小議復(fù)習(xí)教學(xué)中不等式綜合問(wèn)題探索

筅江蘇省徐州第一中學(xué)　杜芬

小議復(fù)習(xí)教學(xué)中不等式綜合問(wèn)題探索

筅江蘇省徐州第一中學(xué)杜芬

函數(shù)、數(shù)列、不等式考題是高考的傳統(tǒng)項(xiàng)目，經(jīng)久不衰，常考常新，尤其是函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，數(shù)列與不等式相結(jié)合，函數(shù)、數(shù)列、不等式三者相結(jié)合的題都有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，但不偏、不怪，思路廣、方法多，具有較強(qiáng)的區(qū)分層次和選拔功能.從近幾年各地試卷壓軸題的取材情況來(lái)看，歸結(jié)起來(lái)可分為三大類，即函數(shù)與不等式型，遞推數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法型，以及解析幾何型，而且它們明顯呈“三足鼎立”的態(tài)勢(shì).若以數(shù)列為載體進(jìn)行壓軸問(wèn)題的考查，則最后一題都是以點(diǎn)列為載體設(shè)制有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了遞推數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式，它們新穎別致、神奇美妙，而且解題方法獨(dú)特，別有洞天.高中數(shù)學(xué)要求的三大能力——思維能力、運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力都在這些壓軸題的考查中得到了充分的、立體的、集中的體現(xiàn).這些試題難度較大、綜合性強(qiáng)，本文對(duì)不等式相關(guān)的綜合性問(wèn)題進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同類型的題目進(jìn)行總結(jié)和剖析.

定義：若函數(shù)f（x）在x∈I時(shí)的值域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），則稱b為f（x）的上確界，a為f（x）的下確界.

恒成立相關(guān)性質(zhì)：

（1）不等式f（x）

（2）不等式f（x）>k在x∈I時(shí)恒成立圳f（x）min>k，x∈I，或f（x）的下確界大于或等于k.

存在性相關(guān)性質(zhì)：

（3）不等式f（x）

（4）不等式f（x）>k在x∈I時(shí)有解圳f（x）max>k，x∈I，或f（x）的上確界大于k.

一、恒成立問(wèn)題

不等式綜合問(wèn)題中最常見的是“恒成立”綜合試題，通常以函數(shù)為載體給出，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)、圖像等研究函數(shù)的最值，不等式在其中主要扮演了“橋梁的作用”，相對(duì)于一個(gè)變量，兩個(gè)變量的恒成立成為綜合性問(wèn)題中更需要理解和掌握的.

例1已知兩個(gè)函數(shù)f（x）＝8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+ 4x，其中k是常數(shù).

（1）對(duì)任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）對(duì)任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍.

解析：（1）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為x∈［-3，3］時(shí)，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0.令h′（x）=6x2-6x-12=0，得x=-1或x=2，所以h（x）在［-3，-1］和［2，3］上是增函數(shù)，在［-1，2］上是減函數(shù).h（-1）= 7+k，h（2）=-20+k，h（-3）=k-45，h（3）=k-9.h（x）min=k-45，由k-45≥0得k≥45.

（2）由題意知，存在x∈［-3，3］，使得f（x）≤g（x）成立，即h（x）=g（x）-f（x）≥0在［-3，3］內(nèi)有解，故h（x）max≥0，由（1）知，h（x）max=k+7，于是k≥-7.

（3）本題屬于雙變量恒成立問(wèn)題，對(duì)任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1、x2的取值在［-3，3］上具有任意性，因而使原不等式恒成立的條件是f（x）max≤g（x）min，x∈［-3，3］，f（x）max=f（3）=120-k，g（x）min=g（-3）=-21，即120-k≤-21，解得k≥141.

說(shuō)明：第（1）（2）問(wèn)均為單變量恒成立問(wèn)題，可以利用函數(shù)性質(zhì)或參變分離的方式解決，對(duì)于第（3）問(wèn)，筆者認(rèn)為雙變量恒成立或存在性問(wèn)題，教師首先要正確加以引導(dǎo)學(xué)生的理解，用恰當(dāng)?shù)念惐热ダ斫怆p變量恒成立是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.

二、存在性問(wèn)題

圖1　

例2設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx的極小值為-8，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像經(jīng)過(guò)（-2，0）、2兩點(diǎn)，如圖1所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若對(duì)x∈［-3，3］都有f（x）≥m2-14m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：（1）因?yàn)閒′（x）=3ax2+2bx+c，且y=f′（x）的圖像經(jīng)過(guò)（-2，0）、兩點(diǎn)，所以，所以f（x）=ax3+2ax2-4ax，由圖像可知函數(shù)y=f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在2上單調(diào)遞減，故（fx）=（f-2）=-8，解得a=-1，極小值所以（fx）=-x3-2x2+4x.

（2）要使對(duì)x∈［-3，3］都有f（x）≥m2-14m恒成立，只需f（x）min≥m2-14m即可.由（1）可知函數(shù)y=f（x）在［-3，-2）上單調(diào)遞減，在2上單調(diào)遞增，在3上單調(diào)遞減，且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33<-8，所以f（x）min=f（3）=-33，-33≥m2-14m圯3≤m≤11，故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為｛m|3≤m≤11｝.

