小數(shù)陣，大作用——以一節(jié)比賽課為例

筅浙江省寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)　何衛(wèi)華

筅浙江省寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)方勇

小數(shù)陣，大作用——以一節(jié)比賽課為例

筅浙江省寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)何衛(wèi)華

筅浙江省寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)方勇

筆者于2016年4月28日參加了區(qū)里的教壇新秀評(píng)比，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)是根據(jù)一道試題上一節(jié)復(fù)習(xí)課，在數(shù)學(xué)組全體教師的大力支持幫助下，筆者獲得了一等獎(jiǎng)的佳績(jī).在整個(gè)比賽的過(guò)程中，筆者感悟頗深，遂撰文與大家分享，不當(dāng)之處，望大家批評(píng)指正.

題目：以2016年4月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試23題為引例，上一節(jié)“一題一課”的數(shù)列復(fù)習(xí)課.

如圖，將數(shù)列｛an｝（n∈N*）依次從

左到右，從上到下排成三角形數(shù)陣，其

中第n行有n個(gè)數(shù).

（Ⅰ）求第5行第2個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）問(wèn)數(shù)32在第幾行第幾個(gè)；

（Ⅲ）記第i行的第j個(gè)數(shù)為ai，j（如a3，2表示第3行第2個(gè)數(shù)，即a3，2=10）

的值.

一、教學(xué)定位

該題是以數(shù)陣形式給出的，如果上成一節(jié)數(shù)陣研究的課，那就偏離了數(shù)列復(fù)習(xí)課的主題，所以應(yīng)該定位為一節(jié)以數(shù)陣為載體的數(shù)列通項(xiàng)、求和的復(fù)習(xí)課.授課對(duì)象為區(qū)內(nèi)基礎(chǔ)較好的高一學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)較好地掌握數(shù)列的基本知識(shí).因此，以數(shù)陣為載體來(lái)復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的能力，加深對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)，合作交流，使學(xué)生的思維水平有所提高.

二、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

人們從來(lái)沒(méi)有停止過(guò)對(duì)數(shù)的研究，把一些數(shù)按照一定順序排成一列，我們稱之為數(shù)列；如果把一些數(shù)按照一定順序排成某種圖形，我們稱之為數(shù)陣.打個(gè)比方，如果我們把數(shù)列比作一條“線”，數(shù)陣就可以比作一個(gè)“面”.我國(guó)古代有名的“楊輝三角”就是數(shù)陣的典型代表.既然數(shù)列和數(shù)陣都是把數(shù)按照一定順序排列的，那它們之間必然會(huì)有一些聯(lián)系，我們就嘗試尋找它們兩者的聯(lián)系.眾所周知，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，今天就從一道學(xué)考試題開(kāi)始我們的探索之旅（ppt展示試題的前兩小題）.

（設(shè)計(jì)說(shuō)明：點(diǎn)明主旨，數(shù)列和數(shù)陣有一定的聯(lián)系，可以為將數(shù)陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題作好鋪墊.楊輝三角是著名的數(shù)陣問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)民族自豪感.）

2.類比概念，建構(gòu)新知

師：數(shù)列中的第n項(xiàng)我們可以用符號(hào)an表示，那么我們數(shù)陣中的數(shù)可以用什么符號(hào)表示？

（設(shè)計(jì)說(shuō)明：高一學(xué)生還沒(méi)有接觸過(guò)數(shù)陣，雖然試題第3小題中有對(duì)數(shù)陣中數(shù)的記號(hào)有注釋，但是我們可以讓學(xué)生合情推理，把數(shù)陣可以比作一個(gè)“面”可以使學(xué)生聯(lián)想到兩個(gè)坐標(biāo)自然地得到數(shù)陣中數(shù)的符號(hào)表示，是不可多得的一次類比，也可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是自然的.）

生：第i行的第j個(gè)數(shù)記為ai，j，i，j是正整數(shù).

3.變式拓展，加深認(rèn)識(shí)

師：很好.（ppt展示第3小題.）同學(xué)們思考一下這3個(gè)小題.

