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    巧破拋物線小題的幾個實用結(jié)論

    2016-11-21 01:39:24安徽省和縣三中范世祥
    青蘋果 2016年22期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線切點切線

    安徽省和縣三中 范世祥

    巧破拋物線小題的幾個實用結(jié)論

    安徽省和縣三中 范世祥

    縱觀近幾年全國各省市的高考題,拋物線時常作為一道小題來考查。一些考生因為一時未能找準(zhǔn)思路,從而陷入大量煩瑣的運算之中,即使解答出來了,也花了很大的“成本”,從而導(dǎo)致時間不夠用,無法順利完成后面的試題。為此,筆者總結(jié)了一些可以快速攻破拋物線小題的切實可行的結(jié)論,掌握、運用好這些結(jié)論可以取得“精、準(zhǔn)、快”的解題效果。

    一、弦端點坐標(biāo)問題

    結(jié)論2 (結(jié)論1的推廣)已知直線l與拋物線y2=ax(a>0)相交于點A(x1,y1)、B(x2,y2),且與x軸相交于點M(m,0),則有x1x2=m2,y1y2=-am。(證明略)

    例1 已知F是拋物線y2=x的焦點,點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),O→A·O→B=2(其中O為坐標(biāo)原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是_______。

    二、焦點弦長問題

    結(jié)論3 已知AB是拋物線y2=ax(a>0)的焦點弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),點F是拋物線的焦點,則有。

    結(jié)論4 已知AB是拋物線y2=ax(a>0)的焦點弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),點F是拋物線的焦點,則有(θ為直線AB的傾斜角)。

    例2 過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點,若|AF|=3,則|BF|=_______。

    三、焦點三角形面積問題

    例3 設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,則△OAB的面積為_______。

    四、以極點和極線為背景的問題

    結(jié)論6 設(shè)AB為拋物線的焦點弦,則該拋物以A、B為切點的切線的交點軌跡是它的準(zhǔn)線;反之,由拋物線準(zhǔn)線上任一點向拋物線引兩條切線,切點為A、B,則AB為焦點弦。

    證明 設(shè)拋物線y2=2px(p>0),

    則點A、B處的切線方程分別為y1y=p(x+x1)和y2y=p(x+x2),

    設(shè)兩切線的交點為M(x0,y0),則有y1y0=p(x0+x1),y2y0=p(x0+x2)。

    這說明切點A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線y0y=p(x+x0)上,

    因此直線AB的方程為y0y=p(x+x0),

    將焦點坐標(biāo)代入直線AB的方程y0y=p(x+x0)后得到,

    即兩切線交點M(x0,y0)在準(zhǔn)線l:上。

    反之,設(shè)拋物線y2=2px(p>0),點A(x1,y1),B(x2,y2),

    因為拋物線在點A、B處的切線方程可分別表示為y1y=p(x+x1)和y2y=p(x+x2),且切線均經(jīng)過,

    這說明切點A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線上,

    結(jié)論7 若拋物線的兩條切線相互垂直,則這兩條切線的交點的軌跡是它的準(zhǔn)線;反之,由拋物線準(zhǔn)線上任一點向拋物線引兩條切線,這兩條切線必互相垂直。

    證明 設(shè)自一點M(x0,y0)向拋物線y2=2px(p>0)所引切線的方程為y=k(x-x0)+y0(k≠0),

    即由拋物線的準(zhǔn)線上任一點引拋物線的兩切線必互相垂直。

    解析幾何中像這樣可以引申、推廣的規(guī)律有很多。只要我們平時經(jīng)??偨Y(jié)、歸納同類題的解題方法,并注意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊含的一般規(guī)律,就一定會有更多驚喜的發(fā)現(xiàn)。

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