多尺度量子諧振子算法在組合優(yōu)化問題中的性能分析

王 鵬，黃 焱，安俊秀，李建平

（1. 西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 成都 610041；2. 中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所 成都 610041；3. 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 石景山區(qū) 100049；4. 成都信息工程大學(xué)并行計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 成都 610225；5. 電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731）

多尺度量子諧振子算法在組合優(yōu)化問題中的性能分析

王 鵬1，黃 焱2，3，安俊秀4，李建平5

（1. 西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 成都 610041；2. 中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所 成都 610041；3. 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 石景山區(qū) 100049；4. 成都信息工程大學(xué)并行計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 成都 610225；5. 電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731）

多尺度量子諧振子算法（MQHOA）是一種基于一維量子諧振子波函數(shù)原理提出的新優(yōu)化算法，該文在MQHOA框架下構(gòu)建了旅行商問題（TSP）的求解流程和方法，研究了算法的物理意義和理論收斂過程。通過對12組TSP標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)表明，根據(jù)算法物理模型要求的高斯鄰域生成方法優(yōu)于隨機(jī)鄰域生成方法，而且MQHOA算法對TSP問題的求解結(jié)果在獲得最優(yōu)解的概率和多次實(shí)驗(yàn)的平均最小距離兩個指標(biāo)上都要優(yōu)于模擬退火算法，與其他算法對比也證明了該算法具有較好的性能。同時還研究了在規(guī)則城市數(shù)據(jù)集條件下算法的性能和收斂情況。這些結(jié)果證明MQHOA算法可以較好地被應(yīng)用于組合優(yōu)化問題。

組合優(yōu)化； 多尺度量子諧振子算法； 優(yōu)化算法； 旅行商問題

MQHOA［1］是受一維量子諧振子的波函數(shù)圖像啟發(fā)而設(shè)計(jì)的一種新的優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［1］首次提出了MQHOA算法的完整實(shí)現(xiàn)方法，同時實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明對于15種常用的優(yōu)化測試函數(shù)都能在不改變算法參數(shù)的條件下以100%的概率獲得精確的理論最優(yōu)值，在求解高維函數(shù)優(yōu)化問題時也表現(xiàn)出良好的性能，一些研究者也做了大量嘗試將量子諧振子物理模型應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)上；文獻(xiàn)［2］將量子諧振子勢能場引入粒子群系統(tǒng)；文獻(xiàn)［3］提出了一種量子諧振子蟻群算法；文獻(xiàn)［4］研究了多尺度量子諧振子算法的物理模型；文獻(xiàn)［5］研究了諧振子量子波函數(shù)的概率特性，但并未利用波函數(shù)的概率解釋提出相應(yīng)的算法模型；文獻(xiàn)［6］對MQHOA算法的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行分析；文獻(xiàn)［7］通過求解整數(shù)非線性規(guī)劃問題對MQHOA算法的性能進(jìn)行分析；文獻(xiàn)［8］提出了一種基于劃分的多尺度量子諧振子多峰優(yōu)化算法；文獻(xiàn)［9］將MQHOA算法用于求解聚類中心點(diǎn)問題，又對MQHOA算法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，通過判斷兩次采樣迭代后種群最優(yōu)值的方差來判斷系統(tǒng)是否達(dá)到穩(wěn)定態(tài)，和均值替換法保持了種群的多樣性，達(dá)到了良好的效果。

組合優(yōu)化問題是很多科學(xué)、工程問題的抽象，這些問題本身看上去都非常簡單，但求解這類問題卻十分復(fù)雜。目前求解組合優(yōu)化問題的方法很多都建立在模擬自然的基礎(chǔ)上，有時也將這類算法稱為自然算法［10］，如遺傳算法［11］、模擬退火算法［12］、蟻群算法［13］，這些算法在理論和實(shí)踐上取得了大量成果。MQHOA算法也是一類利用隨機(jī)方法的不確定性算法，本文以典型的組合優(yōu)化問題—TSP問題為例，研究并驗(yàn)證MQHOA算法應(yīng)用于組合優(yōu)化問題的方法，通過12組TSP標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集對算法性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，從方法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的角度均證實(shí)了MQHOA算法在組合優(yōu)化問題領(lǐng)域的應(yīng)用能力。