……

師：這道題同學(xué)們都是通過(guò)補(bǔ)全數(shù)陣解答的，方便實(shí)用.第3小題采用了裂項(xiàng)求和的方法，答案都是正確的.我們現(xiàn)在將第3小題改為求的值（ppt展示題目），關(guān)鍵是什么？

生：求出ai，i.

師：原數(shù)陣中的數(shù)雖然已經(jīng)比較簡(jiǎn)單，我們可以再簡(jiǎn)單一些，可將數(shù)陣改為

（板書(shū)，本節(jié)課一直會(huì)用到）.這樣一來(lái)，我們新數(shù)陣中ai，i就是原數(shù)陣中的ai，i的一半，解決了新數(shù)陣中的ai，i原問(wèn)題就解決了.同學(xué)們思考一下新數(shù)陣中ai，i該如何計(jì)算.

（設(shè)計(jì)說(shuō)明：將問(wèn)題一般化，解法一般化，提升思維.數(shù)陣的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了化歸，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化也是一般解題策略.轉(zhuǎn)化后的數(shù)陣是本節(jié)課的一個(gè)基本模型，貫穿始終.）

生：我將1，3，6，10，…排成一列，求ai，i就是求該數(shù)列的第i項(xiàng).觀察到：1=1，2=1+2，6=1+2+3，那么第i項(xiàng)就是1+ 2+…+i=.師：很好.通過(guò)觀察、歸納得到了答案.數(shù)學(xué)不僅需要合情推理，更需要推理論證.這里1=1，2=（1）+2，6=（1+2）+3說(shuō)明什么？

生：第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)在前一項(xiàng)基礎(chǔ)上加上行數(shù).所以可以用累加法求通項(xiàng).

師：很好，這里我們沿用數(shù)陣中的記號(hào)來(lái)書(shū)寫.（板書(shū)：ai，i=（ai，i-a（i-1），（i-1））+…+（a2，2-a1，1）+a1，1=i+（i-1）+…+2+ 1=）數(shù)陣問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求解.

（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，猜想，歸納的能力.使學(xué)生體會(huì)將陌生問(wèn)題熟悉化是常見(jiàn)解題策略.復(fù)習(xí)基本求數(shù)列通項(xiàng)方法，裂項(xiàng)求和法.）

4.建立模型，揭示本質(zhì)

師：求新數(shù)陣中的ai，1.

生：ai，1=a（i-1），（i-1）+1.

師：很好，發(fā)現(xiàn)了前后項(xiàng)之間的關(guān)系，那么ai，j怎么用i，j表示？

生：ai，j=a（i-1），（i-1）+j.

師：很好，那么ai，j=ai，1+？

生：j.

生：j-1.在第i行中，ai，j相當(dāng)于數(shù)列中的通項(xiàng)，ai，1相當(dāng)于首項(xiàng)，因此加上的應(yīng)該是j-1.

師：如果將新數(shù)陣的數(shù)“拉直”，那就成了：1，2，…，n，…，我們令n=ai，j，得到n=模型建立）.這就找到了數(shù)陣中的項(xiàng)數(shù)n與i，j之間的關(guān)系.其中i取正整數(shù)，1≤j≤i，且i∈N*.

（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)陣問(wèn)題中主要是求ai，j，將數(shù)陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題是常見(jiàn)解題策略.通過(guò)探究，得到數(shù)陣中的ai，j與轉(zhuǎn)化后數(shù)列項(xiàng)數(shù)n之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，為接下來(lái)的教學(xué)打下基礎(chǔ).）

5.應(yīng)用模型，歸納提升

師：今天是2016年4月28日，4在新數(shù)列中排在第3行第1個(gè)數(shù)，那么28排在第幾行第幾個(gè)數(shù)？

生：通過(guò)補(bǔ)全數(shù)陣，是第7行第7個(gè)數(shù).

師：第7行的最后一個(gè)數(shù).但當(dāng)數(shù)字比較大的時(shí)候補(bǔ)全就有困難了，我們能找到更好的方法嗎？可以找小組同學(xué)討論……（討論聲）

師：好，這里先求i再求j，還有別的解法嗎？

師：我們可以先求i接下來(lái)再求j，那這里有2個(gè)變量，如何變成一個(gè)變量？

生：去掉j.轉(zhuǎn)化為關(guān)于i的不等式，因?yàn)閖>0，28> i（i-1）

2.只要求出滿足不等式的i的最大正整數(shù)就可以了.

