基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的熱工過(guò)程多模型建模方法

朱紅霞， 沈炯， 李益國(guó)

(1.南京工程學(xué)院 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；2.東南大學(xué) 能源與環(huán)境學(xué)院，江蘇 南京 210096)

?

基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的熱工過(guò)程多模型建模方法

朱紅霞1,2， 沈炯2， 李益國(guó)2

(1.南京工程學(xué)院 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；2.東南大學(xué) 能源與環(huán)境學(xué)院，江蘇 南京 210096)

由于熱工過(guò)程往往具有非線性和不確定性，傳統(tǒng)的線性建模方法難以精確表達(dá)其復(fù)雜特性。因此提出一種改進(jìn)的基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法。該方法不需要預(yù)先指定局部模型的個(gè)數(shù)即聚類(lèi)數(shù)，它基于樣本協(xié)方差矩陣的奇異值分解來(lái)確定初始聚類(lèi)中心和新增聚類(lèi)中心，并利用聚類(lèi)有效性指標(biāo)結(jié)合建模精確度要求來(lái)確定最佳聚類(lèi)數(shù)。根據(jù)聚類(lèi)結(jié)果可快速確定出局部模型網(wǎng)絡(luò)的模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)而采用基于加權(quán)性能指標(biāo)的多模型辨識(shí)算法可得到各局部模型參數(shù)。對(duì)兩個(gè)典型非線性系統(tǒng)和Bell-?str?m鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)的建模結(jié)果表明，這種多模型建模方法具有辨識(shí)精確度高、子模型數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)。

模型辨識(shí)；多模型；局部模型網(wǎng)絡(luò)；滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)；熱工過(guò)程

0 引 言

火電廠熱工過(guò)程具有周期性重復(fù)運(yùn)行的特點(diǎn)，機(jī)組的運(yùn)行數(shù)據(jù)中充分包涵了其在不同工況范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性信息。因此，可充分利用這些運(yùn)行數(shù)據(jù)，采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模策略來(lái)建立熱工過(guò)程的模型，從而為機(jī)組的優(yōu)化控制奠定基礎(chǔ)。但由于熱工過(guò)程的非線性和時(shí)變性，傳統(tǒng)的線性建模方法難以精確表達(dá)其復(fù)雜特性。近年來(lái)，基于“分解-合成”法則的多模型建模方法受到廣泛關(guān)注，它將整個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)分解，用若干個(gè)簡(jiǎn)單的線性子模型實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的逼近，具有眾多優(yōu)點(diǎn)[1]。多模型建模的關(guān)鍵問(wèn)題是系統(tǒng)子區(qū)間的劃分以及模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的辨識(shí)，子區(qū)間劃分個(gè)數(shù)決定了模型復(fù)雜度。

在數(shù)據(jù)信息充足的情況下，利用模糊聚類(lèi)算法進(jìn)行子區(qū)間的劃分是一種最常用的方法，被廣泛應(yīng)用于分段仿射模型[2-3]、T-S模糊模型[4-13]等多模型建模方法中。但模糊聚類(lèi)算法一般都需要事先給定聚類(lèi)個(gè)數(shù)c(對(duì)應(yīng)于子區(qū)間和局部模型個(gè)數(shù))，若對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有充分的了解，準(zhǔn)確的c值很難直接確定。比較法和融合法是較常見(jiàn)的c確定方法，但它們的計(jì)算量較大且初始聚類(lèi)信息的隨機(jī)性大。針對(duì)該問(wèn)題，李檸[13]和薛振框[14-15]等提出了基于滿(mǎn)意聚類(lèi)的多模型建模方法，以模型精確度是否滿(mǎn)意為準(zhǔn)則確定最佳聚類(lèi)個(gè)數(shù)，它從初始聚類(lèi)個(gè)數(shù)c=2開(kāi)始遞階增加新的聚類(lèi)，聚類(lèi)過(guò)程中能充分利用以往聚類(lèi)的結(jié)果。滿(mǎn)意聚類(lèi)思想比單純依據(jù)某個(gè)聚類(lèi)有效性指標(biāo)最優(yōu)來(lái)確定聚類(lèi)個(gè)數(shù)即局部模型個(gè)數(shù)，更符合工業(yè)過(guò)程的實(shí)際要求，因?yàn)槟Ｐ图膬?yōu)化要考慮的是能否用最少的模型數(shù)目滿(mǎn)足控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)對(duì)模型精確度的要求，而不是單純追求某個(gè)優(yōu)化指標(biāo)的絕對(duì)最小。但現(xiàn)有的基于滿(mǎn)意聚類(lèi)的多模型建模方法存在不足：1)初始(包括新增)聚類(lèi)中心的確定未能充分利用樣本集包含的特征信息，容易誤選噪聲數(shù)據(jù)；2)聚類(lèi)終止條件設(shè)計(jì)不合理，若建模精確度指標(biāo)要求過(guò)高，會(huì)導(dǎo)致聚類(lèi)過(guò)程無(wú)法正常終止；3)完全拋棄了聚類(lèi)有效性評(píng)價(jià)指標(biāo)，單純根據(jù)建模精確度確定局部模型個(gè)數(shù)，這有可能造成模型冗余。

