一類具有高增益觀測器的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)

孟桂芝， 李興華， 宋迎春

(哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

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一類具有高增益觀測器的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)

孟桂芝， 李興華， 宋迎春

(哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

針對具有由非線性外部系統(tǒng)產(chǎn)生的未知不確定性函數(shù)和未建模動態(tài)的非線性不確定系統(tǒng),研究了其跟蹤和干擾抑制問題。首先運(yùn)用狀態(tài)變換將輸出調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)化為非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,接著引入動態(tài)信號解決了動態(tài)擾動，并設(shè)計出高增益的狀態(tài)觀測器去估計不可測的狀態(tài)。然后根據(jù)外系統(tǒng)信息設(shè)計自適應(yīng)的非線性內(nèi)模,結(jié)合自適應(yīng)控制理論、Backstepping設(shè)計方法、模糊控制方法和Lyapunov法給出了輸出反饋的自適應(yīng)模糊控制器和自適應(yīng)控制律,所提出的輸出反饋控制器和自適應(yīng)律能夠?qū)崿F(xiàn)整個閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤和干擾抑制,并使得跟蹤誤差能漸近收斂到給定的任意小的領(lǐng)域內(nèi)。最后仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制器的有效性。

內(nèi)模;高增益觀測器;自適應(yīng)控制; Backstepping技術(shù); Lyapunov方法

0 引 言

近年來，非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題(也稱為伺服問題)已成為非線性控制的熱點(diǎn)問題，它包括系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、干擾抑制和跟蹤等特殊的控制問題。輸出調(diào)節(jié)的目的是當(dāng)系統(tǒng)的擾動由外系統(tǒng)生成時，要設(shè)計一個反饋控制器使得所得的整個閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號最終一致有界，并達(dá)到抑制干擾和漸近跟蹤。

目前，國內(nèi)外已有大量關(guān)于非線性系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題的研究成果[1-3]。非線性內(nèi)模原理[3]是解決具有未知參數(shù)的非線性輸出調(diào)節(jié)問題的重要工具，但對外部系統(tǒng)含有未知參數(shù)的情況無法處理。自適應(yīng)控制[4]的引入則有效地解決上述問題。當(dāng)系統(tǒng)中控制方向已知時，魯棒控制[5]是常見的處理方法，當(dāng)控制方向未知時，Nassbaum增益技術(shù)[6]則是強(qiáng)有力的手段。特別是2004年，Huang等給出了處理一般非線性系統(tǒng)的一個研究框架，把魯棒輸出調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)化為增廣系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題[7]，從而給出了處理一般非線性輸出調(diào)節(jié)問題的研究框架。為了漸近跟蹤給定的特殊信號而不需要外系統(tǒng)的信號，很多輸出調(diào)節(jié)問題的解決都利用了具有狀態(tài)觀測器的內(nèi)模設(shè)計[8-9]。Ding等根據(jù)觀測器理論采用動態(tài)交換技術(shù)解決了非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題[8]，當(dāng)外系統(tǒng)是非線性時，Xi等引入圓判據(jù)設(shè)計觀測器和非線性內(nèi)模解決了輸出調(diào)節(jié)問題[9]。文獻(xiàn)[10]利用飽和的高增益觀測器解決了一族可反饋線性化的系統(tǒng)的半全局魯棒輸出調(diào)節(jié)。上述結(jié)果都是針對系統(tǒng)具有參數(shù)不確定性時，當(dāng)系統(tǒng)含有非參數(shù)不確定性和未建模動態(tài)時，如何設(shè)計相應(yīng)的控制器和內(nèi)模使得系統(tǒng)能夠達(dá)到整個系統(tǒng)的跟蹤和干擾抑制，也更具有挑戰(zhàn)性。

