從一道錯(cuò)題看章節(jié)起始課對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的影響

☉廣東省中山市華僑中學(xué)　陳春濤

從一道錯(cuò)題看章節(jié)起始課對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的影響

☉廣東省中山市華僑中學(xué)陳春濤

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程.它主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果［1］.它是在“運(yùn)算能力”基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展.教育部考試中心（1999）指出：運(yùn)算能力包括理解運(yùn)算，會(huì)根據(jù)法則、公式和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，運(yùn)算熟練、準(zhǔn)確、迅速［2］.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)應(yīng)該是運(yùn)用運(yùn)算能力解決問(wèn)題的思維過(guò)程.它是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是開展其他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

下面以一道題目的常見錯(cuò)誤為例，談一談?wù)鹿?jié)起始課教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的影響.

一、題目與解答

二、錯(cuò)誤解答展示

（X）第⑧步：不考慮字母a的取值情況，取到了+2或±3這些數(shù)，導(dǎo)致原式無(wú)意義.

除此以外，還有少部分學(xué)生未能理解運(yùn)算，未化簡(jiǎn)分式，直接將后面的a值代入計(jì)算.這類錯(cuò)誤暫未列入研究.

三、錯(cuò)因思考

綜合分析會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有五大類錯(cuò)誤.（1）符號(hào)不清.如第V、VII、VIII類錯(cuò)誤.（2）算理不明.如第II、III類錯(cuò)誤.（3）概念不透.如第IX類錯(cuò)誤.（4）技巧不熟.如第I、VI類錯(cuò)誤.（5）綜合不夠.如第IV、X類錯(cuò)誤.這五類錯(cuò)誤就像五個(gè)關(guān)口一樣，制約著學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的形成.而且，五類錯(cuò)誤分別對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)培養(yǎng)的六大方面：理解運(yùn)算對(duì)象（符號(hào)關(guān)、概念關(guān)）、掌握運(yùn)算法則（算理關(guān)）、探究運(yùn)算方向（綜合關(guān)）、選擇運(yùn)算方法（技巧關(guān)）、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序（綜合關(guān)）、求得運(yùn)算結(jié)果，只有“過(guò)好五關(guān)”、斬得“六將（數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)六大方面）”，才可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)得到有效培養(yǎng).

這些錯(cuò)誤絕非一朝一夕可以形成的，它與每節(jié)課四基目標(biāo)落實(shí)不夠有關(guān)系，特別是與對(duì)每章節(jié)的第一節(jié)課（以下簡(jiǎn)稱起始課）的學(xué)習(xí)不夠扎實(shí)有關(guān)系.

四、追根溯源

1.過(guò)好符號(hào)關(guān)：以有理數(shù)、整式的加減章節(jié)起始課為例

有理數(shù)一節(jié)的起始課中有這樣一段歸納“如果一個(gè)問(wèn)題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示它們”.這句話明確地告訴我們：初中的數(shù)（運(yùn)算對(duì)象）由兩部分構(gòu)成，即符號(hào)和“數(shù)值（即絕對(duì)值）”，小學(xué)時(shí)的所有運(yùn)算只是“數(shù)值”的運(yùn)算，初中則必須先考慮符號(hào).后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容也體現(xiàn)了這一點(diǎn)：有理數(shù)的分類可從符號(hào)與絕對(duì)值兩個(gè)角度分類；數(shù)軸要確定原點(diǎn)，分出左負(fù)右正；加減計(jì)算時(shí)注意符號(hào)不同的數(shù)可以互相抵消一部分（或全部）；乘除運(yùn)算先確定符號(hào)“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”；乘方只有符號(hào)法則；加減混合算式要看作代數(shù)和形式……可以說(shuō)，整個(gè)有理數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是不斷強(qiáng)化這一認(rèn)識(shí)的過(guò)程.

