淺析廣東卷和全國卷Ⅰ解析幾何的命題特點(diǎn)

陳俊瑜

2016年廣東高考數(shù)學(xué)將使用全國統(tǒng)一命題的試卷，結(jié)束了10年自主命題.面對(duì)高考的新變化，備考教師應(yīng) “抓同重異”——抓住兩卷的相同點(diǎn)，重視兩卷的差異點(diǎn)，“強(qiáng)增略減”——強(qiáng)化訓(xùn)練全國卷Ⅰ所增加的內(nèi)容，簡略全國卷Ⅰ未出現(xiàn)的考點(diǎn).

一、近三年全國卷與廣東卷解析幾何試題考點(diǎn)分析

1.廣東卷“解析幾何”板塊的試題特點(diǎn)

從表1可以看出，廣東卷解析幾何試題有如下特點(diǎn)：

（1） 題量穩(wěn)定：題量為2道或3道.

（2） 題型穩(wěn)定：題型為1或2道選擇題和1道解答題，選擇題主要考查橢圓或雙曲線的方程與基本結(jié)合性質(zhì)，兩條直線平行的判定，圓的切線方程，直線與圓的位置關(guān)系；解答題主要考查求軌跡方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、弦長公式、函數(shù)的最值、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題等.

（3） 分值穩(wěn)定：分值為24或19分，選擇題5分或10分，解答題14分.

（4） 難度穩(wěn)定：選擇題難度中等偏易，解答題文理一般是同一道題，難度偏難，但解答題有3個(gè)小問，其難度梯度設(shè)置合理，區(qū)分度較好.

2.全國卷“解析幾何”板塊的試題特點(diǎn)

從表2可以看出，全國卷Ⅰ解析幾何試題有如下特點(diǎn)：

（1） 題量穩(wěn)定：題量為3道，約占全卷題量的

12.5%.

（2） 題型穩(wěn)定：

題型為2道客觀題和1道解答題，選擇題主要考查圓錐曲線的方程與基本性質(zhì)結(jié)合，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；解答題主要考查拋物線的切線，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，弦長公式，函數(shù)的最值，曲線方程的求法，圓的方程與幾何性質(zhì)等.

（3） 分值穩(wěn)定：

分值為22分，客觀題10分，解答題12分，約占14.7%.

（4） 難度穩(wěn)定：

客觀題難度中等；解答題難度中等偏難，相對(duì)廣東卷難度下降.

二、典型例題剖析

通過以上分析不難看出，廣東卷與全國卷Ⅰ的“解析幾何”板塊在高考六大板塊中的分值比重幾乎是前兩位.全國卷分值穩(wěn)定在22分，廣東卷分值為24或19分.廣東卷的解答題比全國卷難，具有較好的區(qū)分度，但全國卷的客觀題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高.

下面舉例說明近三年“解析幾何”，兩種試題對(duì)學(xué)生考查要求.

1. 客觀題剖析

例1（2014年廣東理科4）若實(shí)數(shù)k滿足0

y29-k=1與曲線x225-k-y29=1

的（ ）.

A.離心率相等 B.虛半軸長相等 C.實(shí)半軸長相等 D.焦距相等

例2（2015年全國卷Ⅰ理科5）：已知M（x0，y0）是雙曲線C：x22-y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1·MF2<0，則y0的取值范圍是（ ）.

A.（-33，33） B.（-36 ，36）

C.（-223，223）D.（-233，233）

評(píng)析例1和例2同樣都是中檔題的難度，考查的都是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，廣東卷簡單很多，嚴(yán)格按照雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2可以直接寫出答案；全國卷Ⅰ還結(jié)合向量數(shù)量積坐標(biāo)表示，一元二次不等式解法一起考查，計(jì)算量大.

例3（全國卷Ⅰ文科16）.已知F是雙曲線C：x2-y28=1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， A（0，66），

當(dāng)△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為 .

評(píng)析例3以填空題形式作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大，得分率較低，考查雙曲線的定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系、最值問題，體現(xiàn)了一定的綜合性，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理能力要求較高.而廣東卷客觀題“解析幾何”作為壓軸題沒有出現(xiàn)過.