高增益觀測器是非線性反饋控制中常用的一種方法，它能夠根據(jù)系統(tǒng)的輸出估計系統(tǒng)輸出的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本文針對由非線性外系統(tǒng)驅(qū)動的一類具有未建模動態(tài)和未知函數(shù)的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題，針對狀態(tài)不可測的情況，采用高增益的觀測器去估計不可測的狀態(tài)，并設(shè)計了具有狀態(tài)觀測器的非線性內(nèi)模，與以往不同的是[11-12]，引入動態(tài)信號去處理系統(tǒng)的未建模動態(tài)，設(shè)計輸出反饋控制器和自適應(yīng)模糊狀態(tài)觀測器使得對給定任意的初始狀態(tài)，所得到的整個閉環(huán)系統(tǒng)能達(dá)到最終一致有界且跟蹤誤差能任意小。

1 問題描述

考慮具有如下形式的非線性系統(tǒng)

(1)

其中：ξ表示未建模動態(tài)；x=[x1,…,xn]T∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)，且ξ,x2,…,xn不可測量的；u∈R表示系統(tǒng)的控制輸入；y∈R表示系統(tǒng)輸出，是可測量的；fi(x1,…,xi) (i=1,…,n)表示未知的光滑函數(shù)；gi(ξ,e,t)表示和動態(tài)信號有關(guān)的不確定的連續(xù)Lipscitz函數(shù)；di(w)為非期望的擾動信號，R(w)為參考輸入，w∈Rq為擾動信號，由如下未知的不確定非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的：

(2)

假設(shè)1[13]：動態(tài)不確定性gi(ξ,e,t)滿足

‖gi(ξ,e,t)‖≤ai‖ξ‖2+bi‖e‖2,

其中正常數(shù)ai和bi未知。

(3)

這里α1,α2和γ為K類函數(shù)，正常數(shù)c0和d0是已知的。

2 控制器設(shè)計

2.1 非線性內(nèi)模設(shè)計

為了處理系統(tǒng)(1)中的動態(tài)擾動和不匹配動態(tài)，引入動態(tài)信號r[13]，滿足

(4)

注意到未建模動態(tài)中沒有出現(xiàn)外系統(tǒng)信號，因此系統(tǒng)(3)存在如下可定義的全局解：

(5)

定義狀態(tài)變換σ=x-π(w)，其π(w)= [π1(w),…,πn(w)]T。由式(1)、式(5)可得：

(6)

其中：

假設(shè)3[14]：存在已知的正常數(shù)L,滿足

對非線性外部系統(tǒng)作如下假設(shè):

由于α(w)為未知的前饋項(xiàng),為產(chǎn)生前饋的估計,故需要設(shè)計內(nèi)模

(7)

其中選取K∈Rr,使得F0=F-KH是Hurwitz的,同時存在PF>0, Q>0滿足下列等式

(8)

PFG+JT=0。

(9)

2.2 高增益的模糊狀態(tài)觀測器設(shè)計

由文獻(xiàn)[14]可知,式(1)中的非線性項(xiàng)可由如下的模糊邏輯系統(tǒng)逼近

設(shè)計高增益的狀態(tài)觀測器為：

(10)

其中:常量l>1是待設(shè)計的增益；ki(i=1,…,n)是使得多項(xiàng)式p(s)=sn+k1sn-1+…+kn-1s+kn是Hurwitz的常量。

(11)

其中：

(12)

式中

考慮到p(s)是Hurwitz的，則一定存在一個n×n對稱且正定的矩陣P滿足

ATP+PA=-2aI。

(13)

式中a>0為正常數(shù)。

(14)

(15)

(16)

根據(jù)不等式2m1m2和假設(shè)1，得

(17)

根據(jù)假設(shè)2和引理1，可知‖ξ‖的估計為

‖ξ‖。

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:δ=max{δi0},i=1,…,n，max{ }表示最大值。

將式(20)～(21)代入到式(16)得

(22)

2.3 自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)(1)的鎮(zhèn)定問題。

(23)

由假設(shè)1-假設(shè)3和Young’s不等式可得

z1g1

(24)

(25)

和

(26)

注意到?κ>0，有

(27)

選取鎮(zhèn)定的虛擬控制與自適應(yīng)律

(28)

式中c1>0,Υ1>0，R1>0均為待設(shè)計常數(shù)，θ10為變量θ1的初始值。

將式(24)-(28)代入到式(23)中，可得

(29)