說(shuō)明：本題中涉及了導(dǎo)數(shù)，試題難度雖然不大，但是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，是一道培養(yǎng)能力的好題.我們可以看到以函數(shù)為載體，結(jié)合不等式相關(guān)“橋梁”作用，成為不等式背景下的綜合性問(wèn)題的典型考查方向，這樣的試題既是熱點(diǎn)也是一個(gè)小小的難度.科學(xué)方法的掌握立足于平時(shí)的學(xué)習(xí)，在知識(shí)的形成、聯(lián)系和應(yīng)用中養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度，平時(shí)解題，切忌就題論題，要多方法、多方位、多角度尋求解題途徑，在可行方案中求異、求簡(jiǎn)、求新、求巧.要“借題發(fā)揮”將相似的數(shù)學(xué)情景或相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)羅列在一起，創(chuàng)造一個(gè)可以類比、啟發(fā)的智能環(huán)境，拓開思路，使思維過(guò)程發(fā)生連鎖反應(yīng)，得出相關(guān)的思路和方法，逐步總結(jié)出規(guī)律性的東西.

三、遞歸數(shù)列的結(jié)合

不等式與數(shù)列的結(jié)合是典型的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.對(duì)于數(shù)列的研究，本質(zhì)而言其實(shí)依舊是特殊的函數(shù)角度的思考，結(jié)合不等式進(jìn)行處理.

例3已知定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2.

（1）試求f（x）的最值；

解析：（1）函數(shù)（fx）的最大值是3，最小值是2（.過(guò)程略）

用戶在使用時(shí)，首先呈現(xiàn)的是登錄/注冊(cè)頁(yè)面，成功登錄后進(jìn)入健康檔案主界面。該模塊負(fù)責(zé)管理患者的頭像、姓名、身高、體重、年齡、疾病史、體檢信息等個(gè)人基本信息。

（2）在條件③中，令x1=即故當(dāng)n∈N*時(shí)，有=，即f

（3）對(duì)一切x∈［0，1］都有（fx）<2x+2，總存在n∈N，使得，根據(jù)（1）（2）可知（fx）≤f且2x+2>2·，故有（fx）<2x+2.

綜上所述，對(duì)任意x∈［0，1］，（fx）<2x+2恒成立.

說(shuō)明：觀察是認(rèn)識(shí)的開始，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，可以說(shuō)科學(xué)上的發(fā)現(xiàn)大多起源于觀察，一般地，通過(guò)觀察可尋找研究對(duì)象的特點(diǎn)和規(guī)律，同時(shí)觀察也是進(jìn)行比較、類比、聯(lián)想和歸納的基礎(chǔ)，在本題中，我們將傳統(tǒng)的、典型的解法進(jìn)行延拓、整合和創(chuàng)新"-2這種形式平時(shí)遇到的比較少，但在數(shù)列中，我們經(jīng)常遇到.根據(jù)類比，我們得到f，然后進(jìn)行迭代，顯得一氣呵成.解題過(guò)程中要把題目所給的信息與基礎(chǔ)知識(shí)和抽象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，形成規(guī)律性的解題思路和策略，從而使解題規(guī)律化、簡(jiǎn)明化.

四、導(dǎo)數(shù)與不等式

引入了導(dǎo)數(shù)工具后，很多以往不能解決的不等式的證明變得輕而易舉了，導(dǎo)數(shù)工具的使用，將不等式一些證明問(wèn)題演變成了函數(shù)構(gòu)造及最值的處理，這是導(dǎo)數(shù)工具性作用的良好體現(xiàn).

例4設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）關(guān)于x的方程f（x）=x2+x+a在［0，2］上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求a的取值范圍.

解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞），因?yàn)閒′（x）=2，由f′（x）>0，得-20，由f′（x）<0，得x<-2或-1

（3）方程（fx）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0.記g（x）= x-a+1-ln（1+x）2，則g′（x）=1-由g′（x）>0，得x<-1或x>1，由g′（x）<0，得-1

說(shuō)明：導(dǎo)數(shù)是解決不等式證明問(wèn)題的利器，從最經(jīng)典的不等式證明入手：0

總之，“授之以魚，不如授之以漁”，合理地思考問(wèn)題解決的方式、積累各種數(shù)學(xué)思想才能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得成就.筆者以為，從做題中尋找問(wèn)題、從問(wèn)題中進(jìn)行反思、從反思中提煉歸納，找尋這些問(wèn)題所反映的知識(shí)鏈接和整合處的收獲，目的就是提高解題訓(xùn)練的有效性，從而達(dá)到高效低耗的目的；也就是說(shuō)，通過(guò)解答有限道數(shù)學(xué)題目以獲得解答無(wú)限道數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題智慧、解題技能與解題方法，要在做中學(xué)，學(xué)中思，思后悟.

1.趙棟.數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)與創(chuàng)造性思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（7）.

2.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（4）.

3.殷康康.不等式教學(xué)中以形輔數(shù)的運(yùn)用與思考［J］.中學(xué)教研，2013（3）.F