數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

唐波偉

一、由教學(xué)知識點(diǎn)引發(fā)的思考

知識點(diǎn)1.秦九韶算法

人教版教材中在這一節(jié)有個(gè)思考題，“用秦九韶算法求n次多項(xiàng)式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，當(dāng)x=x0（x0是任意實(shí)數(shù)）時(shí)的值，需要多少次乘法運(yùn)算，多少次加法運(yùn)算？”

一般情況下，是n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算，這是由最高次項(xiàng)的次數(shù)所決定的.那么當(dāng)此多項(xiàng)式缺項(xiàng)、首項(xiàng)系數(shù)為1或常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，還是嗎？

下面分別以三道例題來談筆者對這幾種特殊情況的看法.

首先來看缺項(xiàng)情況.

例題1已知f（x）=2x6-5x5-4x3+3x2-6x+1，求x=2的函數(shù)值，用幾次乘法，幾次加法？

觀點(diǎn)1因?yàn)?/p>

f（x）=2x6-5x5-4x3+3x2-6x+1

=（（（（2x-5）x2-4）x+3）x-6）x+1，

所以用了6次乘法，5次加法.

觀點(diǎn)2因?yàn)?/p>

f（x）=2x6-5x5+0*x4-4x3+3x2-6x+1

=（（（（（2x-5）x+0）x-4）x+3）x-6）x+1.

所以用了6次乘法，6次加法.

也就是說，缺項(xiàng)時(shí)，系數(shù)補(bǔ)成0.

接著看首項(xiàng)系數(shù)為1的情況.

例題2已知f（x）=x4+2x3-3x2+4x-5，求x=2的函數(shù)值，用幾次乘法，幾次加法？

觀點(diǎn)1因?yàn)?/p>

f（x）=x4+2x3-3x2+4x-5

=（（（x+2）x-3）x+4）x-5，

所以用了3次乘法，4次加法.也就是說，當(dāng)最高次項(xiàng)系數(shù)是1，乘法次數(shù)少1次.

觀點(diǎn)2因?yàn)?/p>

f（x）=x4+2x3-3x2+4x-5

=（（（1·x+2）x-3）x+4）x-5，

所以用4次乘法，4次加法.

最后看常數(shù)項(xiàng)是0的情況.

例題3已知f（x）=5x4+2x3-3x2+4x，求x=2的函數(shù)值，用幾次乘法，幾次加法？

觀點(diǎn)1因?yàn)?/p>

f（x）=5x4+2x3-3x2+4x

=（（（5x+2）x-3）x+4）x，

所以用了4次乘法，3次加法.即當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，加法次數(shù)少1次.

觀點(diǎn)2因?yàn)閒（x）=5x4+2x3-3x2+4x

=（（（5x+2）x-3）x+4）x+0，

所以用4次乘法，4次加法.

對于以上幾種特殊情況，到底哪種觀點(diǎn)是正確的呢？

針對這幾種特殊情況，可以從秦九韶算法及算法的程序中分析出來.

因?yàn)樗惴ǖ挠糜?jì)算機(jī)執(zhí)行的，不是用人腦算的！當(dāng)缺項(xiàng)時(shí)，系數(shù)要輸入0；當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，輸入1；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是0時(shí)，輸入0.這樣的話，以上所列的各種特殊情況既不會(huì)影響求值時(shí)乘法的次數(shù)，也不會(huì)影響加法的次數(shù).INPUT

v所以用秦九韶算法求n次多項(xiàng)式

f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

當(dāng)x=x0（x0是任意實(shí)數(shù)）時(shí)的值，需要n次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算.

知識點(diǎn)2.對數(shù)函數(shù)的定義

人教版教材中給出的定義是“一般地，我們把y=logax（a>0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）”.為了讓學(xué)生更好地理解對數(shù)函數(shù)的概念，老師通常會(huì)列出一些函數(shù)，例如y=lgx2，y=log3（x+1），y=log2x-4，來讓學(xué)生判斷是否是對數(shù)函數(shù)，然后再給大家總結(jié)一下對數(shù)函數(shù)定義中的幾個(gè)要點(diǎn).那么，下面這些函數(shù)y=13lnx，y=lgx10+1，y=2log4x，y=13log2x3，等等，是對數(shù)函數(shù)嗎？乍一看，不是！但是仔細(xì)整理一下，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的性質(zhì)logambn=nmlogab可知，

y=13lnx=loge3x，

y=lgx10+1=lgx10+lg10=lgx，

y=2log4x=2log22x=log2x，

y=13log2x3=log2x，

所以筆者以為類似于y=13lnx，y=lgx10+1，y=2log4，y=13log2x3等等的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).也就是說，是不是對數(shù)函數(shù)，看等價(jià)變形之后的函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù).難道我們要說函數(shù)y=2log4x不是對數(shù)函數(shù)，而函數(shù)y=log2x是對數(shù)函數(shù)嗎？顯然這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù).這個(gè)類似于初中階段單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的概念，也類似于小學(xué)階段整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念.