師：這里可以去解一元二次不等式，通過(guò)i是正整數(shù)就可以確定.

生：i取7.

師：j怎么求？

生：i=7.

師：對(duì)的，為什么？

師：這種題型我們都是先確定i再求j.新數(shù)陣這個(gè)模型得到的結(jié)論可以為我們求i，j提供方便.我們的感悟是：我們平時(shí)應(yīng)該積累更多的數(shù)學(xué)模型，解題時(shí)可以獲取靈感.接下來(lái)我們求解2016在新數(shù)陣中是第幾行第幾個(gè)數(shù)？看誰(shuí)解得快.

……

師：怎么得到i=63？

生：是湊的.

師：湊功很好！（全班笑聲）怎么湊的？

生：先確定i大概是60幾的數(shù)，我湊了65，發(fā)現(xiàn)高了，再湊63，剛好！

師：二分法學(xué)得很好，值得我們學(xué)習(xí)，怎么確定i大概是60幾的數(shù)？

師：很好，給出了一個(gè)估算的方法.今天是個(gè)不錯(cuò)的日子，冥冥中暗示我們數(shù)陣學(xué)習(xí)的方法.我們發(fā)現(xiàn)4在數(shù)陣行“首”，28和2016在行“尾”，數(shù)陣中求ai，j不就是看首看尾找規(guī)律嗎？（全班響起了熱烈的掌聲.）

（設(shè)計(jì)意圖：該題型是學(xué)考題的拓展，給出更一般的解法，也是數(shù)列和數(shù)陣轉(zhuǎn)化的一個(gè)應(yīng)用，最后的小結(jié)更是靈光一閃.比賽課教學(xué)設(shè)計(jì)最好有時(shí)效性的設(shè)計(jì).）

師：求新數(shù)陣中前i行的和？關(guān)鍵是確定什么？

生：首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)就是ai，i.

……

（設(shè)計(jì)意圖：求和公式復(fù)習(xí)）

6.靈活應(yīng)用，內(nèi)化新知

師：剛才我們把數(shù)陣簡(jiǎn)單化，現(xiàn)在來(lái)看一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題.我們將數(shù)陣換為（ppt展示），求ai，j？

師：求第i行的和？

……

（設(shè)計(jì)意圖：模型結(jié)論的簡(jiǎn)單應(yīng)用，復(fù)習(xí)等比數(shù)列和公式）

師：難度增加，看一個(gè)更復(fù)雜的問(wèn)題.

（ppt展示例2）設(shè)｛an｝是集合｛2s+2t|0≤s

學(xué)生思考……

生：按照規(guī)律將數(shù)字改寫：3=21+20，5=22+20，6=22+21……接下去就不知道了.

師：有時(shí)數(shù)列問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)陣問(wèn)題求解.……

（設(shè)計(jì)說(shuō)明：逆向思維，數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)陣問(wèn)題，也可以用基本模型解決該問(wèn)題.）

7.小結(jié)歸納，畫(huà)龍點(diǎn)睛

今天，我們以數(shù)陣為載體從一道題學(xué)考題開(kāi)始復(fù)習(xí)了通項(xiàng)的求法，數(shù)列求和方法.在解題中運(yùn)用了猜想，歸納，特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，我們構(gòu)造了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并體會(huì)了數(shù)學(xué)模型在解題中的作用，我們平時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的積累.課堂上涉及的將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生的問(wèn)題熟悉化，熟悉問(wèn)題規(guī)律化等這些解題策略也必將會(huì)給我們今后的解題實(shí)踐以啟發(fā).

三、教學(xué)啟示

1.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視本質(zhì)的揭示

由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，在教學(xué)中要通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，特殊到一般，理解數(shù)學(xué)結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).