為此，本文以局部模型網(wǎng)絡(luò)作為多模型表達(dá)形式，提出一種新的基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法，以克服現(xiàn)有方法的不足，更快速地獲取最優(yōu)模型。并通過(guò)對(duì)2個(gè)典型非線性系統(tǒng)和機(jī)爐協(xié)調(diào)系統(tǒng)的建模仿真來(lái)驗(yàn)證這種新建模方法的優(yōu)越性。

1 局部模型網(wǎng)絡(luò)

局部模型網(wǎng)絡(luò)(local model networks，LMN)是一種典型的多模型表示形式[16-17]。在局部模型網(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)的輸出描述為調(diào)度函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的局部模型乘積的總和，以反映系統(tǒng)輸入輸出之間的非線性關(guān)系。不同于一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)“黑箱”模型，LMN的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可解釋性強(qiáng)。LMN的一種基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，u(k)和y(k)分別為當(dāng)前k時(shí)刻系統(tǒng)的輸入與輸出。對(duì)于R維輸入S維輸出的多變量系統(tǒng)，可用LMN描述為

(1)

圖1 局部模型網(wǎng)絡(luò)的一種基本結(jié)構(gòu)Fig.1 A basic structure of Local Model Networks

式中：M為局部模型個(gè)數(shù)；ρi(·)稱(chēng)為基函數(shù)，它是調(diào)度向量φ(k)∈RL的函數(shù)，因此也稱(chēng)為調(diào)度函數(shù)，L為φ的維數(shù)；fi(·)是輸入向量φ(k)∈Rr的局部模型，r為φ的維數(shù)；調(diào)度向量φ(k)和輸入向量φ(k)通常采用系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻已知的輸入輸出來(lái)描述；φ(k)可以取為與φ(k)相同，也可以不同。LMN的設(shè)計(jì)工作主要集中在3個(gè)方面：調(diào)度函數(shù)的選擇，局部模型的選擇以及模型參數(shù)的辨識(shí)。

調(diào)度函數(shù)一般選用高斯函數(shù)

(2)

式中：ci為高斯函數(shù)的中心，σi為高斯函數(shù)的寬度。

為了保證輸入空間劃分的統(tǒng)一性，調(diào)度函數(shù)需要進(jìn)行歸一化處理

(3)

局部模型fi(·)一般選為線性模型或仿射模型。例如，對(duì)于MIMO系統(tǒng)，局部模型若采用CARMA(controlledauto-regressivemovingaverage)形式

Ai(z-1)y(k)=Bi(z-1)u(k-1),

i=1,2,...,M。

(4)

其中:Ai(z-1)=I+Ai1z-1+…+AinAz-nA；Bi(z-1)=Bi0+Bi1z-1+…+BinBz-nB；Aij∈RS×S；j=1,2,…,nA；Bij∈RS×R；j=0,1,…,nB；nA和nB分別為模型輸出y和輸入u的階次。

可令φT(k)=[-yT(k-1),…,-yT(k-nA),uT(k-1),…,uT(k-nB-1)]T，θi=[Ai1,…,AinA,Bi0,…,BinB]T，則式(4)可改寫(xiě)為

(5)

式(5)代入式(1)，可得到

(6)

由式(6)可知，采用LMN描述形式的多模型建模問(wèn)題，即為模型結(jié)構(gòu)參數(shù)(M、ci、σi)和局部模型參數(shù)θi的辨識(shí)問(wèn)題。

2 基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法

考慮一R維輸入單輸出的MISO系統(tǒng)P(u,y)，其中u∈RR為系統(tǒng)輸入，y為系統(tǒng)輸出。用于聚類(lèi)的數(shù)據(jù)樣本集由系統(tǒng)的調(diào)度向量和輸出數(shù)據(jù)組成，可表示為{zk=[φT(k),y(k)]T,k=1,…,N}，其中N為樣本個(gè)數(shù)。調(diào)度向量φ(k)=[uT(k-1),y(k-1)]T∈RL可以理解為實(shí)際過(guò)程中的當(dāng)前工況，一般選用系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻已知的輸入輸出來(lái)描述。這里選取G-K模糊聚類(lèi)作為基本聚類(lèi)算法。