現(xiàn)在對式(29)的右端開始估計，注意到

可以得到

(30)

由假設(shè)3,可得

(31)

和

(32)

(33)

根據(jù)式(21)和式(33) ,可得

(34)

故選擇虛擬控制律和自適應(yīng)控制律為

(35)

式中c2>0,Υ2>0為待設(shè)計常數(shù)，θ20為變量θ2的初始值。

把式(30)-(35)代入式(29),可得

其中Ri>0為待設(shè)計的常參數(shù)。則函數(shù)Vi關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(36)

接著對式(36)的右端進(jìn)行估計，顯然

其中

類似于式(31)-(35)，得

(37)

和

(38)

(39)

不妨假設(shè)在第i-1步成立，并有

(40)

選擇虛擬控制與參數(shù)自適應(yīng)律

(41)

將式(37)～(41)代入式(36),可得

最后,定義坐標(biāo)變換

(42)

進(jìn)一步, 式(42)可以轉(zhuǎn)化為

(43)

式中F0=(F-KH)。

則易知Vη是一個正定的徑向無界的函數(shù),且Vη對時間t求導(dǎo)得

(44)

利用假設(shè)4,可得

將上式代入到式(44),再利用Young’s不等式可以得到

(45)

式中aF0為正常數(shù)。

(46)

式中

考慮全局的候選Lyapunov函數(shù)為

對函數(shù)Vn關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得

(47)

這里

(48)

對式(48)的右端進(jìn)行估計，可得到

(49)

(50)

(51)

(52)

選擇全局的模糊控制器和自適應(yīng)律為

(53)

把式(22),(45),(48)～(53)代入到(47),得到

(54)

其中λmin(Q)表示矩陣Q的最小特征值。

可選取自適應(yīng)律

(55)

這里Γ0>0為待設(shè)計常參量。由式(55)有下述結(jié)論成立：

(56)

將式(55)和(56)代入到式(54)，可得到

(57)

式中

讓

需要注意的是，對任意t≥0，有d(t)≥0，特別當(dāng)t>t0+T0，有d(t)=0。故式(57)可改寫為

(58)

0Vn。

3 仿真算例

考慮下列具有未建模動態(tài)的二階非線性系統(tǒng)

(59)

(60)

選擇如下的模糊隸屬度函數(shù)：

故得模糊基函數(shù)為

令

θ=[θ1,…,θ5]T

可以構(gòu)造如下的非線性內(nèi)模

并設(shè)計模糊的觀測器為

設(shè)計如下模糊狀態(tài)控制器和自適應(yīng)律

圖1 未建模動態(tài)ξ Fig.1 Unmodeled dynamics ξ

圖2 狀態(tài)x1和參考輸入w1Fig.2 State x1 and reference input w1

圖3 調(diào)節(jié)誤差eFig.3 Regulation error e

圖4 控制輸入uFig.4 Control input u

圖5 自適應(yīng)律Fig. 5 Adaptive law

4 結(jié) 論

本文主要考慮了一類由非線性外系統(tǒng)驅(qū)動的具有未知函數(shù)和未建模動態(tài)的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題。首先利用動態(tài)信號及相關(guān)知識處理了未建模動態(tài),接著結(jié)合非線性外系統(tǒng)的信息設(shè)計出非線性內(nèi)模,然后采用模糊邏輯系統(tǒng)來逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù),并設(shè)計出高增益的狀態(tài)觀測器去估計系統(tǒng)中不可測的狀態(tài)。最后利用Lyapunov方法、自適應(yīng)理論和模糊控制理論，構(gòu)造出具有模糊狀態(tài)觀測器的輸出反饋控制器，能夠使得整個閉環(huán)系統(tǒng)的信號都能達(dá)到最終一致有界且保證跟蹤誤差能漸近收斂到給定的任意小的領(lǐng)域內(nèi)。仿真結(jié)果證明了所給出的模糊自適應(yīng)控制器的設(shè)計方法是有效的。

[1] ISIDORE A,BYRNES C I. Output regulation of nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1990,35(2):131-140.