1 組合優(yōu)化問題與算法量子理論模型

1.1 組合優(yōu)化問題的定義

組合優(yōu)化問題可以描述為：令Ω=｛s1，s2，，sn｝為所有狀態(tài)構(gòu)成的解空間，C(si)為狀態(tài) si對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，求解組合優(yōu)化問題就是尋找最優(yōu)解 s*，使得對于所有的si∈Ω，有C（s*）=min（C（si））。

1.2 MQHOA的物理模型介紹

一維諧振子的勢能曲線為：

式中，K為簡諧力強(qiáng)度的參數(shù)。一維諧振子的勢能曲線表明目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解附近近似是平滑的二次曲線。

將諧振子勢能曲線代入相應(yīng)的薛定鄂方程解出的能級和波函數(shù)概率密度分別為：

第n個能級的能量函數(shù)為：

波函數(shù)概率密度為：

諧振子的波函數(shù)從高能態(tài)向基態(tài)的變化是一個逐漸收斂的過程。從高能態(tài)多個高斯概率函數(shù)的疊加，逐步收斂到基態(tài)單一高斯分布的穩(wěn)定狀態(tài)

諧振子波函數(shù)圖像描述了優(yōu)化問題的逐步收斂過程，這一過程對應(yīng)于波函數(shù)從高能態(tài)向低能態(tài)的變化過程。

2 MQHOA算法求解TSP問題的原理

TSP問題：假設(shè)有一個旅行商人要拜訪n個城市，他必須選擇所要走的路徑，路徑的限制是每個城市只能拜訪一次，而且最后要回到原來出發(fā)的城市。路徑的選擇目標(biāo)是要求得的路徑路程為所有路徑之中的最小值。

2.1 多尺度量子諧振子算法的基本收斂過程

多尺度量子諧振子算法的基本工作原理包括兩個過程：一個是同尺度上的量子波函數(shù)收斂過程，另一個是尺度本身的收斂過程。這兩個過程一個是提取信息，另一個是收縮搜索區(qū)域，多次迭代后算法將收縮到最優(yōu)解位置。尺度收斂過程較為簡單，下面主要分析在同一個尺度上的量子收斂過程。

同一個尺度上量子諧振子算法的基本收斂過程可以描述如下：將每次迭代保留的k個較好的采樣位置 ki作為k個局部收斂區(qū)域的中心位置，以所選的k個中心位置構(gòu)造k個標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布函數(shù)N(ki,σ2)，形成k個局部最優(yōu)采樣區(qū)域，每個區(qū)域分別按高斯分布N(ki,σ2)在定義域采樣生成m個解；k個標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布函數(shù)在迭代過程中逐漸聚集，向單一高斯分布收斂；迭代過程直到k個中心位置 ki之間的標(biāo)準(zhǔn)差σk小于σ時停止，類比量子收斂過程，這時可以認(rèn)為k個高斯函數(shù)疊加形成的波函數(shù)收斂于高斯分布為N(ki,σ2)能量基態(tài)。量子諧振子波函數(shù)收斂的迭代過程就是多個標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯采樣函數(shù)疊加形成的波函數(shù)向基態(tài)的聚集收斂過程。

每次迭代中的k個標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布函數(shù)的疊加稱為量子諧振子算法的波函數(shù)，歸一化的算法波函數(shù)定義為：

量子諧振子算法的波函數(shù)的概率分布是對目標(biāo)函數(shù)定義域上進(jìn)行采樣的概率分布。 MQHOA算法收斂過程的詳細(xì)數(shù)學(xué)物理描述見文獻(xiàn)［1，4］。

2.2 MQHOA算法求解TSP問題的基本過程

在MQHOA算法框架下設(shè)計(jì)求解TSP問題的算法過程的關(guān)鍵是解空間中鄰域的生成方法，本文采用兩組不同的城市排列之間的對應(yīng)位置城市標(biāo)志的個數(shù)來作為函數(shù)的自變量，不同位置城市的個數(shù)越少認(rèn)為這兩組解相距越近，反之則越遠(yuǎn)。由于TSP問題的算法復(fù)雜度與城市個數(shù)是階乘的關(guān)系，所以在面對TSP問題時將尺度變化因子λ設(shè)定為1.1（函數(shù)優(yōu)化問題中一般將λ設(shè)定為2），算法在尺度降低到σ=1時停止。

