以小見大

沈良琴

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉與升華，是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的好幫手.在本章的學(xué)習(xí)中，我們不僅要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念，還要體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想.下面舉例剖析.

一、 用樣本估計(jì)總體的思想

例1 （2015·海南中考）為了治理大氣污染，我國(guó)中部某市抽取了該市2014年中120天的空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息，解答下面的問(wèn)題：

（1） 空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表中的a =______，m=______；

（2） 請(qǐng)把空氣質(zhì)量指數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3） 若繪制“空氣質(zhì)量指數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖”，級(jí)別為“優(yōu)”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是_______度；

（4） 估計(jì)該市2014年（365天）中空氣質(zhì)量指數(shù)大于100的天數(shù)約有_______天.

【思路剖析】本題主要考查了頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)概念，以及用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，解題的關(guān)鍵是正確從頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表和直方圖中獲取有用信息.

（1） 頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總數(shù)；

（2） 根據(jù)a的值補(bǔ)充完整統(tǒng)計(jì)圖；

（3） 扇形的圓心角=該部分所占百分比×360°；

（4） 圖上天數(shù)之和120天，利用樣本估計(jì)總體的方法，用365ד空氣質(zhì)量指數(shù)大于100 的天數(shù)”頻率（或所占百分比）即可.

解：（1） a=120×40%=48，

m=24÷120×100%=20%；

（2） 補(bǔ)充完整統(tǒng)計(jì)圖（圖1-2）如下：

（3） 360°×20%=72°；

（4） 365×（15%+12.5%+7.5%+5%）=146（天）.

易錯(cuò)點(diǎn)：此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是：對(duì)公式“頻率=頻數(shù)/總數(shù)”認(rèn)識(shí)不清或掌握不夠，不會(huì)運(yùn)用公式或出現(xiàn)變形錯(cuò)誤.

例2 （2015·北京中考）北京市2009～2014年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)如圖2所示.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息，預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約_______萬(wàn)人次，你的預(yù)估理由是_________.

【思路剖析】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，值得一提的是本題還考查了用樣本中的數(shù)據(jù)估算未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)事物發(fā)展變化的趨勢(shì).解題的關(guān)鍵是能根據(jù)北京市2009～2014年軌道交通日均客運(yùn)量的變化情況大致預(yù)估出未來(lái)一年內(nèi)軌道交通日均客運(yùn)量.

思路1：根據(jù)北京市2009～2014年軌道交通日均客運(yùn)量計(jì)算出客運(yùn)量平均增長(zhǎng)人數(shù)，再將2014年日均客運(yùn)量加上客運(yùn)量平均增長(zhǎng)人數(shù)即可預(yù)估2015年日均客運(yùn)量；

思路2：按照2013～2014年的增長(zhǎng)情況直接進(jìn)行估算；

思路3：按照2012～2013年的增長(zhǎng)情況直接進(jìn)行估算.

因此，答案是不唯一的，結(jié)果在980至1140之間即可，參考答案如下：

方法1：2009～2014年客運(yùn)量平均增長(zhǎng)人數(shù)為（930-390）÷5=108（萬(wàn)人次），

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約930+108=1038（萬(wàn)人次），故答案為1038.

方法2：2013～2014年客運(yùn)量增長(zhǎng)人數(shù)為930-880=50（萬(wàn)人次），

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約930+50=980（萬(wàn)人次），故答案為980.

方法3：2012～2013年客運(yùn)量增長(zhǎng)人數(shù)為880-670=210（萬(wàn)人次），

∴2014～2015年的增長(zhǎng)客運(yùn)量可能為210萬(wàn)人次，

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約930+210=1140（萬(wàn)人次），故答案為1140.

【點(diǎn)評(píng)】折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況，并對(duì)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)事物的發(fā)展情況進(jìn)行預(yù)估和推斷.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

例3 （2015·湖北恩施州中考）某中學(xué)開展“陽(yáng)光體育一小時(shí)”活動(dòng)，根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，決定開設(shè)“A. 踢毽子；B. 籃球； C. 跳繩；D. 乒乓球”四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目（每位學(xué)生必須選擇一項(xiàng)）.為了解學(xué)生最喜歡哪一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖3所示的統(tǒng)計(jì)圖，則參加調(diào)查的學(xué)生中最喜歡跳繩運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生數(shù)為（ ）.

A. 240 B. 120

C. 80 D. 40

【思路剖析】本題考查條形圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的信息.根據(jù)學(xué)生最喜歡A. 踢毽子項(xiàng)目的人數(shù)是80人，而相應(yīng)人數(shù)所占的百分比是40%，即可求得總?cè)藬?shù)為80÷40%=200（人），然后把總?cè)藬?shù)減去喜歡A、B、D項(xiàng)目的學(xué)生數(shù)，得：200-80-30-50=40，因此最喜歡跳繩運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生數(shù)為40人.故選D.

易錯(cuò)點(diǎn)：此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是讀錯(cuò)條形圖與扇形圖之間的關(guān)系.

例4 （2015·浙江省杭州中考）杭州市推行垃圾分類已經(jīng)多年，但在廚余垃圾中除了廚余類垃圾還混雜著非廚余類垃圾.如圖4是杭州市某一天收到的廚余類垃圾的統(tǒng)計(jì)圖.

（1） 試求出m的值；

（2） 杭州市那天收到廚余垃圾共約200噸，請(qǐng)計(jì)算其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數(shù).

【思路剖析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖中獲取解題所需要的信息.

（1） 利用各部分百分比之和等于1求得m，（2） 利用總量乘百分比得部分噸數(shù)解答.

解：（1） m=100-（22.39+0.9+7.55+0.15）=69.01；

（2） 其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數(shù)約為200×0.9%=1.8（噸）.

規(guī)律總結(jié)：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，以整個(gè)圓面積代表統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的總體，每一統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目分別用圓中不同的扇形面積表示，扇形面積占圓面積的百分之幾就代表該統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目占總體的百分之幾. 扇形各部分的百分比之和等于1.

（作者單位：江蘇省常州市北環(huán)中學(xué)）