2.1 初始聚類(lèi)中心的確定

不同于文獻(xiàn)[13-15]中選擇數(shù)據(jù)樣本集合中最不相似的兩個(gè)樣本作為初始聚類(lèi)中心(這種方式很容易將噪聲數(shù)據(jù)選為初始聚類(lèi)中心導(dǎo)致聚類(lèi)結(jié)果不理想)，這里從數(shù)據(jù)樣本集的內(nèi)部特征信息出發(fā)，基于奇異值分解方法來(lái)確定初始聚類(lèi)中心。首先計(jì)算出數(shù)據(jù)樣本矩陣的單位特征向量和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，然后在偏離整個(gè)樣本集中心點(diǎn)的兩側(cè)確定兩個(gè)新的初始聚類(lèi)中心，這種方法能夠在數(shù)據(jù)擴(kuò)張的方向上抓住數(shù)據(jù)樣本集的主要特征，通過(guò)迭代聚類(lèi)快速找到最優(yōu)聚類(lèi)中心。

由原始樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成原始數(shù)據(jù)矩陣Z

(7)

其中：矩陣中的元素

(8)

通過(guò)奇異值分解(SVD)方法計(jì)算出協(xié)方差矩陣F0的單位特征向量p0j和相應(yīng)的特征值λ0j(j=1,2,…,L+1)

F0= [p01,…,p0(L+1)]diag(λ01,…,λ0(L+1))

[p01,…,p0(L+1)]-1。

(9)

(10)

(11)

2.2 模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定

局部模型個(gè)數(shù)M即為聚類(lèi)個(gè)數(shù)c

M=c。

(12)

(13)

σi(i=1,2,…,M)可以通過(guò)最近鄰啟發(fā)式算法確定，即σi取決于聚類(lèi)中心viφ到最近鄰的K個(gè)中心的平均距離

(14)

式中：vlφ(l=1,2,…,K)為與第i個(gè)中心viφ距離最近的K個(gè)中心，聚類(lèi)個(gè)數(shù)較少時(shí)K取1或2；γ為一常數(shù)，可用于調(diào)整高斯函數(shù)的寬度。

定義Ie=[1 1 ...1]T，Ie∈Rr，則第i個(gè)局部模型的適用域可描述為

Γi∈[ci-σiIe,ci+σiIe],i=1,2,...,M。

(15)

2.3 局部模型參數(shù)的辨識(shí)

在確定了模型結(jié)構(gòu)參數(shù)之后，數(shù)據(jù)集合Z中各數(shù)據(jù)樣本zk的調(diào)度函數(shù)值可以通過(guò)式(3)計(jì)算得出，因此各局部模型參數(shù)θi的辨識(shí)問(wèn)題也就簡(jiǎn)化為線性?xún)?yōu)化問(wèn)題。目前一般采用最小二乘法來(lái)優(yōu)化求解局部模型參數(shù)，為使辨識(shí)得到的模型在全局?jǐn)M合和局部特性之間取得良好的權(quán)衡，這里采用基于全局和局部性能指標(biāo)加權(quán)組合的多模型辨識(shí)方法。取加權(quán)性能指標(biāo)[15]

JM(Θ)=αJG(Θ)+(1-α)JL(Θ)=α(Y-ΨGΘ)T(Y-ΨGΘ)+(1-α)(Y-ΨLΘ)TQ(Y-ΨLΘ)。

(16)

式中： JG(Θ)為全局性能指標(biāo)；JL(Θ)為局部性能指標(biāo)；α(0≤α≤1)為權(quán)重系數(shù)；

Y=[y(1),y(2),…,y(N)]T；

權(quán)重系數(shù)α的取值可由用戶(hù)根據(jù)實(shí)際需求來(lái)確定，若更注重多模型系統(tǒng)的全局?jǐn)M合能力，可以取較大的α值；反之，若更注重系統(tǒng)的局部特性，則取較小的α值。文中的仿真實(shí)例選擇了α=0.8。

極小化JM可得到Θ的估計(jì)值

(17)

2.4 建模終止條件的確定

(18)

建模過(guò)程中，局部線性模型逼近第i個(gè)聚類(lèi)內(nèi)樣本的性能用逼近誤差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差σqi來(lái)估計(jì)

(19)

若局部模型個(gè)數(shù)達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)的總體建模性能未達(dá)到要求，則從具有最大相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的最差樣本子集中重新選擇2個(gè)新的初始聚類(lèi)中心。