在整式加減這一章，“符號(hào)與它后面的數(shù)字是一個(gè)整體”這一認(rèn)識(shí)得到了更進(jìn)一步的加強(qiáng).在起始課中有這樣一句話“字母和數(shù)一樣可以參與計(jì)算”，單項(xiàng)式的概念中，系數(shù)都是包含前面的符號(hào)的，多項(xiàng)式中有關(guān)“項(xiàng)”的概念也特別舉例說(shuō)明“v-2.5中常數(shù)項(xiàng)是-2.5”.總之，兩個(gè)章節(jié)的起始課在講述相關(guān)概念時(shí)，最核心的認(rèn)識(shí)都是“理解運(yùn)算對(duì)象”，讓學(xué)生理解“符號(hào)與它后面的數(shù)字（或式子）是一個(gè)整體”，只有深刻認(rèn)識(shí)這個(gè)特點(diǎn)，在計(jì)算中牢記“先確定符號(hào)、后確定絕對(duì)值”，才會(huì)避免符號(hào)出錯(cuò).

例如：化簡(jiǎn)-2（a-2）這個(gè)式子，有兩種不同的理解：

-2（a-2）=-2·a-2×（-2）=-2a+4；…①

-2（a-2）=-2·a-（-2）×2=-2a-（-4）.…②

第①種變形理解為-2與-2的乘積，將括號(hào)中的-2理解為“負(fù)2”，運(yùn)算時(shí)符號(hào)很清晰，可以直接判斷積的符號(hào).而第②種運(yùn)算則將括號(hào)中的-2理解為“減2”，運(yùn)算中增添了新的符號(hào)，整個(gè)計(jì)算顯得更復(fù)雜.

2.過(guò)好概念關(guān)：以實(shí)數(shù)章節(jié)起始課為例

初中學(xué)段的起始課，絕大部分是概念課，在學(xué)生的試卷中，常常發(fā)現(xiàn)因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的理解不夠深入而引起的“弱智”錯(cuò)誤，這也從側(cè)面反映了章節(jié)起始課的教學(xué)缺位.

概念類起始課的任務(wù)有三：經(jīng)歷本章知識(shí)的生成與建構(gòu)過(guò)程，整體把握知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)；了解一些自然生成的數(shù)學(xué)對(duì)象和基本概念；感受概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用［3］.

對(duì)于算術(shù)平方根這一節(jié)課而言，除了學(xué)習(xí)算術(shù)平方根這一概念，還要對(duì)平方根概念的掌握起到“先行組織者”的作用.本內(nèi)容的難點(diǎn)是什么呢？一是對(duì)根號(hào)的理解.根號(hào)只是一種運(yùn)算符號(hào)，學(xué)生卻常理解為它是平方根（或算術(shù)平方根）.二是對(duì)符號(hào)的確定.學(xué)生常犯這樣的錯(cuò)誤：或者“16的平方根是4”.這些錯(cuò)誤也是因?yàn)閷W(xué)生正確“理解運(yùn)算對(duì)象”時(shí)，沒能養(yǎng)成先確定符號(hào)（偶次方根看根號(hào)前面的符號(hào)）、后確定絕對(duì)值（乘方的逆運(yùn)算）的習(xí)慣.

為了減少這些錯(cuò)誤，教材在編排這一內(nèi)容時(shí)，頗具心思地分成兩步走，首先介紹算術(shù)平方根，主要解決“確定絕對(duì)值”的問(wèn)題；再介紹平方根，解決“確定符號(hào)”的問(wèn)題.可惜的是，課本在編排算術(shù)平方根這一內(nèi)容的過(guò)程中，只編寫了“求的值”，卻缺少“求的值”這種類型的題目，即重視了求絕對(duì)值，忽略了符號(hào).教師在教學(xué)平方根的起始課時(shí)，如果能先讓學(xué)生分辨清“的含義，明確它們的符號(hào)屬性，再學(xué)習(xí)平方根的內(nèi)容時(shí)，出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤的機(jī)率應(yīng)當(dāng)會(huì)更小一些.前面例題中學(xué)生將“a為3與它的算術(shù)平方根之差”理解為，正是沒能分清平方根與算術(shù)平方根兩個(gè)概念的符號(hào)屬性.

