yù)測值)以及本文計算的對比結(jié)果，前8期為模擬結(jié)果，后兩期為預(yù)測結(jié)果，兩種模型的相對誤差和殘差絕對值的均值由本文計算給出。

表4 兩種模型的擬合和預(yù)測結(jié)果對照

2.4 缺測數(shù)據(jù)的建模與比較

對工程建筑物進(jìn)行周期性的重復(fù)觀測是變形監(jiān)測的基本要求，但由于多種原因可能會出現(xiàn)漏測或缺測的情況，導(dǎo)致變形觀測數(shù)據(jù)為非等間距序列，對此，本文利用文獻(xiàn)[14]所給的5個監(jiān)測點(diǎn)共計24期等間距沉降觀測資料，人為假設(shè)第9、10期缺測及第12、13、14期缺測的兩種情況，如圖2、圖3實線所示為兩組不同的非等間距觀測序列，其中斷鏈為數(shù)據(jù)缺測處。

利用上述非等間距多點(diǎn)變形模型分別對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并對后6期進(jìn)行預(yù)測，圖2、圖3給出了模型的擬合和預(yù)測結(jié)果。表5給出了取自文獻(xiàn)[14]與利用圖2、圖3缺測數(shù)據(jù)序列計算得到的預(yù)測精度的對比結(jié)果，再次驗證了非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型的有效性和適用性。

圖2 模型1的擬合與預(yù)測結(jié)果Fig.2 Simulation and prediction results of model 1

圖3 模型2的擬合與預(yù)測結(jié)果Fig.3 Simulation and prediction results of model 2

3 結(jié) 論

由以上理論分析與實例計算可以得到以下結(jié)論。

(1) 借鑒單變量非等間距等距化的數(shù)據(jù)處理方法并加以改進(jìn)，可以將等間距的多點(diǎn)變形預(yù)測模型拓展到非等間距的多點(diǎn)變形預(yù)測模型，這是一種解決非等間距觀測序列多點(diǎn)整體建模與預(yù)測問題的有效方法。

表5 不同模型的預(yù)測結(jié)果對照

(2) 通過實例計算與對比分析，驗證了本文所提出的利用彼此關(guān)聯(lián)和相互影響的多個變形監(jiān)測點(diǎn)，所建立的非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型不僅適用于非等間距序列的建模與預(yù)測，也適用于等間距序列的建模與預(yù)測，且優(yōu)于單個點(diǎn)的GM(1,1)建模，是一種通用的多點(diǎn)整體變形預(yù)測模型。

(3) 非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型既可針對觀測時間與原定觀測周期出現(xiàn)超前或滯后而產(chǎn)生的非等間距序列建模，也可直接針對缺測或漏測部分觀測周期數(shù)據(jù)的非等間距序列建模，不需要對缺測數(shù)據(jù)作內(nèi)插等數(shù)據(jù)預(yù)處理，具有工程實用性。

(4) 將單點(diǎn)單變量的變形分析拓展到空間多點(diǎn)的整體分析與建模，是時空變形監(jiān)測分析與預(yù)測更為科學(xué)和合理的模式和方法，但需要顧及變形監(jiān)測中多點(diǎn)觀測序列的時空關(guān)聯(lián)性，具有時空關(guān)聯(lián)的變形監(jiān)測點(diǎn)才能納入整體模型建模，這將是本文后續(xù)研究探討的內(nèi)容之一。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

Non-equidistant Multi-point Deformation Prediction Model and Its Application

YIN Hui1,2，ZHOU Xiaoqing1，ZHANG Xiaoming1,2

1.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China；2.Collaborative Innovation Center for Geospatial Technology,Wuhan 430079,China

Taking consideration of the integrity modeling with correlative multiple deformation points,this paper extends the single point deformation analysis into spatial multi-point integrity analysis and presents a non-equidistant multi-point modeling by improving equispacing processing for the non-equidistant series.The real practical analysis and comparative results indicate that the non-equidistant multi-point prediction model is feasible and effective,which is a new nonlinear approach to the integrated deformation analysis and prediction in time and space domain.

non-equidistant series; multi-point; integrated deformation analysis; prediction model

The National Natural Science Foundation of China (No.51077105)；The Open Research Fund Program of the State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics (No.SKLGED2013-3-6-E)；The Research Project of State Grid Corporation of China (No.SGSX0000YJJS(2014)457)

YIN Hui(1962—)，female,PhD,professor,majors in deformation analysis and prediction,the theory and methods of spatial information processing.

尹暉，周曉慶，張曉鳴.非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型及其應(yīng)用[J].測繪學(xué)報，2016,45(10)：1140-1147.

10.11947/j.AGCS.2016.20160005.

YIN Hui，ZHOU Xiaoqing，ZHANG Xiaoming.Non-equidistant Multi-point Deformation Prediction Model and Its Application[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(10):1140-1147.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160005.

P258

A

1001-1595(2016)10-1140-08

國家自然科學(xué)基金(51077105)；大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實驗室開放基金(SKLGED2013-3-6-E)；國家電網(wǎng)公司總部科技項目(SGSX0000YJJS(2014)457)

2016-01-04

修回日期：2016-09-22

尹暉(1962—)，女，博士，教授，研究方向為變形分析與預(yù)測、空間信息處理理論和方法研究。

E-mail：hyin@sgg.whu.edu.cn