采用NRMSE作為模型精確度是否滿(mǎn)意的性能指標(biāo)時(shí)，隨著局部模型個(gè)數(shù)的增加，性能指標(biāo)值將呈單調(diào)非增趨勢(shì)。因此，可由用戶(hù)設(shè)定一個(gè)滿(mǎn)意的性能指標(biāo)閾值PER_TH，若當(dāng)前模型的PER≤PER_TH，則建模過(guò)程結(jié)束。但要注意到：若用戶(hù)設(shè)置的PER_TH值不合理，例如對(duì)模型精確度的要求過(guò)高，即使局部模型個(gè)數(shù)再多也不可能達(dá)到要求，此時(shí)文獻(xiàn)[13-15]中的建模迭代過(guò)程將陷入死循環(huán)。因此，有必要設(shè)置一個(gè)允許的最大局部模型個(gè)數(shù)Cmax，若聚類(lèi)個(gè)數(shù)已經(jīng)達(dá)到Cmax，模型精確度仍無(wú)法到達(dá)用戶(hù)的要求，則應(yīng)該終止建模過(guò)程，并建議用戶(hù)降低要求。此外，文獻(xiàn)[13-15]中僅根據(jù)模型精確度要求來(lái)確定模型個(gè)數(shù)，沒(méi)有能夠有效利用聚類(lèi)有效性指標(biāo)，有可能導(dǎo)致出現(xiàn)冗余模型。

實(shí)際上在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，為了減少局部模型個(gè)數(shù)從而降低整個(gè)控制系統(tǒng)的復(fù)雜度，是可以在模型精確度上適當(dāng)降低要求的。為此，文中建模方法采用以模型精確度指標(biāo)為主，聚類(lèi)有效性指標(biāo)為輔的判別準(zhǔn)則來(lái)確定最佳局部模型個(gè)數(shù)及設(shè)置建模終止條件。

這里采用XBindex作為聚類(lèi)個(gè)數(shù)選擇的輔助指標(biāo)。聚類(lèi)有效性的度量應(yīng)該基于類(lèi)內(nèi)和類(lèi)間兩方面衡量。XBindex定義為整個(gè)模糊聚類(lèi)方差σ與聚類(lèi)類(lèi)間最小分離度sep的比值[18]

(20)

好的分類(lèi)應(yīng)該是類(lèi)內(nèi)的點(diǎn)集中緊湊，類(lèi)與類(lèi)的間距盡可能大，因此XB值越小說(shuō)明聚類(lèi)效果越好。隨著聚類(lèi)個(gè)數(shù)的遞增，XB可能會(huì)出現(xiàn)局部最小值，一般認(rèn)為第一次出現(xiàn)局部最小對(duì)應(yīng)的聚類(lèi)個(gè)數(shù)是最佳的選擇。

建模過(guò)程中，在每次G-K聚類(lèi)結(jié)束后，計(jì)算當(dāng)前聚類(lèi)結(jié)果的有效性指標(biāo)XB(c)，并與前一次聚類(lèi)的有效性指標(biāo)XB(c-1)進(jìn)行比較，若c=cb+1時(shí)出現(xiàn)XB(c)>XB(cb)而PER(c)>PER_TH0，說(shuō)明數(shù)據(jù)樣本分類(lèi)在聚類(lèi)個(gè)數(shù)為cb時(shí)已經(jīng)達(dá)到最佳，而建模性能指標(biāo)仍未達(dá)到要求，此時(shí)應(yīng)該適當(dāng)降低對(duì)建模精確度的要求，在模型復(fù)雜度和模型精確度之間進(jìn)行權(quán)衡。例如，可以令PER_TH=(PER(cb)+PER_TH0)/2或者在c>cb后以一定的百分比降低建模精確度閾值。

2.5 建模步驟

這種新的基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法的具體步驟為：

1)獲取用戶(hù)設(shè)定的PER_TH0和性能指標(biāo)(16)中的權(quán)值α；設(shè)定Cmax(2Cmax；令cb=0；

4)根據(jù)M、ci、σi利用式(2)和式(3)計(jì)算每個(gè)原始數(shù)據(jù)樣本對(duì)應(yīng)的調(diào)度函數(shù)值ρi(i=1,…,M)，同時(shí)將系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)組合成ΨL、ΨG及Y。利用式(17)計(jì)算得到各局部模型的參數(shù)θi(i=1,…,M)；

5)根據(jù)式(18)計(jì)算用戶(hù)給定的模型精確度指標(biāo)的當(dāng)前值PER_C；若PER_CXB(c-1)，令cb=c-1，之后不再計(jì)算XB；若cb≠0(表明聚類(lèi)有效性指標(biāo)已過(guò)最優(yōu)值)，則降低建模精確度要求，可令PER_TH=(PER(cb)+PER_TH0)/2；

(21)

i=1,2,…,c；k=1,2,...,N。

(22)

式中m>1為模糊度指數(shù)，通常取2。

建模過(guò)程正常結(jié)束后，系統(tǒng)可由局部模型集{LM1,LM2,…,LMM}表征，全局模型可用局部模型與對(duì)應(yīng)的調(diào)度函數(shù)乘積和表示。

3 仿真實(shí)例

3.1 靜態(tài)非線性系統(tǒng)

考慮一個(gè)雙輸入單輸出的靜態(tài)非線性系統(tǒng)[4]