除此以外，分式的章節(jié)起始課中注意分母不為零，二次根式的起始課中注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，這些概念中的關(guān)鍵點(diǎn)只有在章節(jié)起始課中得到很好的掌握，后面的學(xué)習(xí)才能少出錯(cuò).

3.過(guò)好算理關(guān)：以有理數(shù)起始課和整式的加減為例

準(zhǔn)確計(jì)算的基礎(chǔ)是算理要明確.在實(shí)際教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生邊做題邊念念有詞地背誦法則，結(jié)果求出來(lái)的結(jié)果還是錯(cuò)的.主要問(wèn)題就是沒有真正明白算理.

以有理數(shù)的加法為例，異號(hào)兩數(shù)的加法是學(xué)生很容易出錯(cuò)的，如果按照加法法則，計(jì)算-7+5時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)歷以下的思維過(guò)程：判斷同號(hào)還是異號(hào)→算出兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值→判斷絕對(duì)值的大小→取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)→轉(zhuǎn)化為較大減較小的減法形式→注意括號(hào)書寫→計(jì)算結(jié)果.我們認(rèn)為很簡(jiǎn)單的一個(gè)加減計(jì)算，如果死扣住法則來(lái)開展計(jì)算，居然需要七個(gè)環(huán)節(jié)全部正確，才能得到正確答案.

如果結(jié)合有理數(shù)的起始課，理解正負(fù)數(shù)是具有相反意義的量，可以互相抵銷，應(yīng)用“抵消”的觀點(diǎn)，可以比較容易地理解算理：判斷-7與+5異號(hào)可以抵銷→抵銷+5→計(jì)算剩下沒有抵銷的部分→得出結(jié)果.這種方法很明顯所需環(huán)節(jié)要少一些，學(xué)生更容易理解.

而整式加減運(yùn)算主要有兩個(gè)步驟，分別是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)，去括號(hào)的實(shí)質(zhì)是分配律，合并同類項(xiàng)的實(shí)質(zhì)則是分配律的逆運(yùn)算，兩者的算理都是分配律.明白了算理，對(duì)于下列計(jì)算：都可以用相同的方法去解決.對(duì)于多項(xiàng)式的乘法及乘法公式，其算理實(shí)質(zhì)上也可以還原為分配律.算理明白，公式忘記了也可以自己推導(dǎo)，而算理不明，即使運(yùn)算準(zhǔn)確也是知其然而不知其所以然.

4.過(guò)好技巧關(guān)：以整式乘除與因式分解起始課為例

數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用哪些技巧可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化？運(yùn)用運(yùn)算律、整體思想、逆用公式等思考方法都能達(dá)到這一目的.而這些卻是要滲透在每一節(jié)課堂中的.下面以整式乘除與因式分解為例.

《整式乘除與因式分解》一章分為四大部分：冪的運(yùn)算、整式乘法、乘法公式、因式分解.其中因式分解是整個(gè)初中代數(shù)的“拐點(diǎn)”，凡初三代數(shù)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，大部分都是因式分解沒有學(xué)好，高中生運(yùn)算不過(guò)關(guān)，許多也與此有關(guān)系.

那么因式分解應(yīng)該怎樣學(xué)習(xí)才比較容易深化為一種技能呢？因式分解實(shí)質(zhì)上就是整式乘法的逆運(yùn)算，公式學(xué)習(xí)往往是“正運(yùn)算”比“逆運(yùn)算”容易，因此，在學(xué)習(xí)前面的冪的運(yùn)算、整式乘法、乘法公式時(shí)，如果時(shí)時(shí)注意挖掘公式的逆用，是可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解的難度的.