2.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體

現(xiàn)代建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知主體，知識(shí)只是在它與認(rèn)知主體在建構(gòu)活動(dòng)中的行為相沖突或相順應(yīng)時(shí)才被建構(gòu)起來(lái).”教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，做好引導(dǎo)、組織.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)、收集資料、調(diào)查研究、撰寫論文等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，課堂上盡可能多地展示學(xué)生的成果，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)，因?yàn)椤案嬖V我，我會(huì)忘記；分析給我聽(tīng)，我可能記??；如果讓我參與，我會(huì)真正理解”.

3.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想的形成是一個(gè)較漫長(zhǎng)的、螺旋上升的過(guò)程，這就需要教師在上課時(shí)將用數(shù)學(xué)思想思考問(wèn)題的意識(shí)貫穿高中整個(gè)教學(xué)過(guò)程，站在系統(tǒng)的高度，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.數(shù)學(xué)思想也是一個(gè)人學(xué)習(xí)，工作所必須的一種能力，這就需要教師將對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)滲透到平時(shí)教學(xué)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴之中，通過(guò)各種不同的知識(shí)作為載體培養(yǎng)學(xué)生思維的能力，通過(guò)量的積累促使學(xué)生達(dá)到質(zhì)的變化，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)培養(yǎng)人的意義和價(jià)值.

4.課堂中要有“三聲”

我區(qū)的前輩老師認(rèn)為一節(jié)好課一般要有“三聲”，即“笑聲、討論聲和掌聲”.有笑聲說(shuō)明學(xué)生在課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程中身心是愉悅的，良好的心情更有利于學(xué)習(xí)效率的提升，也可以活躍課堂氣氛；有討論聲說(shuō)明學(xué)生在課堂上有和其他學(xué)生進(jìn)行思維的碰撞，有利于學(xué)生在小組交流的過(guò)程中鍛煉語(yǔ)言表達(dá)能力，思辯能力和合作探究能力；有掌聲說(shuō)明學(xué)生對(duì)學(xué)生的認(rèn)同，或?qū)W生對(duì)老師由衷的信服，有利于激勵(lì)學(xué)生，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.當(dāng)然，我們也沒(méi)有必要刻意地追求“三聲”，“三聲”的產(chǎn)生離不開(kāi)教師精心的設(shè)計(jì)，更多的是課堂上自然的生成.

5.“一題式”教學(xué)

本課例采用“一題式”教學(xué)，即以一道題貫穿課堂始終的課型.這樣的課例并不少見(jiàn)，在作業(yè)分析課，試卷講評(píng)課，習(xí)題課，尤其在復(fù)習(xí)階段該課型較多.教學(xué)方法主要有：（1）方法歸納型，通過(guò)一題多解，在應(yīng)用中暴露學(xué)生思維的盲點(diǎn)，教師和學(xué)生一起歸納解題的方法，規(guī)律，在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)認(rèn)知“升華”；（2）本質(zhì)揭示型，講究步步為營(yíng)，可以對(duì)原題的條件或結(jié)論進(jìn)行改編，拓展，按照知識(shí)難易程度安排例題，練習(xí)，構(gòu)建學(xué)生共同的發(fā)展平臺(tái)，循序漸進(jìn).無(wú)論是采用哪種方法，目的只有一個(gè)，從學(xué)生的探索、討論中，從師生交流中，從課堂的意外中獲得感悟的時(shí)候，使學(xué)生學(xué)會(huì)“總結(jié)、反思、提煉、升華”.通過(guò)對(duì)一道題從不同角度的拓展和引申，提升學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

復(fù)習(xí)的主要任務(wù)就是回顧知識(shí)，梳理方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高應(yīng)對(duì)能力.每當(dāng)遇到新情景、新問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)置于系統(tǒng)之中，從系統(tǒng)的角度去理解，把握每一個(gè)概念，就不會(huì)孤立地看問(wèn)題，自然地會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，換個(gè)角度看問(wèn)題，從而在完成知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的滲透和哲理觀點(diǎn)的升華.

1.王慧.數(shù)陣問(wèn)題面面觀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（12）.

2.吳生旭.數(shù)陣與數(shù)表問(wèn)題解題策略［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（3）.Z