(23)

采用文獻(xiàn)[4]中提供的50組輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)該非線性系統(tǒng)。選擇調(diào)度向量和輸入向量φ(k)=φ(k)=[x1(k),x2(k)]T，調(diào)度向量和輸出數(shù)據(jù)組成樣本集{zk=[φT(k),y(k)]T,k=1,2,…,50}，圖2顯示了標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)樣本。

局部模型LMi采用仿射ARX形式

yi(k)=φT(k)θi=

θi0+θi1φ1(k)+…+θirφr(k)。

(24)

式中：r為回歸向量φ(k)的維數(shù)，θi=[θi0,θi1,…,θir]T為局部模型參數(shù)向量。

因本例中樣本個(gè)數(shù)較少，設(shè)定允許的局部模型個(gè)數(shù)最大值Cmax=5。圖2中標(biāo)出了整個(gè)樣本集的中心“★”、通過(guò)協(xié)方差矩陣奇異值分解后確定的2個(gè)初始聚類(lèi)中心“●”以及第一次G-K聚類(lèi)后得到的2個(gè)聚類(lèi)中心“◆”。從“◆”和“●”所在位置可以看出文中提出的初始聚類(lèi)中心確定方法是合理的，它能在數(shù)據(jù)擴(kuò)張的方向上抓住樣本集的主要特征，因而可以使算法能夠更快地找到最優(yōu)聚類(lèi)中心。

圖2 靜態(tài)非線性系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本數(shù)據(jù)Fig.2 Normalized sample data of the static nonlinear system

若設(shè)定初始性能指標(biāo)閾值PER_TH0=0.15。建模過(guò)程中模型精確度指標(biāo)PER(NRMSE)和聚類(lèi)有效性指標(biāo)XB隨聚類(lèi)個(gè)數(shù)c的變化如圖3所示。由于設(shè)定的初始性能指標(biāo)閾值PER_TH0較小，雖然在聚類(lèi)個(gè)數(shù)為cb=3時(shí)XB已到達(dá)局部最小值，但未能滿(mǎn)足建模精確度要求，因此之后自動(dòng)調(diào)整性能指標(biāo)閾值PER_TH=(PER(3)+PER_TH0)/2=(0.26+0.15)/2=0.205。到c=5時(shí)，PER(5)=0.187<0.205，建模精確度滿(mǎn)足要求，建模過(guò)程結(jié)束。若不根據(jù)聚類(lèi)有效性指標(biāo)XB自動(dòng)調(diào)整PER_TH或者初始閾值PER_TH0設(shè)得更小，則會(huì)在局部模型個(gè)數(shù)已達(dá)到Cmax時(shí)仍無(wú)法滿(mǎn)足模型精確度要求，建模失敗。若設(shè)定PER_TH0=0.25，則在c=4時(shí)建模過(guò)程可結(jié)束，表1中列出了辨識(shí)到的局部模型網(wǎng)絡(luò)各參數(shù)值。

表1 靜態(tài)非線性系統(tǒng)LMN模型參數(shù)

圖3 NRMSE和XB隨聚類(lèi)個(gè)數(shù)c的變化Fig.3 Variation of NRMSE and XB index with the number of clustering

為了與其它文獻(xiàn)中建模方法進(jìn)行對(duì)比，這里給出另一個(gè)常用的模型評(píng)價(jià)性能指標(biāo)——均方差(mean square error，MSE)

(25)

表2給出了針對(duì)該系統(tǒng)利用不同建模方法所得模型精確度的比較，可見(jiàn)基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法無(wú)論是在模型精確度還是局部模型個(gè)數(shù)上都具有優(yōu)越性。

表2 靜態(tài)非線性系統(tǒng)不同模型的比較

Table 2 Comparison of different models for the static nonlinear system

模型局部模型個(gè)數(shù)模型誤差(MSE)SUGENO(1993)[4]60.079LEE(2003)[7]100.0148李檸(2003)[13]4/50.114/0.102本文方法4/50.059/0.037

3.2 Box-Jenkins煤氣爐系統(tǒng)

Box-Jenkins煤氣爐數(shù)據(jù)[19]是系統(tǒng)辨識(shí)的一個(gè)典型實(shí)例，這組數(shù)據(jù)由296組輸入輸出觀測(cè)值組成，是一個(gè)SISO動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其中輸入u(k)為進(jìn)入煤氣爐的煤氣流量，輸出y(k)為排煙中的CO2濃度。為便于比較，進(jìn)行了2組不同的測(cè)試：

case 1：選擇調(diào)度向量φ(k)=[y(k-1),u(k-4)]T和輸入向量φ(k)=[y(k-1),u(k-4)]T；

case 2：選擇調(diào)度向量φ(k)=[y(k-1),u(k-1)]T和輸入向量φ(k)=[y(k-1),y(k-2),y(k-3),u(k-1),u(k-2),u(k-3)]T。

