習(xí)題課教學(xué)：從“拿來(lái)主義”走向編題變式——以“數(shù)軸再認(rèn)識(shí)”習(xí)題課為例

☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué)　王秀梅

習(xí)題課教學(xué)：從“拿來(lái)主義”走向編題變式——以“數(shù)軸再認(rèn)識(shí)”習(xí)題課為例

☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué)王秀梅

不少數(shù)學(xué)教育學(xué)者（如人民教育出版社中數(shù)室章建躍編審）指出：要重視數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué).而對(duì)于所謂“核心概念”的界定又顯困難，通常需要教師根據(jù)自身對(duì)數(shù)學(xué)的理解、對(duì)學(xué)生的理解、對(duì)教學(xué)的理解來(lái)確定哪些概念是“核心概念”，需要并值得在教學(xué)中增設(shè)課時(shí)進(jìn)行重視和強(qiáng)化.比如，筆者認(rèn)為，學(xué)生剛進(jìn)入初中，數(shù)系剛擴(kuò)充到有理數(shù)，就引出數(shù)軸的概念，基于數(shù)軸定義了相反數(shù)、絕對(duì)值等重要概念，為后續(xù)研究有理數(shù)的運(yùn)算提供了奠基作用，則數(shù)軸可看成是有理數(shù)基礎(chǔ)概念中的核心概念.根據(jù)以上認(rèn)識(shí)，我們?cè)诮滩膬?nèi)容之外，在數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值教學(xué)之后，自主增設(shè)了數(shù)軸習(xí)題課，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)軸再認(rèn)識(shí)，起到了較好的教學(xué)效果.本文整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)教后反思，供研討.

一、數(shù)軸習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：從數(shù)軸出發(fā)

（1）數(shù)軸的概念；簡(jiǎn)要回顧從溫度計(jì)（如圖1）抽象出數(shù)軸（如圖2），安排學(xué)生回顧數(shù)軸的三要素（原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度）.

圖1　

圖2　

（2）數(shù)軸與相反數(shù)的關(guān)系.

在數(shù)軸上，到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，這兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)符號(hào)相反，稱(chēng)它們?yōu)橄喾磾?shù).

（3）數(shù)軸與絕對(duì)值的關(guān)系.

在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對(duì)值.

（4）數(shù)軸與數(shù)的大小比較.

數(shù)學(xué)中規(guī)定，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù).

（5）數(shù)軸與有理數(shù)的運(yùn)算.

比如，即將要學(xué)習(xí)的有理數(shù)加法運(yùn)算中的異號(hào)兩數(shù)相加，本質(zhì)上是將互為相反數(shù)的部分抵消.可舉例示范：-3+2=-1+（-2）+2=-1.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)軸是進(jìn)入初中第一個(gè)數(shù)形結(jié)合的工具，不僅可以把有理數(shù)表示對(duì)應(yīng)到數(shù)軸上，而且是后續(xù)定義相反數(shù)、絕對(duì)值的基礎(chǔ)，又是研究數(shù)的運(yùn)算的一種工具，還是以后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：典例分析

例1如圖3，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b.

圖3　

（1）從圖中讀出a=______，b=______；

（2）在圖中標(biāo)出a的相反數(shù)-a；

（3）點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離是多少？

（4）點(diǎn)A、B之間的距離是多少？

（5）將點(diǎn)B向右移動(dòng)7個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)C，則點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是多少？

【預(yù)設(shè)講評(píng)】

（1）a=2，b=-3；

（2）在-2處標(biāo)出即可，圖略；

（3）3；

（4）5；

（5）點(diǎn)C對(duì)應(yīng)著數(shù)4，則點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2.例2如圖4，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b.

圖4　

（1）從點(diǎn)B所在位置來(lái)看，數(shù)b是一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢？

（2）在數(shù)軸上標(biāo)出表示-b的數(shù)，并用點(diǎn)B′表示；

（3）比較a、b、-a、-b的大小，用“<”連接；

*挑戰(zhàn)*（4）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，試用含a、b的式子表示m.