例如章起始課“同底數(shù)冪的乘法”，先要從算理上讓學(xué)生理解公式的實(shí)質(zhì)是乘方的意義與乘法交換律、結(jié)合律的綜合應(yīng)用，這是本課的重點(diǎn).接下來(lái)的練習(xí)中可以設(shè)置如下的拓展題目：

（1）運(yùn)用整體思想計(jì)算（a-1）2·（1-a）3；

（2）已知am=3，an=2，則am+n=_______，a2m+n=_______.

解決第（1）小題的關(guān)鍵是將（a-1）看作一個(gè)整體，并將（1-a）轉(zhuǎn)化為-（a-1），后續(xù)知識(shí)中許多運(yùn)算也需要這項(xiàng)技能.

例如：提公因式x（x-y）2-xy（y-x）3=________；化簡(jiǎn)

這兩道小題的解決都有賴于“將多項(xiàng)式按降冪排列的習(xí)慣”，也得益于整體思想，前面引例中的第VI種錯(cuò)誤正是明證.

第（2）小題則是公式的逆用，特別是a2m+n=am·am·an這一變化更是將乘法運(yùn)算都回歸到了加法，這也正是對(duì)數(shù)學(xué)“基本思想”的體現(xiàn).

以上兩個(gè)小題將“整體思想、逆用公式”等方法都涉及了，如果在本章前三個(gè)小節(jié)的學(xué)習(xí)中每節(jié)課都有適當(dāng)涉及，相信對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)會(huì)起到正遷移的效果.

如在冪的運(yùn)算教學(xué)中用好這些題目：比較3100與560的大??；計(jì)算根據(jù)10x=mn，10y=m，求103x-2y的值.

這些題目設(shè)計(jì)的用意與起始課中一樣，都是為了讓學(xué)生感知和習(xí)慣“整體思想、公式逆用”的好處，當(dāng)真正學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)每一內(nèi)容都是前面所學(xué)知識(shí)的逆用，就不會(huì)覺得很困難.同時(shí)，這也是對(duì)運(yùn)算技巧的最好訓(xùn)練！而這一切，卻都要在起始課中就讓學(xué)生能體會(huì)到！

5.過(guò)好綜合關(guān)：以各章章引言的教學(xué)為例

一道計(jì)算題，它所考查的往往是許多知識(shí)的綜合應(yīng)用，例如前面引例中，要想正確化簡(jiǎn)，需要養(yǎng)成三個(gè)習(xí)慣：（1）分子分母及時(shí)因式分解；（2）多項(xiàng)式按降冪排列，最高次項(xiàng)化為正；（3）將整式部分看作一個(gè)整體.除此外，給出的兩個(gè)已知條件，也非常容易出錯(cuò).解決這樣綜合性很強(qiáng)的題目，需要學(xué)生對(duì)這一模塊的知識(shí)融會(huì)貫通，也就是說(shuō)正確計(jì)算，除了以上的基礎(chǔ)四關(guān)外，還要過(guò)好綜合關(guān).

數(shù)學(xué)教材每章節(jié)最前面一頁(yè)都是本章章引言，它也是章節(jié)起始課的重要組成部分，章引言一般由三部分內(nèi)容構(gòu)成：本章知識(shí)的引例、本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容、本章知識(shí)與前后知識(shí)的聯(lián)系.數(shù)與式這個(gè)模塊共有六個(gè)章節(jié)，其中有三章的章引言中提到了“類比……”，有兩章的章引言提到“為后續(xù)……的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)”.可以說(shuō)，章引言是對(duì)前面知識(shí)的回顧，對(duì)本章知識(shí)的脈絡(luò)梳理，和對(duì)后續(xù)知識(shí)的展望，是知識(shí)融會(huì)貫通的重要載體.所以，在起始課的教學(xué)中，利用章引言，回顧知識(shí)、梳理脈絡(luò)、加強(qiáng)知識(shí)的綜合是非常重要的.