根據(jù)多尺度量子諧振子模型，MQHOA算法處理TSP問題的基本工作流程的偽代碼為：

1 BEGIN

2 Initialization：k、m、λ、σ

3 隨機(jī)生成k×m 個城市排列序列

4 保留其中較優(yōu)的k個城市序列

5 DO

6 DO

7 基于k個距離最優(yōu)序列分別生成m個新的序列

8 計(jì)算其中k個較優(yōu)序列的標(biāo)準(zhǔn)差σk

9 WHILE （σ＜σk）

10σ=σλ

11 WHILE （σ＞1）

12 輸出當(dāng)前k個較優(yōu)序列中的最優(yōu)序列

13 END

通常將σ的初始值設(shè)為城市總數(shù)N，算法在尺度變化時以一個固定的倍數(shù)減小，這一尺度變化方法近似于將TSP問題的算法復(fù)雜度降低為logN。在迭代中產(chǎn)生的k×m 個城市序列中選取k個較優(yōu)城市排序中的最短距離序列，以此為基準(zhǔn)計(jì)算σk，其他k-1個排序依據(jù)與基準(zhǔn)序列之間的差距計(jì)算出方差值。如某一序列與基準(zhǔn)序列之間有6個城市的位置不同則差距為6。第7步中新序列的生成方法為針對每個序列用標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布分別生成m個整數(shù)Nm，分別在該序列中隨機(jī)找到一個位置將該位置后面Nm個城市位置進(jìn)行倒序，第7步將總共生成k×m 個城市排列序列。在算法的實(shí)際應(yīng)用中k和m的值在設(shè)定后通常不用做太大的改變，m的值對應(yīng)于每個區(qū)域的鄰域采樣個數(shù)。根據(jù)算法的物理模型新解的生成采用高斯函數(shù)，算法在運(yùn)行過程中解空間中的搜索區(qū)域逐步聚集，當(dāng)不滿足σ＜σk時表明解已聚集在一個相對小的解空間范圍了，這時算法縮小搜索尺度，執(zhí)行σ =σλ操作，使搜索更加局部化，當(dāng)σ等于1時表明k個序列中所有的序列都相同了，此時算法退出，在實(shí)際計(jì)算時這種條件較難滿足，通常算法結(jié)束的情況都是σk迭代多次不再變化。k個序列相當(dāng)于是k個搜索探針，根據(jù)所求解問題目標(biāo)函數(shù)的引導(dǎo)信息逐步收斂，正如量子諧振子波函數(shù)所描述的一樣。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

3.1 MQHOA算法求解TSP標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)

3.1.1 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)集

本文選取了12組標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集對MQHOA算法和模擬退火算法分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。TSP問題的可行解是所有城市的全排列，隨著城市個數(shù)的增加，其可能路徑的總數(shù)與城市個數(shù)呈指數(shù)級的增長，城市個數(shù)較大時一般很難求解出其已知最短距離。

表1為本文的12組標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集，表中給出了各組數(shù)據(jù)集的已知最短距離。

表1 TSP問題標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集

3.1.2 兩種新解生成方式的實(shí)驗(yàn)比較

本文求解TSP問題的算法也是采用高斯分布采樣方式生成新解，可以保證當(dāng)前尺度采樣信息的完備性。為了驗(yàn)證此種采樣方式在求解組合優(yōu)化問題時的效果，本文將用高斯分布采樣和隨機(jī)分布采樣生成新解的兩種方式對12組標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)分別進(jìn)行10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，對TSP問題進(jìn)行求解的實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表2灰底部分為采用高斯分布采樣方式生成新解的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，隨著城市個數(shù)的增長，平均迭代次數(shù)呈現(xiàn)出線性增長趨勢，城市個數(shù)較?。?1、30、48）時，MQHOA算法可以以100%的概率精確找到已知最短距離；隨著城市個數(shù)的增長，找到已知最短距離的概率逐漸下降，當(dāng)城市個數(shù)為100、127或更多時，MQHOA算法無法求得已知最短距離，只能找到相對較優(yōu)距離。

