淺談高中數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想

鄭柳榮

【摘 要】數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸。當(dāng)我們?cè)谌粘５臄?shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化這一化歸思想的時(shí)候，我們就要在教材中挖掘化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，在教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中辯證的對(duì)待這一思想方法。把難解決、抽象的問(wèn)題化歸與轉(zhuǎn)化成比較直觀的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；化歸；問(wèn)題轉(zhuǎn)化

化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)，盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化。常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化有：利用特殊化的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、利用正難則反的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、利用換元法的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、利用函數(shù)與方程的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化等。

一、利用特殊化的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

一般的問(wèn)題抽象成立，具體也成立。具體可以得到確切的答案與規(guī)律。這種關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中普遍存在，經(jīng)常運(yùn)用，這也是化歸思想的體現(xiàn)。

例1：已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則 的值？

分析：由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒(méi)有關(guān)系的.因此，可把抽象數(shù)列化歸為具體數(shù)列.比如，可選取數(shù)列an=n（n∈N*），則 = =13-16。

點(diǎn)評(píng)：抽象也能求解，但計(jì)算較繁鎖，易錯(cuò).因此，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行分析，可以很快得到答案從而達(dá)到快速的處理問(wèn)題的效果。

二、用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法之一。

三、利用正難則反的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

在討論比較復(fù)雜的情況時(shí)，可考慮先求解問(wèn)題的反面，采用“正難則反”的解題策略.具體地說(shuō)，就是將研究對(duì)象的全體視為全集，求出使問(wèn)題反面成立的集合U，則U的補(bǔ)集即為所求.

一般地說(shuō)，當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更具體、更明確時(shí)，宜考慮用補(bǔ)集的思想方法。

例3：已知三條拋物線 ， ， 中至少有一條與x軸相交，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解題分析：即補(bǔ)集分析，從全集中去掉那些不合題意的解集，“結(jié)論”的反面，三條拋物線都不和x軸相交相對(duì)于命題本身更簡(jiǎn)單明確，這樣就轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的二次函數(shù)根的問(wèn)題。

解：從題設(shè)的反面“三條拋物線都不和x軸相交相”出發(fā)，設(shè)三條拋物線的判別式分別為

則有： 解之得

∵ 為拋物線 ∴

根據(jù)補(bǔ)集的思想 故m的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)：教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)用補(bǔ)集法求解一些問(wèn)題時(shí)易出現(xiàn)一些不易覺(jué)察的錯(cuò)誤，結(jié)果導(dǎo)致錯(cuò)解發(fā)生，特別是本題中的隱含條件 是極易被忽視的地方。

四、利用換元法的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

五、利用函數(shù)與方程的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程的思想是求數(shù)量關(guān)系的主要思想方法。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如能建立描述其數(shù)量特征的函數(shù)表達(dá)式，或列出表示其數(shù)量關(guān)系的方程式（組）（包括不等式（組）），則一般可使問(wèn)題得到解答。

六、通過(guò)以上示例得出化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則

（1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決；

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；

（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；

（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決；

（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。

總而言之，化歸與轉(zhuǎn)化的思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒(méi)有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問(wèn)題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉化歸與轉(zhuǎn)化的思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法，去靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將有利于提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力和技能、技巧。

參考文獻(xiàn)：

[1]聚集數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化與化歸.高中數(shù)理化.2010（7）

[2]淺談化歸思想與高中數(shù)學(xué)教學(xué).教師.2009（16）