局部模型采用如式(24)所示的仿射ARX形式，表3列出了case 1建模得到局部模型個(gè)數(shù)M=4時(shí)的LMN參數(shù)。表4列出了針對(duì)Box-Jenkins煤氣爐不同建模方法的效果對(duì)比。圖4顯示了case 2情況下M=4時(shí)模型輸出與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比以及模型誤差。

表3 Box-Jenkins煤氣爐LMN模型參數(shù)(case 1)

表4 Box-Jenkins煤氣爐不同建模結(jié)果的比較

4 Bell-?str?m鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)的建模

Bell-?str?m鍋爐-汽機(jī)模型描述了瑞典Malm? Sydvenska Kraft AB電廠某160 MW燃油汽包爐機(jī)組的動(dòng)態(tài)特性，該模型被大量用于驗(yàn)證各種先進(jìn)控制方法應(yīng)用于火電機(jī)組控制的有效性。該系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型為[20]：

H=0.05(0.13073ρf+100αs+qe/9-67.975)，

qe= (0.854u2-0.147)P+45.59u1-

2.514u3-2.096。

(26)

式中：P是鍋爐汽包壓力(kg/cm2)；E是機(jī)組發(fā)電功率(MW)；ρf是流體密度(kg/cm3)；H是汽包水位(m)；αs和qe分別為蒸汽質(zhì)量系數(shù)和蒸發(fā)率(kg/s)；u1、u2、u3分別為系統(tǒng)的3個(gè)控制輸入，即燃料流量閥門(mén)開(kāi)度、蒸汽流量閥門(mén)開(kāi)度和給水流量閥門(mén)開(kāi)度。u1、u2、u3的幅值及速率限制見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。P、E、H為系統(tǒng)的3個(gè)輸出變量。

圖4 Box-Jenkins煤氣爐模型輸出與實(shí)際輸出的比較(case 2)Fig.4 Comparison of model outputs and practical output data for Box-Jenkins gas furnace (case 2)

為了使系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)能覆蓋整個(gè)運(yùn)行工況(典型工況點(diǎn)數(shù)據(jù)見(jiàn)文獻(xiàn)[20])，輸入信號(hào)必須滿(mǎn)足持續(xù)激勵(lì)的條件。這里選擇一種寬度和幅值均可調(diào)的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列生成3個(gè)控制輸入u1、u2、u3的激勵(lì)信號(hào)，以充分激勵(lì)各操作子區(qū)間，并分別采集了如圖5所示的7000組數(shù)據(jù)樣本(采樣時(shí)間T=1 s)用于模型辨識(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)見(jiàn)圖6～圖8。

圖5 用于鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)模型辨識(shí)的激勵(lì)輸入信號(hào)Fig.5 Excitation input signals for model identification for the boiler-turbine unit

圖6 汽包壓力通道模型辨識(shí)結(jié)果Fig.6 Model identification result for drum pressure

針對(duì)該MIMO非線性系統(tǒng)，選擇調(diào)度向量φ(k)=[P(k-1),E(k-1),H(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，用于LMN模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的聚類(lèi)數(shù)據(jù)樣本集由系統(tǒng)的調(diào)度向量和輸出數(shù)據(jù)組成{zk=[φT(k),P(k),E(k),H(k)]T,k=1,2,…,6998}；在進(jìn)行局部模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)，分解為3個(gè)MISO系統(tǒng)：

1)對(duì)于汽包壓力通道辨識(shí)模型，選取樣本輸入向量為φ1(k)=[P(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y1(k)=P(k)；

2)對(duì)于輸出電功率通道辨識(shí)模型，選取樣本輸入向量為φ2(k)=[E(k-1),E(k-2),u1(k-1),u2(k-1),u2(k-2),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y2(k)=E(k)；

3)對(duì)于汽包水位通道辨識(shí)模型，選取樣本輸入向量為φ3(k)=[H(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y3(k)=H(k)。

圖7 輸出電功率通道模型辨識(shí)結(jié)果Fig.7 Model identification result for Power Output

利用基于滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)的多模型建模方法，當(dāng)局部模型個(gè)數(shù)即聚類(lèi)數(shù)增加到M=3時(shí)就可以得到令人滿(mǎn)意的建模精確度，辨識(shí)得到的LMN模型為：

