多角度“對(duì)應(yīng)”：函數(shù)的教學(xué)追求*——李庾南老師“方程組圖像解法”課例賞析

☉江蘇省南通市通州區(qū)育才中學(xué)　仲立中

多角度“對(duì)應(yīng)”：函數(shù)的教學(xué)追求*——李庾南老師“方程組圖像解法”課例賞析

☉江蘇省南通市通州區(qū)育才中學(xué)仲立中

近兩年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊載了多篇著名特級(jí)教師李庾南老師的課例研究文章，筆者受益其中，特別是李老師“學(xué)材再建構(gòu)”的教學(xué)理念，深深影響著筆者的備課理念.筆者嘗試從“教教材”走向“自己理解教材而去教”的專業(yè)追求.最近，有機(jī)會(huì)找來李老師執(zhí)教的“二元一次方程組的圖像解法”的教學(xué)錄像，認(rèn)真研習(xí)之余，整理成文，供更多同行學(xué)習(xí).

一、“二元一次方程組的圖像解法”教學(xué)概述

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生自主運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立一次函數(shù)與二元一次方程兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（2）引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度和“形”的角度來認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與解二元一次方程組的聯(lián)系，會(huì)用圖像法解二元一次方程組.

（3）引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)，“數(shù)”“形”結(jié)合，概括二元一次方程組的解的情況（三種）.

（二）教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：開課階段，探索一次函數(shù)與二元一次方程（組）兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教學(xué)活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，再安排全班交流討論.教師側(cè)重從不同角度引導(dǎo)學(xué)生理解.

方法1：從“形”的角度考慮，一次函數(shù)的圖像是直線，一次函數(shù)y=kx+b又叫作直線y=kx+b.過點(diǎn)（0，-1）和）作直線y=2x-1，過點(diǎn)）和）作直線如圖1，兩直線交于點(diǎn)P（1，1），則x=1時(shí)，兩函數(shù)的值相等，函數(shù)值為1.

圖1　

方法2：從“數(shù)”的角度考慮，兩個(gè)一次函數(shù)的解析式就是兩個(gè)關(guān)于x和y的二元一次方程，解由這兩個(gè)方程組成的方程組

則當(dāng)x=1時(shí)，兩個(gè)一次函數(shù)的值相等，函數(shù)值為1.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：講解“對(duì)應(yīng)”背后的原理.

教師互動(dòng)式講解.

（1）一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b可以寫成二元一次方程kx-y+b=0的形式，反過來，任何一個(gè)二元一次方程kxy+b=0也可以寫成一次函數(shù)y=kx+b的形式.（邊總結(jié)，邊形成如下的板書）

一次函數(shù)與二元一次方程存在對(duì)應(yīng)關(guān)系

（2）一次函數(shù)圖像的點(diǎn)的坐標(biāo)都反映兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即適合函數(shù)的解析式，因此也是對(duì)應(yīng)的二元一次方程的解.

（3）一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程就對(duì)應(yīng)一條直線，兩個(gè)二元一次方程就對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，因此也就對(duì)應(yīng)兩條直線.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式，也就是滿足兩個(gè)二元一次方程，即為由這兩個(gè)二元一次方程組成的方程組的解.

（4）根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組之間的這種聯(lián)系，可用一次函數(shù)的圖像解二元一次方程組——二元一次方程組的圖像解法.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：例講示范，利用一次函數(shù)的圖像解二元一次方程組.

圖2　

兩直線的交點(diǎn)為M（-3，-3）.

跟進(jìn)練習(xí)：用圖像法解方程組.（題目略）

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：從“數(shù)”和“形”的角度討論二元一次方程組解的情況.

一個(gè)交點(diǎn)…………………………………一解

圖3　

無交點(diǎn)……………………………………無解

圖4　

重合………………………………………無數(shù)解

教師總結(jié)：同一平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)的圖像位置關(guān)系有三種，對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解有三種情況；二元一次方程組的解與對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)有關(guān).