表2白底部分為采用隨機(jī)分布采樣方式生成新解的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，隨著城市個數(shù)的增長，平均迭代次數(shù)與按高斯分布采樣方式的平均迭代次數(shù)相近，算法可以在相近次數(shù)的迭代之后收斂，但收斂到已知最短距離的概率明顯降低。當(dāng)城市個數(shù)為21、30時，采用隨機(jī)分布采樣方式可以100%精確地找到已知最短距離，當(dāng)城市個數(shù)大于48時，找到已知最短距離的概率就降至0，只能收斂求得較優(yōu)距離。

表2 兩種新解產(chǎn)生方式求解TSP問題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文在表2中統(tǒng)計(jì)了10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的平均距離，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明對于12組標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集用高斯分布求得的平均距離均小于用隨機(jī)分布方式求得的平均距離。MQHOA算法用高斯分布采樣生成新解方式求解TSP問題比用隨機(jī)采樣生成新解方式能更好的向最優(yōu)解收斂，算法能以更大概率找到更優(yōu)解。

因此，MQHOA算法采用高斯分布生成新解的方式能有效的求解組合優(yōu)化問題，這同時也是算法物理模型涵義所要求的。

3.1.3 與模擬退火算法的比較實(shí)驗(yàn)

對同樣的數(shù)據(jù)集用模擬退火算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，與MQHOA算法進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)集同樣采用表1中的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

模擬退火算法實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定如下：

步長L=10，初始溫度T0=1 000。衰減系數(shù)D=1.000 5，停止溫度2.0×10-6。

從表3的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)城市個數(shù)較小（21、30）時，采用模擬退火算法可以以100%的概率找到已知最短距離，當(dāng)城市個數(shù)進(jìn)一步增加時，獲得已知最短距離的概率迅速下降為0，只能找到相對較短的距離，無法找到理論最短距離。對于同樣的測試數(shù)據(jù)集，MQHOA算法在求解100個城市規(guī)模時依然能求得已知最短距離。MQHOA算法求解TSP問題所得的最短路徑、獲得已知最短距離的概率明顯優(yōu)于模擬退火算法。

表3 模擬退火算法求解TSP問題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1.4 與其他文獻(xiàn)報(bào)道算法結(jié)果的對比

根據(jù)文獻(xiàn)［14］報(bào)道，本文也采用偏離最優(yōu)路徑比率來對比算法的性能，偏離最優(yōu)路徑比率的計(jì)算方法為：

表4 MQHOA算法與其他文獻(xiàn)報(bào)道算法結(jié)果的對比

表4中的結(jié)果是采用MQHOA算法計(jì)算出的μ值與其他算法獲得的μ值的對比，表4中其他算法的μ值數(shù)據(jù)來自于文獻(xiàn)［15-17］。表中MQHOA算法的μ值數(shù)據(jù)是根據(jù)10次計(jì)算得到的值，總共對8個標(biāo)準(zhǔn)測試集進(jìn)行了計(jì)算和對比，城市數(shù)目從51到152。從表中的結(jié)果來看對于大多數(shù)測試數(shù)據(jù)集MQHOA算法的μ值都要明顯優(yōu)于其他算法，其中只有st70數(shù)據(jù)集MQHOA算法的μ值要明顯差些，對于pr152數(shù)據(jù)集MQHOA算法要優(yōu)于KD、Budinich和ISOM算法。

3.2 MQHOA算法求解規(guī)則分布TSP問題

TSP標(biāo)準(zhǔn)測試集中的城市數(shù)據(jù)較為復(fù)雜、沒有規(guī)律，為了對MQHOA算法進(jìn)行分析，本節(jié)構(gòu)造了一些有一定規(guī)律的規(guī)則分布的數(shù)據(jù)集研究算法。實(shí)驗(yàn)中參數(shù)k=3 000，m=200。

圖1為利用MQHOA算法對不同的規(guī)則城市分布數(shù)據(jù)的TSP問題進(jìn)行求解的結(jié)果。圖1a為32個城市單一方形分布，迭代次數(shù)為15次，圖1b為36個城市帶有2個突出點(diǎn)的方形分布，迭代次數(shù)為21次，圖1c為81個城市的9×9點(diǎn)陣分布，迭代次數(shù)為74次，圖1d為80個城市的5個4×4點(diǎn)陣分布，迭代次數(shù)為91次，圖1e為81個城市的隨機(jī)分布，迭代次數(shù)為98次，圖1f為225個城市的15×15 點(diǎn)陣分布，迭代次數(shù)為388次。從圖中可以看出對80個城市以下的規(guī)則分布城市數(shù)據(jù)，MQHOA算法基本都能有效的找到最短路線。從圖1f中可以看到大量的斜向路線，這表明算法此時收斂到的結(jié)果并不是理論最短路徑，從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對于這類點(diǎn)陣數(shù)據(jù)算法從10×10 點(diǎn)陣開始就會出現(xiàn)找不到理論最優(yōu)路徑的問題。