LM1:φ(k)∈Γ1(c1，22.96)，

c1= [100.93,45.59,0.0133,0.2516,0.5588,

0.3097]T，

P(k)= 0.9997P(k-1)+0.8632u1(k-1)-

0.2495u2(k-1)-0.1543u3(k-1)，

E(k)= 1.6897E(k-1)-0.7185E(k-2)-

0.3987u1(k-1)-0.9505u2(k-1)+

3.3904u2(k-2)-0.1706u3(k-1)，

H(k)= 0.9858H(k-1)+0.0075u1(k-1)-

0.0019u2(k-1)+0.0005u3(k-1)，

LM2:φ(k)∈Γ2(c2,15.17)

c2= [112.98,74.32,0.0033,0.3863,0.7122,

0.4723]T，

P(k)= 0.9982P(k-1)+0.9474u1(k-1)-

0.1360u2(k-1)-0.1162u3(k-1)，

E(k)= 1.3497E(k-1)-0.4335E(k-2)+

0.0793u1(k-1)+0.8488u2(k-1)+

7.4967u2(k-2)+0.6694u3(k-1)，

H(k)= 0.9992H(k-1)+0.0003u1(k-1)-

0.0050u2(k-1)+0.0085u3(k-1)。

LM3:φ(k)∈Γ3(c3,22.55)，

c3= [123.70,101.84,0.0433,0.4856,0.8287,

0.6427]T，

P(k)= 1.0005P(k-1)+0.7323u1(k-1)-

0.3451u2(k-1)-0.2141u3(k-1)，

E(k)= 1.7281E(k-1)-0.7529E(k-2)+

1.2306u1(k-1)-0.2023u2(k-1)+

2.4586u2(k-2)+0.2365u3(k-1)，

H(k)= 0.9921H(k-1)+0.0184u1(k-1)-

0.0068u2(k-1)-0.0056u3(k-1)。

圖6～圖8分別給出了汽包壓力通道、輸出電功率通道、和汽包水位通道的建模效果。為進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型的精確度，進(jìn)行開(kāi)環(huán)階躍擾動(dòng)響應(yīng)測(cè)試，結(jié)果如圖9所示。圖中模型輸出與實(shí)際輸出信號(hào)幾何完全重合(實(shí)線：對(duì)象實(shí)際輸出；點(diǎn)線：模型輸出)，所建的LMN雖然只用了3組局部線性模型，就已具有了很高的預(yù)測(cè)精確度，能夠很好地描述鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，為機(jī)爐協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了良好的模型基礎(chǔ)。

圖9 輸入信號(hào)階躍擾動(dòng)下的測(cè)試結(jié)果Fig.9 Testing result for step variations of the input signals

5 結(jié) 論

本文從系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)出發(fā)，研究了一種新的多模型建模方法并將其應(yīng)用于建立鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)的控制模型。針對(duì)現(xiàn)有方法在初始聚類(lèi)中心選取和建模過(guò)程終止條件設(shè)置等方面的不足進(jìn)行了改進(jìn)，提出了基于樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣奇異值分解來(lái)確定初始和新增聚類(lèi)中心的方法及利用模型性能指標(biāo)和聚類(lèi)有效性指標(biāo)結(jié)合的建模終止條件來(lái)確定最佳聚類(lèi)數(shù)的方法?；诟倪M(jìn)的滿(mǎn)意模糊聚類(lèi)可快速確定出局部模型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用基于加權(quán)性能指標(biāo)的多模型辨識(shí)算法可得到合適的局部模型參數(shù)，最終得到的LMN模型具有良好的全局特性和局部擬合能力。對(duì)某靜態(tài)非線性系統(tǒng)和Box-Jenkins煤氣爐系統(tǒng)的建模仿真，驗(yàn)證了這種多模型建模方法的優(yōu)越性。針對(duì)Bell-?str?m鍋爐-汽輪機(jī)系統(tǒng)，利用提出的多模型建模方法建立了其局部模型網(wǎng)絡(luò)，建模過(guò)程中不需要預(yù)先指定局部模型的個(gè)數(shù)，且辨識(shí)得到的模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精確度高?？梢?jiàn)，本文方法可為復(fù)雜熱工過(guò)程的整體優(yōu)化控制奠定良好的模型基礎(chǔ)。

[1] MURRAY S R,JOHANSEN T A．Multiple model approaches to modeling and control[M].Taylor and Francis Ltd,1997.

[2] FERRARI T G,MUSELLI M,LIBERATI D,et al.A clustering technique for the identification of piecewise affine systems[J].Automatica,2003,39(2): 205-217.

[3] GHOSH S,MAKA S.A fuzzy clustering based technique for piecewise affine approximation of a class of nonlinear systems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2010,15(9): 2235-2244.

[4] SUGENO M,YASUKAWA T.A fuzzy logic based approach to qualitative modeling[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1993,1(1): 7-31.

[5] KIM E,PARK M,JI S,et al.A new approach to fuzzy modeling[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1997,5(3):328-337.

[6] CHEN J Q,XI Y G,ZHANG Z J.A clustering algorithm for fuzzy model identification[J].Fuzzy Sets and Systems,1998,98(3):319-329.