數(shù)與式這一模塊的章引言我們可以這樣利用：利用有理數(shù)一節(jié)的章引言中，回顧小學(xué)的負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，認(rèn)清有理數(shù)的“符號(hào)+絕對(duì)值”的結(jié)構(gòu)；利用實(shí)數(shù)一節(jié)類比有理數(shù)，強(qiáng)化對(duì)“符號(hào)+絕對(duì)值”的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，回顧有理數(shù)運(yùn)算先確實(shí)符號(hào)，后確定絕對(duì)值的習(xí)慣；利用整式加減一節(jié)回顧小學(xué)所學(xué)的字母表示數(shù)的知識(shí)，認(rèn)清字母由數(shù)字部分和字母部分的結(jié)構(gòu)，將符號(hào)與數(shù)學(xué)部分捆綁認(rèn)識(shí)；在整式乘除與因式分解一節(jié)回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算與整式加減運(yùn)算的算理；在分式一節(jié)中回顧代數(shù)式的概念與分類，回顧分?jǐn)?shù)分母不為零的認(rèn)識(shí).

二次根式一節(jié)是數(shù)與式模塊的最后一部分，它的章引言是這樣寫的：“……我們學(xué)過(guò)整式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算.如何進(jìn)行二次根式的運(yùn)算呢？……通過(guò)本章學(xué)習(xí)，可以為后面的勾股定理、一元二次方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)”.也就是說(shuō)在這里我們可以通過(guò)回顧代數(shù)式的概念及分類，將分式分母不為零、負(fù)數(shù)沒有平方根等內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化，可以通過(guò)對(duì)分式運(yùn)算的復(fù)習(xí)對(duì)分式運(yùn)算習(xí)慣進(jìn)行回顧……也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)運(yùn)算中需要的概念、算理、習(xí)慣等都可以在這里作一個(gè)簡(jiǎn)短的小結(jié)，也就是綜合回顧.

有了這樣的認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)五次的強(qiáng)化與回顧，數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)已經(jīng)打得非常扎實(shí)，欠缺的只是技巧的熟練運(yùn)用，只要在后續(xù)教學(xué)中有意識(shí)地安排一些綜合訓(xùn)練，就能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在分式一節(jié)中，前面的原題就是一道進(jìn)行綜合演練的好題，二次根式中也可以用下面的例子來(lái)綜合訓(xùn)練：

本題既有整式中的因式分解，又有分式的化簡(jiǎn)求值，還有二次根式的化簡(jiǎn)，也有對(duì)實(shí)數(shù)運(yùn)算的考查，同時(shí)還對(duì)二次根式的概念作了考查，即要注意a-1<0這一隱含條件，所以.很明顯，這是一道綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的好題.訓(xùn)練與檢測(cè)是不同的，訓(xùn)練是為了加強(qiáng)知識(shí)的融通，而考查則是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評(píng)判，所以訓(xùn)練時(shí)綜合度較高的題目更利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

從前面的例子可以看出，如果各章節(jié)起始課的教學(xué)不能落到實(shí)處，則最終綜合反映出來(lái)的情況就是負(fù)遷移，而且是無(wú)法逆轉(zhuǎn)的負(fù)遷移，因?yàn)闆]有哪個(gè)老師會(huì)有時(shí)間把計(jì)算重新地進(jìn)行梳理和訓(xùn)練.

所以，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要想落實(shí)在課堂，應(yīng)當(dāng)從上好每一節(jié)起始課開始，過(guò)五關(guān)、斬六將，強(qiáng)基礎(chǔ)，練綜合，最終讓運(yùn)算成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最牢固基石！

1.彭翕成.例說(shuō)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2015（5）.

2.教育部考試中心.能力考試的研究與實(shí)踐［M］.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1999.

3.林年生.初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)課例與反思［J］.中小學(xué)教學(xué)研究，2015（5）.Z