圖1 規(guī)則城市分布數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.3 MQHOA算法收斂特性分析

對于表1中的標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集和圖1c、圖1f這類規(guī)則數(shù)據(jù)本文研究了算法收斂時的迭代次數(shù)與城市規(guī)模之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2a為標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集的結(jié)果，圖2b為點(diǎn)陣數(shù)據(jù)的結(jié)果，從圖2中的結(jié)果來看迭代次數(shù)與城市規(guī)模總體呈的似的線性對應(yīng)關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集中的結(jié)果也基本與此結(jié)果相符，但隨著城市規(guī)模的增長算法獲得理論最優(yōu)路徑的概率會逐步下降。其他類型數(shù)據(jù)集的變化情況也類似，這證明算法在求解TSP問題時均具有良好的收斂性。

圖2 算法迭代次數(shù)與城市數(shù)的關(guān)系

利用規(guī)則結(jié)構(gòu)的城市分布數(shù)據(jù)可以使算法在數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)一致的條件下進(jìn)行對比，但由于TSP的內(nèi)在結(jié)構(gòu)目前還沒有理論進(jìn)行描述，這也是組合優(yōu)化問題的困難之處。

4 結(jié) 束 語

本文提出了在MQHOA算法框架下的TSP問題求解方法，文中對比了高斯鄰域生成方法和隨機(jī)鄰域生成方法，表明本文的所用高斯鄰域生成方法要優(yōu)于隨機(jī)鄰域生成方法。與其他算法的比較也表明算法的性能十分穩(wěn)定，在偏離最優(yōu)路徑比率指標(biāo)上也要優(yōu)于已有的一些其他組合優(yōu)化算法，同時MQHOA算法在獲得理論最優(yōu)解的概率和多次實(shí)驗(yàn)的平均距離兩個指標(biāo)上都要優(yōu)于模擬退火算法。實(shí)驗(yàn)證明MQHOA算法也能有效地求解TSP這類組合優(yōu)化問題，并具有良好的性能。

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編 輯 葉 芳

Performance Analysis of Multi-Scale Quantum Harmonic Oscillator Global Optimization Algorithm in Combinatorial Optimization Problems

WANG Peng1， HUANG Yan2，3， AN Jun-xiu4， and LI Jian-ping5
（1. School of Computer Science and Technology， Southwest University for Nationalities Chengdu 610041；2. Chengdu Institute of Computer Application， Chinese Academy of Sciences Chengdu 610041；3. University of Chinese Academy of Sciences Shijingshan Beijing 100049；4. Parallel Computing Lab， Chengdu University of Information Technology Chengdu 610225；5. School of Computer Science and Engineering， University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731）

The multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm （MQHOA） is a novel optimization algorithm based on the wave function of one-dimensional quantum harmonic oscillator. The process for solving traveling salesman problem （TSP） using MQHOA is proposed， and the physical meanings and theoretical convergence process of MQHOA are analyzed. The experiments for 12 groups of typical TSP data show that the neighborhoods generated on Gaussian distribution are better than those on random distribution. MQHOA for TSP is better than simulated annealing algorithm on the ratio of getting precise route and the average shortest distance. The comparison with other algorithms also proves the good performance of MQHOA. The performance about regular city data set has also been researched. The experiments results prove that MQHOA is an excellent algorithm to solve combinatorial optimization problems.

combinatorial optimization； multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm； optimization algorithm； traveling； salesman problem

TP18

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.027

2014 - 12 - 04；

2016 - 02 - 25

國家自然科學(xué)基金（60702075）；國家社會科學(xué)基金（12XSH019）；中國博士后科學(xué)基金（20090451420）；廣東省科技廳高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)化科技攻關(guān)項(xiàng)目（2011B010200007）；四川省青年科學(xué)基金（09ZQ026-068）

王鵬（1975 - ），男，教授，主要從事智能算法方面的研究.