教學(xué)環(huán)節(jié)（五）：師生合作，通過課堂總結(jié)加深對(duì)本課內(nèi)容的深刻理解.

圖像法求二元一次方程組解的特點(diǎn).

由b和k很快確定二元一次方程解的情況.

由交點(diǎn)位置可判斷解的符號(hào)，但解為非整數(shù)時(shí)，不易寫出精確值.

二、課例賞析

熟悉李老師數(shù)學(xué)課例的同行應(yīng)該知道，近年來李老師基于“學(xué)材再建構(gòu)”的教學(xué)思想，往往以數(shù)學(xué)味極濃的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引入新課，本課例也是這樣，李老師基于一次函數(shù)值相等與直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系引入新課.以下就圍繞“對(duì)應(yīng)”的視角進(jìn)一步給出四點(diǎn)賞析.

“對(duì)應(yīng)”角度之一：兩個(gè)函數(shù)值相等與兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系

開課階段，李老師提出兩個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值相等問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考后全班交流討論，然后李老師側(cè)重從不同角度引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)值相等與直線交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.特別是從“形”的角度，通過函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)與自變量、函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)，讓學(xué)生既有直觀感知，又有數(shù)學(xué)上的精確運(yùn)算相對(duì)應(yīng).

“對(duì)應(yīng)”角度之二：一元一次函數(shù)與二元一次方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在學(xué)生從數(shù)、形的角度感知之后，李老師進(jìn)行互動(dòng)式講解，重點(diǎn)講授了一次函數(shù)與二元一次方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是精心設(shè)計(jì)的板書，通過箭頭示意，讓學(xué)生感受到二元一次方程與一次函數(shù)表達(dá)式之間的正反變形關(guān)系.感受到它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的、和諧的.

“對(duì)應(yīng)”角度之三：方程組的消元解法與一次函數(shù)圖像解法之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在例題示范教學(xué)階段，李老師親自板書示范了二元一次方程組圖像解法的規(guī)范格式，而不是用PPT快速翻過.學(xué)生可以在這個(gè)過程中，感受到此前已會(huì)的方程組消元解法是從運(yùn)算的角度求解，而現(xiàn)在又多了“形”的方法，即圖像解法.雖然圖像解法對(duì)于這類二元一次方程組的求解并不一定是最優(yōu)化的方法，但是追求問題的殊途同歸是數(shù)學(xué)教學(xué)上需要滲透的，也是讓學(xué)生感受同一問題在不同數(shù)學(xué)概念、工具、模型下的不同解法路徑，都可以獲得解決，感受數(shù)學(xué)不同知識(shí)領(lǐng)域的相融、和諧與一致.

“對(duì)應(yīng)”角度之四：方程組解的情況與兩直線交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

我們知道教材上一般都沒有給出二元一次方程組的一般形式，也就沒有展開對(duì)二元一次方程組的解的情況的討論.而在李老師這節(jié)課中，我們看到在“教學(xué)環(huán)節(jié)（四）”中，李老師不但從二元一次方程各項(xiàng)系數(shù)的角度分三種情況進(jìn)行討論，并將這三種情況所對(duì)應(yīng)的兩條直線在同一坐標(biāo)系下的位置關(guān)系進(jìn)行了對(duì)應(yīng)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解.更重要的是，這樣處理，使學(xué)生在學(xué)習(xí)研究二次函數(shù)圖像（拋物線）與x軸的交點(diǎn)情況時(shí)，可以對(duì)應(yīng)到一元二次方程的根的判別式（Δ）的取值.這種追求前后一致、滲透研究套路的教學(xué)，對(duì)于高層次學(xué)生是十分有益的.我們常常說的教學(xué)深度，由專家教師的這些教學(xué)細(xì)節(jié)中也可見一斑.

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.Z

*本文系南通市教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于悟?qū)W理念的初中理科‘高效作業(yè)’實(shí)施策略研究”的階段性成果.