2. 主觀題剖析

例4（2015年廣東文理20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求圓C1的圓心坐標(biāo)；

（2）求線段AB 的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù) k，使得直線L：y=k（x-4）與曲線 C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

第（1）問通過將圓C1的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論，屬于送分小題；

第（2）問常規(guī)解法是設(shè)直線l的方程為y=kx，通過聯(lián)立直線l與圓C1的方程，利用方程的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論.

第（3）問通過聯(lián)立直線L與圓C1的方程，利用判別式△=0及軌跡C的端點(diǎn)與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論.當(dāng)然也可以通過數(shù)形結(jié)合的方法求出.

評(píng)析該題來源于人教版選修2-1第37頁A組第4題：過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.該題設(shè)有三小問，難度逐漸加大.該題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

例5（2015年全國卷Ⅰ文科20）已知過點(diǎn)A（1，0）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N兩點(diǎn).

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）OM·ON=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

評(píng)析該題考查直線與圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、數(shù)量積、距離公式；相對(duì)廣東卷難度小，屬于常見的題型，相對(duì)中等生只要平時(shí)注重訓(xùn)練，拿滿分不難.

例4與例5是廣東卷與全國卷Ⅰ解析幾何解答題的縮影，解析幾何部分都是直線與圓，直線與圓錐曲線的相關(guān)問題，主要考查了（1）求直線與曲線相交弦中點(diǎn)問題；（2）主要知識(shí)點(diǎn)：求根公式，判別式，韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線距離公式，向量數(shù)量積，弦長公式等；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）計(jì)算量都較大，強(qiáng)調(diào)方法的選擇.廣東卷一般分三小問，起步容易，但計(jì)算量大，經(jīng)?？疾糠智€，要求考生注重細(xì)節(jié)，得高分難；全國卷Ⅰ考的題型比較常見，考查基本知識(shí).廣東卷與全國卷Ⅰ都要求學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練要注重方法技巧的積累，有一定解題技能、小技巧的考生可以節(jié)約時(shí)間，減少計(jì)算量.

三、2016年廣東高考“解析幾何”（除選做題外）板塊的備考建議

針對(duì)全國卷Ⅰ和廣東卷在“解析幾何”（除選做題外）知識(shí)點(diǎn)的異同，為了使廣東考生更從容面對(duì)2016年全國卷Ⅰ的高考數(shù)學(xué)，建議按以下幾點(diǎn)復(fù)習(xí)備考：

1.認(rèn)真研究《考試大綱》.《考試大綱》是高考命題的重要依據(jù)，作為教師必須研讀《考試大綱》，了解大綱的變化，必須把考試大綱中涉及的考點(diǎn)認(rèn)真復(fù)習(xí)，不留盲點(diǎn).

2.回歸教材抓基礎(chǔ)，重視基本概念.很多高考題來自教材的例題、習(xí)題，高于教材，特別是選做填空題，很多是教材上例題習(xí)題的改編題.在解析幾何知識(shí)的復(fù)習(xí)過程中，要以課本知識(shí)為主，針對(duì)課本上的例題、知識(shí)要加以概括、提高和延伸.在復(fù)習(xí)的過程中，要充分挖掘教材實(shí)例、習(xí)題的功能，一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能的形成與運(yùn)用.

3.加強(qiáng)計(jì)算能力訓(xùn)練，強(qiáng)化思維過程.解析幾何部分對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高，學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練的時(shí)候要多訓(xùn)練，總結(jié)解題技巧.對(duì)一些基本方法要熟悉，如用定義法、直接法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等常用方法求軌跡方程.熟悉用韋達(dá)定理、判別式來研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，掌握參數(shù)方程、基本不等式求最值，以及數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想的總結(jié).

四、總結(jié)

無論是考全國卷Ⅰ還是廣東卷，解析幾何這部分是考試的重點(diǎn)，全國卷客觀題的難度比廣東卷大，計(jì)算量多，所以在平時(shí)復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)小題練習(xí)；解答題經(jīng)常作為壓軸題考，考生要訓(xùn)練不同題型的解答，提升解題能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作答習(xí)慣，爭取多得分.

（收稿日期：2016-01-12）