[7] LEE S J,OUYANG C S.A neuro-fuzzy system modeling with self-constructing rule generation and hybrid SVD-based learning[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2003,11(3):341-353.

[8] WU X,SHEN J,LI Y,et al.Data-driven modeling and predictive control for boiler-turbine unit using fuzzy clustering and subspace methods[J].ISA Transactions,2014,53(3): 699-708.

[9] 林金星,沈炯,李益國(guó).基于遞階G-K聚類(lèi)的熱工過(guò)程多模型建模方法[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2006,26 (11):23-28.

LIN Jinxing,SHEN Jiong,LI Yiguo.Multi-model Modeling Method based on hierarchical G-K clustering for thermal process[J].Proceedings of the CSEE,2006,26 (11): 23-28.

[10] TSEKOURAS G E.On the use of the weighted fuzzy c-means in fuzzy modeling[J].Advances in Engineering Software,2005,36(5):287-300.

[11] BAGIS A.Fuzzy rule base design using tabu search algorithm for nonlinear system modeling[J].ISA Transactions,2008,47(1):32-44.

[12] LI C,ZHOU J,LI Q,et al.A new T-S fuzzy-modeling approach to identify a boiler-turbine system[J].Expert Systems with Applications,2010,37(3):2214 -2221.

[13] 李檸,李少遠(yuǎn),席裕庚.基于滿(mǎn)意聚類(lèi)的多模型建模方法[J].控制理論與應(yīng)用,2003,20(5):783-787.

LI Ning,LI Shaoyuan,XI Yugeng.Multi-model modeling method based on satisfactory clustering[J].Control Theory & Applications,2003,20(5):783-787.

[14] XUE Z,LI S.A muti-model identification algorithm based on weighted cost function and application in thermal process[J].Acta Automatica Sinica,2005,31(3):470-474.

[15] 薛振框,李少遠(yuǎn).MIMO非線性系統(tǒng)的多模型建模方法[J].電子學(xué)報(bào),2005,33(1):52-56.

XUE Zenkuang,LI Shaoyuan.A Multi-model modeling approach to MIMO nonlinear systems[J].Acta Electronica Sinica,2005,33(1):52-56.

[16] JOHANSEN T A,FOSS B A. A NARMAX model representation for adaptive control based on local models[J].Modeling，Identification and Control,1992,13(1):25-39.

[17] TESLIC L,HARTMANN B,NELLES O,et al.Nonlinear system identification by gustafson-kessel fuzzy clustering and supervised local model network learning for the drug absorption spectra process[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2011,22(12):1941-1951.

[18] XIE X L,BENI G.A validity measure for fuzzy clustering[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1991,13(8):841-847.

[19] BOX G E P,JENKINS G M.Time series analysis,forecasting and control[M].San Francisco,CA: Holden Day,1970.

[20] BELL R D,ASTROM K J.Dynamic models for boiler-turbine alternator units: data logs and parameter estimation for a 160 MW unit[R].Lund Institute of Technology,Sweden,Report:TFRT-3192,1987.

(編輯：賈志超)

Satisfactory fuzzy clustering-based multi-model modeling method for thermal process

ZHU Hong-xia1,2, SHEN Jiong2, LI Yi-guo2

(1.School of Energy and Power Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China;2.School of Energy and Environment,Southeast University,Nanjing 210096,China)

Due to the genuine nonlinearity and uncertainty,it is challenging to precisely present the complex dynamics of thermal process with traditional linear modeling strategies.To solve this problem,a multi-model modeling method based on an improved satisfactory fuzzy clustering technique is proposed.Without knowing the number of local models (i.e.,cluster number) as a priori,the initial cluster centers and the incoming new cluster centers were first created by using singular value decomposition of the covariance matrix of samples,where the optimal clustering number was determined according to the combination of model accuracy requirement and cluster validity index.Then,the structure of local model network was determined directly from the clustering results,and the local model parameters were estimated with weighted performance function based identification algorithm.To outperform the proposed method well,some simulations were conducted on two popular nonlinear systems and Bell-?str?m boiler-turbine system.The results suggest that the proposed method achieves high identification accuracy with less number of local models.

model identification; multi-model; local model network; satisfactory fuzzy clustering; thermal process

2015-07-05

國(guó)家自然科學(xué)基金(51476027)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(20130092110061)；南京工程學(xué)院青年基金(QKJA201303)

朱紅霞(1980—)，女，博士，副教授，研究方向?yàn)闊崃ο到y(tǒng)建模及先進(jìn)控制理論應(yīng)用；

沈 炯(1957—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊峁み^(guò)程優(yōu)化控制；

朱紅霞

10.15938/j.emc.2016.10.013

TP 273

A

1007-449X(2016)10-0094-10

李益國(guó)(1973—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊峁み^(guò)程優(yōu)化控制。