摸球到底“摸”出了什么

蔡福山

一直以來，“統(tǒng)計與概率”的教學(xué)爭議不斷，筆者認為，最為根本的原因在于教師本體性知識的缺失，而導(dǎo)致對所教內(nèi)容的知識本質(zhì)把握不當(dāng)，因而導(dǎo)致爭議的發(fā)生。

某教師在教學(xué)北師大版五上“誰先走”時，設(shè)計了一個數(shù)學(xué)活動：學(xué)生從“3黃3白”的箱子里任意摸一個球（球除顏色外，其他完全相同），摸完放回搖勻后再摸，讓學(xué)生猜摸出的球可能是什么顏色的。學(xué)生回答：“可能摸到白球，也可能摸到黃球?！睘榱俗C明結(jié)論，教師請學(xué)生動手摸球，結(jié)果一連六位學(xué)生摸出白球。教師實在沒信心摸下去了，只好無奈地說：“連續(xù)摸了6個白球，這太不正常了！這組數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，不算，我們重新來過！”教學(xué)再次返回摸球環(huán)節(jié)，只見熱鬧，不見實效。

“統(tǒng)計與概率”之所以難學(xué)難教，是因為該領(lǐng)域的一些問題無法用生活經(jīng)驗或已有的知識經(jīng)驗來解釋。如果我們?nèi)鄙傧嚓P(guān)的知識儲備，缺乏對相關(guān)知識的深刻理解，便不能從源頭上解決問題。回歸學(xué)科本真，追問教學(xué)本質(zhì)，用理性視角去追尋“統(tǒng)計與概率”基本教學(xué)邏輯，是勝任當(dāng)今“統(tǒng)計與概率”教學(xué)的應(yīng)有姿態(tài)。

追問一：摸球到底摸出了什么？

上述案例中，教師設(shè)計摸球活動的主旨何在？難道僅僅只是為了驗證“既能摸出白球，又能摸出黃球嗎”？通過摸球活動要傳遞什么樣的信息給學(xué)生？

現(xiàn)行“統(tǒng)計與概率”與傳統(tǒng)大綱中的“統(tǒng)計初步”在立意上有著根本變化。史寧中教授指出：“統(tǒng)計教育價值的核心在于逐步養(yǎng)成尊重事實、通過數(shù)據(jù)來分析問題的習(xí)慣，培養(yǎng)理解和把握隨機現(xiàn)象的能力?！笔方淌趶臄?shù)學(xué)的角度指出“統(tǒng)計與概率”的學(xué)習(xí)意義。概率學(xué)家陳希孺也曾說過：“習(xí)慣于從統(tǒng)計規(guī)律看問題的人，在思想上不拘執(zhí)一端，他既認識到事物從總的方面看有一定的規(guī)律，也承認例外?！标愊壬鷱恼軐W(xué)的角度指出“統(tǒng)計與概率”的學(xué)習(xí)意義。

可以看出，“統(tǒng)計與概率”教學(xué)的主要價值在于培養(yǎng)學(xué)生從不確定的角度來觀察世界，不能只是將它當(dāng)成一個僵硬的知識點來傳授，也不能只是當(dāng)成一種技能來習(xí)得，它更多的是一種觀念的浸潤與思想的熏陶，感受隨機思想，體驗不確定思維，進而認識數(shù)學(xué)世界的美妙與神奇。

許多教師習(xí)慣用確定性思維去思考問題，善于駕馭以確定性為特征的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而忽視對以模糊性為特征的數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)注，反映在對“統(tǒng)計與概率”的理解上，就是忽視數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們的思維方式產(chǎn)生了巨大的變化，數(shù)據(jù)與人的關(guān)系變得密不可分，數(shù)據(jù)分析觀念已經(jīng)成為每個公民不可或缺的基本素養(yǎng)。