【預(yù)設(shè)講評(píng)】

（1）b是負(fù)數(shù)；

（2）在原點(diǎn)右側(cè)，與點(diǎn)B等距離的位置標(biāo)出點(diǎn)B′，圖略；

（3）在圖中再標(biāo)出表示-a的點(diǎn)，這樣可以由數(shù)軸上數(shù)的大小關(guān)系，直接寫(xiě)出b<-a

（4）可以從特殊值出發(fā)，比如取a=2，b=-3時(shí)，m=-0.5；a=1，b=-4時(shí)，m=-1.5；a=3，b=-1時(shí)，m=1；…；可歸納出m=

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：變式訓(xùn)練，聽(tīng)課檢測(cè)

變式題：如圖5，點(diǎn)M、N是數(shù)軸上兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著數(shù)m、n.

圖5　

（1）當(dāng)m=-3，n=2.9時(shí)，M、N之間的距離，即MN= _____；

（2）將點(diǎn)N向左移動(dòng)5個(gè)單位后對(duì)應(yīng)著點(diǎn)A，若點(diǎn)A還在M點(diǎn)右邊一個(gè)單位，則MN=________；

*挑戰(zhàn)*（4）若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)著1，當(dāng)MA=NA時(shí)，求4m+4n+ 2008的值.

【預(yù)設(shè)解答】

（1）5.9；

（4）結(jié)合上面例題中所探究的中點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)m+n=2，則4m+4n+2008的值為4×2+2008=2016.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：針對(duì)前面的例題的類(lèi)型進(jìn)行的變式訓(xùn)練，前三問(wèn)屬于簡(jiǎn)單變換字母、數(shù)字，而最后一問(wèn)則是對(duì)上面例題中的最后一問(wèn)的變式拓展，需要學(xué)生有整體求解的策略.這里也可順便鏈接九年級(jí)二次函數(shù)的一類(lèi)習(xí)題，如圖6，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像（拋物線）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M（m，0），一定有（x1+x2）.二次函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，不少學(xué)生不能靈活運(yùn)用該性質(zhì)處理有關(guān)問(wèn)題，如圖7，當(dāng)問(wèn)題變式到直線y=e與拋物線相交于C（x3，e）、D（x4，e），時(shí)，與對(duì)稱(chēng)軸交于N（n，e），仍然有.對(duì)比例2（4）、變式題（4），就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然較難，但是它們都“指向?qū)?lái)”，讓學(xué)生提前熟悉這類(lèi)問(wèn)題或結(jié)構(gòu)是十分有益的.

圖7　

圖6　

二、關(guān)于“習(xí)題課”的相關(guān)思考

1.習(xí)題課的增設(shè)需要專(zhuān)業(yè)自主，是“用教材教”的體現(xiàn)

通常情況下，較為重要的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)教學(xué)之后，都會(huì)安排習(xí)題課，但習(xí)題課的內(nèi)容卻是訂正學(xué)生手頭的所謂教輔資料上的相關(guān)習(xí)題，成為習(xí)題訂正或講評(píng)課.我們所謂的增設(shè)習(xí)題課是指教師在新授課期間主動(dòng)預(yù)設(shè)的一種課型，需要基于專(zhuān)業(yè)自主，組織教學(xué)內(nèi)容，增設(shè)出來(lái)的習(xí)題課.這也是教師從“教教材”走向“用教材教”（鐘啟泉教授語(yǔ)）的一種專(zhuān)業(yè)追求.

2.習(xí)題課的開(kāi)課階段需要梳理回顧，復(fù)習(xí)相關(guān)概念或性質(zhì)

習(xí)題課的開(kāi)課階段需要梳理近階段相關(guān)概念的關(guān)系，如上面數(shù)軸的習(xí)題課開(kāi)課時(shí)，我們把與數(shù)軸相關(guān)的一些概念、性質(zhì)、應(yīng)用都梳理一遍，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、完善知識(shí)體系，讓學(xué)過(guò)的知識(shí)能像葡萄一樣串起來(lái)，即所謂“串珠成線”.比如從數(shù)軸出發(fā)，我們定義了相反數(shù)，基于這個(gè)平臺(tái)又定義了絕對(duì)值，并且可以比較有理數(shù)的大小，還可以利用數(shù)軸研究符號(hào)不同的兩個(gè)有理數(shù)的大小，等等.直到以后引入平面直角坐標(biāo)系時(shí)，從“一維”的數(shù)軸到“二維”的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如果學(xué)生對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)理解得較為深刻，則過(guò)渡到平面直角坐標(biāo)系時(shí)，往往也會(huì)有較好的適應(yīng)性.