[2] LAN W,HUANG J.Robust Output regulation for disc rete-time nonlinear systems[J]. International Journal of Control, Automation and Systems,2005,15(2):63-81.

[3] HUANG J.Asymptotic Tracking and disturbance rejection in uncertain nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1995,40(6):1118-1122.

[4] SERRANI A,ISIDORIA.Semi-grobal nonlinear output regulation with adaptive internal model[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 53(7):1711-1717.

[5] SUN W,HUANG J. Output regulation for a glass of uncertain nonlinear systems with nonlinear exosystems and its application[J].Science in China Series F Information,2009,52:2072-2179.

[6] LIU L,HUANG J.Global robust output regulation of lower triangular systems with unknown control dire ction[J].Automatica,2008,44:1278-1284.

[7] HUANG J,CHEN Z.A general framework for tacking the output regulation problem[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(12):2203-2218.

[8] DING Z.Global Output regulation of uncertain nonli-near systems with exogenous signals[J]. Automatica, 2001, 37(37): 113-119.

[9] XI Z. DING Z. Global adaptive output regulationofa class of nonlinear internal models[J]. Automatica,2007,43(6):143-149.

[10] ESFSNDIAR F,KHALIL H k. Output feedback stabiliz-ation of fully linearizable systems[J]. International Journal of Control,1992,56(5):1007-1037.

[11] 孟桂芝, 馬克茂. 一類不確定非線性系統(tǒng)的動態(tài)面輸出調(diào)節(jié)方法[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報,2011,15(5):738-741.

MENG Guizhi, MA Kemao. Dynamic surface output regulation method for a class of uncertain nonlinear systems[J].Electronic Machines and Control,2011,15(5)：738-741.

[12] LIU Y,LI X.Y. Decentralized robust adaptive control of nonlinear systems withunmodeled dynamics[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2002,47(5):848-856.

[13] JIANG Z.,PRALY L. Design of robust adaptive controllers for nonlinear systems with dynamic uncertainties[J].Automatica, 1998,34(7):825-840.

[14] TONG S,LI Y,SHI P. Observer-based adaptive fuzzybackstepping output feedback control of uncertain m-imo purefeedback nonlinear systems[J].IEEE Transactionson Fuzzy Systems,2012,20(4): 771-785.

[15] DING Z.Global Regulation of uncertain nonlinear systems with exogenous signals[J]. Automatica, 2001,37(1):113-119.

(編輯：張 楠)

Output regulation of a glass of uncertain nonlinear systems based on high-gain state observers

MENG Gui-zhi， LI Xing-hua， SONG Ying-chun

(Department of Applied Mathematics, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080,China)

Attitude tracking and disturbance rejection problem of a glass of nonlinear systems with unmodeled dynamics and unknown functions driven by a nonlinear exosystem with the existence of uncertain function and external disturbances is considered. Firstly output regulation problem was transformed to stabilization problem by using state variable change. Then to solve dynamic uncertainty dynamic signal was introduced, and high-gain observers were designed to estimate the unpredictable state.An adaptive nonlinear internal model was designed via exosystem information. The adaptive control theory，Backstepping design method, fuzzy control method and Lyapunov method were utilized to propose an adaptive state controls and adaptive control laws. The controls and laws were designed to achieve in attitude tracking and disturbance rejection of the closed-loop system and tracking error is asymptotically regulated to the arbitrarily small neighbourhood．At last simulation results show its effectiveness.

internal model; high-gain observers;adaptive control; Backstepping design; Lyapunov method

2016-07-20

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12531101)

孟桂芝(1979—)，女，博士，副教授，研究方向?yàn)榉蔷€性控制理論及應(yīng)用;

李興華(1971—)，女，碩士，副教授，研究方向?yàn)榉蔷€性控制理論；

孟桂芝

10.15938/j.emc.2016.10.014

TP 271

A

1007-449X(2016)10-0104-10

宋迎春(1963—)，女，碩士，副教授，研究方向計算數(shù)學(xué)。