怎么理解數(shù)據(jù)分析觀念？數(shù)據(jù)分析觀念可以分解成三個詞來理解，從后往前看，一是觀念。觀念與意識經(jīng)常不分家，數(shù)據(jù)觀念也就是數(shù)據(jù)意識。強調(diào)要有數(shù)據(jù)意識，要用數(shù)據(jù)說話，知道數(shù)據(jù)是富含信息的，數(shù)據(jù)是有用的，數(shù)據(jù)可以為人服務(wù)的。二是分析。數(shù)據(jù)可以用來做什么？分析，如何分析？分析時要認識到什么？《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。分析數(shù)據(jù)時要引導(dǎo)學(xué)生體會隨機性，從而對數(shù)據(jù)產(chǎn)生一個正確的認識，不能唯眼前的數(shù)據(jù)是從，還要學(xué)會透過數(shù)據(jù)看規(guī)律，讓數(shù)據(jù)“會說話”。三是數(shù)據(jù)。要用數(shù)據(jù)說話，要分析數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)怎么來？不能憑空捏造。數(shù)據(jù)需要收集，需要整理，需要用一定的方式表示。因而要讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、表示的過程中去學(xué)習(xí)。

上述案例中，由于受確定性思維的影響，師生在活動中經(jīng)常會出現(xiàn)一種強烈的心理期待。比如，從“3白3黃”袋子里摸球，連續(xù)5次摸到白球后，絕大部分學(xué)生認為接下去一定摸到黃球。其實，學(xué)生“摸”的不應(yīng)僅僅是球，伴隨摸球的應(yīng)該是一種思維的感悟，即不確定的思維方式和辯證思維的感悟，應(yīng)該是一種觀念的體驗，亦即數(shù)據(jù)分析觀念和隨機觀念的體驗。這才是“摸球活動”的核心。

追問二：摸球之中隱含著什么？

上述案例中，“摸球問題”是一個古典概率模型，古典概率模型具有下面特征：實驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，就如有6個球，每次摸球必然要摸到這6個球中的一個，結(jié)果是有限個的；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，上述案例中，球除顏色外，其他特征完全相同，摸完放回搖勻后再摸，這樣，保證是在袋子里隨機摸球，摸到每個球的可能性相等，都是1/6。古典概率是這樣定義的：如果用N表示所有可能結(jié)果的個數(shù)，用M表示事件A發(fā)生的可能結(jié)果的個數(shù)，那么定義事件A發(fā)生的概率為P（A）=M/N。

連續(xù)6次摸到白球，這是一個小概率事件，可能性為6個1/2相乘的積，即等于1/64（約等于0？郾016）。小概率事件也是完全可能發(fā)生的。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生克服在概率上的認知錯覺。學(xué)生容易產(chǎn)生誤解，即認為樣本的抽樣，必須能反應(yīng)總體的分配情形，如此才符合隨機化的過程。很多學(xué)生包括一些教師，都認為：“白白黃白黃黃”的順序比“白白白白白黃”更易出現(xiàn)，因為這樣才能顯示白球與黃球摸出的次數(shù)各占一半。

既然摸出黃球的概率為1/2，為什么連摸了6次卻都只是白球？這正體現(xiàn)了摸球這種隨機事件的隨機性。理論上講，摸出黃球或白球的概率都是1/2，而實際動手摸，并非表現(xiàn)為“每次必需如此”，理論概率與實驗概率永遠存在差異。理論概率指理想化的概率，可通過計算得出的理論值，如古典概率。實驗概率指即時性的頻率值，即所求事件發(fā)生的次數(shù)與實驗總次數(shù)的比，用頻率值來估計概率。如拋硬幣，正面朝上的理論值是1/2，實際拋100次，很難剛好50次正面朝上，假如是43次，那么它實際發(fā)生的概率就是0？郾43。只有在大數(shù)定律的支持下，實驗概率才趨向理論概率。