二、易錯(cuò)題的分析

1.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有S2=7，S6=91，求S4.

分析由數(shù)列{an}是等比數(shù)列可知，此數(shù)列依次m項(xiàng)的和仍然是等比數(shù)列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是等比數(shù)列（當(dāng)q=-1或m為奇數(shù)時(shí)）.

解由題意，顯然q≠-1，

所以S2，S4-S2，S6-S4是等比數(shù)列，

故（S4-S2）2=S2（S6-S4），

代入數(shù)值得（S4-7）2=7×（91-S4），

解得S4=28或S4=-21.

當(dāng)S4=-21時(shí)，S4-S2=-28，

又S4-S2=a4+a3=（a2+a1）q2=S2q2，

而q2>0，所以S4-S2與S2要同號，

而S2=7，故S4=-21不符合題意.

可以檢驗(yàn)，當(dāng)S4=28時(shí)，符合題意.

所以S4=28.

評析此題目很容易得到兩種答案，S4=28或S4=-21.只要細(xì)想一下，就不難發(fā)現(xiàn)S4=-21不合題意.這就類似于等比中項(xiàng)的定義，一般情況下，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù).特殊情況下，就只有一個(gè).比如，等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=9，則a3=3.

此題的另一種解法：

顯然q≠1，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

S2=a1（1-q2）1-q=a1（1+q）=7，

S6=a1（1-q6）1-q=a1（1-q2）（1+q2+q4）1-q

=a1（1+q）（1-q）（1+q2+q4）1-q

=a1（1+q）（1+q2+q4）=91，

S6S2=1+q2+q4=13，

即q4+q2-12=0，得q2=-4（舍）或q2=3，

S4=S2+q2S2=28，

2.在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，a=3，b=26，B=2A.（1）求cosA的值；（2）求c的值.

分析（1）已知a，b的長度和∠B，∠A之間的關(guān)系，可以考慮用正弦定理求解.（2）由余弦定理的推論寫出cosA，得到關(guān)于c的一元二次方程，解出c.

解（1）因?yàn)锽=2A，

所以sinB=2sinAcosA.

由正弦定理asinA=bsinB，

得asinA=b2sinAcosA，

代入數(shù)值，有3sinA=262sinAcosA，

解得cosA=63.

（2）由余弦定理的推論有cosA=b2+c2-a22bc，

代入數(shù)值得 63=24+c2-92×26c，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5.

當(dāng)c=3時(shí)，有a=c，A=C，A+B+C=180°=4C，

所以C=A=45°.

因此△ABC是等腰直角三角形，

而題目中b2=24≠a2+b2=32+32，

所以c=3不符合題意.

可以驗(yàn)證，c=5符合題意.

所以c=5.

評析此題第二小題很容易得出c=3或c=5，而且它們都可以構(gòu)成三角形.

它的另一種解法如下，可避免討論：

因?yàn)閏os2A+sin2A=1，所以sin2A=13，

又A是三角形的內(nèi)角，所以sinA=33，

由B=2A知cosB=1-2sin2A=13，

sinB=2sinAcosA=223.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

=33×13+63×223=539.

再根據(jù)正弦定理asinA=csinC，

得c=asinCsinA=3×53933=5.

三、教學(xué)方向的把握

數(shù)學(xué)教材中，主編寄語其實(shí)講得很清楚.

1.數(shù)學(xué)是有用的

在生活、生產(chǎn)、科學(xué)和技術(shù)中，我們都會(huì)看到數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用.在教學(xué)中，我們也會(huì)經(jīng)常給學(xué)生講，數(shù)學(xué)應(yīng)用很廣，用處很多.但是學(xué)生往往感受不到，因此學(xué)習(xí)的動(dòng)力就不足.特別是在學(xué)習(xí)比較抽象的知識的時(shí)候，有些老師會(huì)告訴學(xué)生，現(xiàn)在先學(xué)著，以后總有用得著的時(shí)候.這樣即便是學(xué)生學(xué)了，也是在老師的要求下學(xué)的，沒能體會(huì)到學(xué)習(xí)是自身的一種需要.因此，這就要求我們老師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，從日常生活中的實(shí)例入手引出問題，組織學(xué)生進(jìn)行分析探究，歸納總結(jié)，對知識的認(rèn)識由感性層面上升到理性層面，再運(yùn)用所學(xué)的知識去解決實(shí)際問題（這個(gè)環(huán)節(jié)很重要），讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的用處.不要總想著“這種題目高考必考，多講一些；那種題目高考不考，就不用講了”.深思一下，難道我們的教育教學(xué)就是幫助學(xué)生如何應(yīng)對高考嗎？那高考之后呢？

2.數(shù)學(xué)能提高能力

每一門學(xué)科，都有它各自獨(dú)特的一面.“讀史使人明智，讀詩使人靈秀，演算使人精密，哲理使人深刻，倫理學(xué)使人莊重，邏輯修辭使人善辯”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主要是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法，提高自己的思維能力，為以后能夠更好地發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).