3.習(xí)題課的例題選擇忌簡(jiǎn)單拿來(lái)主義，倡導(dǎo)精心編擬，變式拓展

聽(tīng)過(guò)不少習(xí)題課的隨堂課，特別是跟隨校領(lǐng)導(dǎo)“聽(tīng)隨堂課”時(shí)，有些教師的作業(yè)訂正課就是一種習(xí)題課，被聽(tīng)課者往往也自知“今天講練習(xí)冊(cè)，沒(méi)什么好聽(tīng)的”.然而如果習(xí)題課上的例題不是簡(jiǎn)單的拿來(lái)主義，而是經(jīng)過(guò)教師精心預(yù)設(shè)或原創(chuàng)編擬，并經(jīng)過(guò)系列變式拓展，那么習(xí)題課也會(huì)有很精彩的表現(xiàn).在精心編擬習(xí)題課上的例、習(xí)題時(shí)，我們有如下一些建議：首先是習(xí)題的類(lèi)型不能超過(guò)課標(biāo)、教材上的典型問(wèn)題，而是在教材習(xí)題的基礎(chǔ)上適當(dāng)變式；接著可以先由簡(jiǎn)單的改編數(shù)字、字母出發(fā)，再變換設(shè)問(wèn)方式，最后拓展生長(zhǎng)，讓高層次學(xué)生接受挑戰(zhàn).

4.習(xí)題課的“后半段”需要開(kāi)展變式檢測(cè)，反饋聽(tīng)課效果

習(xí)題課的教學(xué)要保證必要的練習(xí)量，除了在例題講評(píng)環(huán)節(jié)注意讓學(xué)生保持思維參與、積極運(yùn)算，一個(gè)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)就是留出10分鐘左右對(duì)前面講評(píng)環(huán)節(jié)中的例題開(kāi)展變式再練.這個(gè)教學(xué)建議得益于《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）上相關(guān)文章中的教學(xué)建議，筆者認(rèn)為，重視聽(tīng)課檢測(cè)是十分重要的，因?yàn)閷W(xué)生“聽(tīng)懂”并不一定“會(huì)做”，特別是中下層次的學(xué)生往往誤認(rèn)為自己聽(tīng)懂就會(huì)了，其實(shí)只要稍作變式，他們還是顯得很吃力.當(dāng)然，預(yù)設(shè)聽(tīng)課檢測(cè)時(shí)，也應(yīng)注意保持高層次學(xué)生的積極性，這就是如上面聽(tīng)課檢測(cè)環(huán)節(jié)那樣，在最后一問(wèn)設(shè)計(jì)一道挑戰(zhàn)題，可以讓高層次學(xué)生也不能在規(guī)定時(shí)間順利挑戰(zhàn)成功，這一方面可以促進(jìn)他們深入思考、長(zhǎng)時(shí)間思考，另一方面也是追求“這節(jié)課可以下課，但思考并不一定就停止”的教學(xué)理念.

三、結(jié)束語(yǔ)

習(xí)題課是一種經(jīng)典課型，特別是在當(dāng)下應(yīng)試教學(xué)盛行的時(shí)代，如何讓習(xí)題課上出新意、上出創(chuàng)意，是值得我們深入研究的課題，本文拋磚引玉，期待批判和更多的課例跟進(jìn).

1.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

2.周紅娟.開(kāi)放與放開(kāi)：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

3.鄭毓信.“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

5.鄭毓信.善于提問(wèn)［J］.人民教育，2008（19）.

6.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.Z