什么是大數(shù)定律？簡單地說，大數(shù)定律就是：實驗次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率（出現(xiàn)的次數(shù)/總次數(shù)）接近于該事件發(fā)生的概率。通俗的表達是：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。“足夠的數(shù)據(jù)”中的“足夠”，應(yīng)該到什么程度？要多到足以讓規(guī)律顯現(xiàn)出來。如擲色子，質(zhì)地均勻的色子，每個點數(shù)朝上的可能性都相等，都是1/6，這是理論上的概率。實際動手拋會怎么樣呢？要拋多少次才能看到這個規(guī)律呢？對此，筆者也曾做過相關(guān)試驗：拋到500次、1000次時還看不出規(guī)律，要拋到1300次以后，規(guī)律才呈現(xiàn)出來，拋到1700次以后，點數(shù)“1”朝上的頻率值才會穩(wěn)定在1/6上下，500次在大數(shù)定律中還是個小數(shù)。上述案例中，摸球活動只做了6次，僅憑6次就要“發(fā)現(xiàn)”其中的規(guī)律顯然遠遠不夠。所以，在課堂上教師需經(jīng)常組織學(xué)生經(jīng)歷“小組試驗—全班匯總—分析數(shù)據(jù)—得出結(jié)論”的過程，目的在于讓全班的匯總數(shù)據(jù)盡量大，以期達到“足夠”的程度。有時候還可以在學(xué)生完成一定次數(shù)的實驗后，借助計算機模擬繼續(xù)實驗，在較短的時間內(nèi)收集到足夠的數(shù)據(jù)。

追問三：摸球活動要做到什么？

類似這種與我們的心理期望不一致的小概率事件，有時會出現(xiàn)在我們的課堂上，此時應(yīng)怎么引導(dǎo)呢？

首先，要正確認識學(xué)生的“前理解”。研究表明，處在具體思維階段的學(xué)生，已能理解事件的必然性和可能性，但他們?nèi)狈ο到y(tǒng)的思維，沒有足夠能力從概率實驗中抽象出概率的數(shù)學(xué)模式。同時，統(tǒng)計與概率研究的對象、方法、結(jié)果在某種程度上都具有一定的不確定性，學(xué)生一時適應(yīng)不了，有時還會產(chǎn)生迷惑不解和理解上的偏差。再者，在正式學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”前，學(xué)生也不是一張白紙，他們在生活中也遇到過隨機事件，積累了一些關(guān)于概率的體驗和想法。大量教學(xué)實踐也表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)概率的各個階段都會存在一定的認知偏差，這種認知偏差經(jīng)常以一種直覺的方式悄無聲息地影響著學(xué)生的概率認知。小概率事件，更是學(xué)生認識與理解的難點，即使經(jīng)過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這種影響仍然存在。

其次，要抓住難得的機遇。小概率事件是一個寶貴的契機，是一個很好的體驗數(shù)據(jù)分析觀念的機會，也是一個幫助學(xué)生克服主觀概率帶來偏差的機會，克服關(guān)于概率的錯誤直覺的機會。教師可以采用追問的策略：“一直摸下去，會是怎樣的情況？”“假如再做一次實驗，還一定會是這樣嗎？”也可以采用實踐的策略，當(dāng)場摸球，或課后繼續(xù)摸球。教師應(yīng)讓學(xué)生明白，只要盒子里有黃球，不停地摸下去，是一定能摸到黃球的，任何一次摸球，要么摸到白球，要么摸到黃球，感悟事件發(fā)生的必然性，感悟?qū)嶒灥呐既恍裕ㄒ苍S實驗2次，摸到黃球的可能性正好是1/2，也可能是0或1）。還有，前一次摸球的結(jié)果并不會對后一次產(chǎn)生影響，摸球的結(jié)果和人的心理期望沒有任何關(guān)系，因此不管前幾次摸球的結(jié)果如何，不會影響下一次摸球的結(jié)果，在下一次摸球前，依舊無法準(zhǔn)確判斷摸出的結(jié)果，感悟每一次實驗的獨立性等。因此，摸球活動中要做到由操作到思考、由量變到質(zhì)變的感悟。

教師有了足夠的知識儲備，才能游刃有余地在兒童的經(jīng)驗世界和學(xué)科的理性世界之間自由穿梭，“統(tǒng)計與概率”才能真正成為“兒童的數(shù)學(xué)”。當(dāng)然，除了回歸教學(xué)技術(shù)層面，重視研究怎么教的問題，還要加大對教育價值的追問，進行立體透視、整體思考。因為任何技術(shù)層面的問題最終都應(yīng)回歸思想層面才能真正得以解決，你的教育思想，你對數(shù)學(xué)的認識和理解，你對數(shù)學(xué)教學(xué)的認識和理解等，才能真正決定你今后專業(yè)發(fā)展的高度、寬度和廣度！

（責(zé)任編輯：王彬）