改進(jìn)全變分的圖像去噪

何 坤，鄭秀清，琚生根，張永來

（1. 四川大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 成都 610065；2. 四川師范大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院 成都 618300）

改進(jìn)全變分的圖像去噪

何 坤1，鄭秀清2，琚生根1，張永來2

（1. 四川大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 成都 610065；2. 四川師范大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院 成都 618300）

為了彌補(bǔ)各向同性擴(kuò)散去噪的非保邊性、異性擴(kuò)散的耗時性，分析了各向同性和異性擴(kuò)散的機(jī)理，根據(jù)噪聲對像素變化的影響，設(shè)計了新的擴(kuò)散函數(shù)，理論上分析了該函數(shù)的擴(kuò)散性能：對平滑區(qū)各向同性擴(kuò)散，邊緣區(qū)實現(xiàn)各向異性擴(kuò)散。在傳統(tǒng)全變分去噪的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)全變分的圖像去噪模型，運(yùn)用固定點(diǎn)代算法設(shè)計了相應(yīng)的離散迭代函數(shù)。實驗結(jié)果表明，該算法在圖像平滑區(qū)進(jìn)行各向同性擴(kuò)散，繼承了各向同性的優(yōu)點(diǎn)，降低了傳統(tǒng)全變分的運(yùn)行時間；在邊緣區(qū)實現(xiàn)了各向異性擴(kuò)散保護(hù)了圖像邊緣，提高了圖像的峰值信噪比和視覺效果。

各向異性； 擴(kuò)散函數(shù)； 圖像去噪； 各向同性； 全變分

人眼對圖像簡化、提取其結(jié)構(gòu)信息，實現(xiàn)對圖像的認(rèn)知和理解。但圖像在獲取、保存及傳輸過程中不可避免地受到噪聲污染。噪聲和結(jié)構(gòu)信息均屬于高頻信息［1］，降低了視覺對圖像簡化的質(zhì)量，影響了其分析理解［2］。為了提高機(jī)器視覺對圖像分析理解的準(zhǔn)確性，需對圖像進(jìn)行保結(jié)構(gòu)信息的去噪預(yù)處理［3］。

最簡單的圖像去噪處理是根據(jù)噪聲和圖像的主要內(nèi)容屬于不同頻段，對圖像進(jìn)行濾波（如高斯平滑）處理。該類算法實質(zhì)上是對圖像中任意像素進(jìn)行各向（切向和法向）同性擴(kuò)散［4］，切、法向等速擴(kuò)散使得系統(tǒng)運(yùn)行速度較快，對圖像平滑區(qū)去噪效果較好［5］，但法向擴(kuò)散導(dǎo)致圖像結(jié)構(gòu)信息模糊［6］。

為了保護(hù)結(jié)構(gòu)信息，傳統(tǒng)全變分（TV）算法［7］從像素角度出發(fā)，分析了噪聲對像素的影響——加速像素變化。根據(jù)此性質(zhì)以像素變化的1e-范數(shù)建立了圖像去噪模型［8］。該算法是對任意像素僅沿切線方向擴(kuò)散［9］，保護(hù)了邊緣信息，但平滑區(qū)的單向擴(kuò)散使得系統(tǒng)運(yùn)行效率較低［10］。

為了實現(xiàn)快速地圖像保邊去噪，本文分析了各向同性和異性擴(kuò)散［11］的機(jī)理，將兩種擴(kuò)散方式有機(jī)結(jié)合，繼承各自優(yōu)點(diǎn)彌補(bǔ)其不足，從像素變化角度出發(fā)，以梯度為變量設(shè)計了新的擴(kuò)散函數(shù)。理論上分析了該擴(kuò)散函數(shù)的局部擴(kuò)散性能：圖像平滑區(qū)沿切、法線方向以不同的速度同時擴(kuò)散，提高了該區(qū)域的平滑速度，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)TV單向擴(kuò)散［12］的不足；圖像邊緣和紋理區(qū)域沿切線方向擴(kuò)散保護(hù)了邊緣。在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合傳統(tǒng)全變分圖像去噪模型，提出了改進(jìn)的全變分圖像去噪：首先根據(jù)圖像邊緣形成的光學(xué)原理分析圖像梯度；其次根據(jù)梯度幅度將圖像分為平滑區(qū)和邊緣紋理區(qū)，建立相應(yīng)的偏微分方程；最后運(yùn)用固定點(diǎn)迭代算法分析偏微分方程，設(shè)計了離散迭代函數(shù)。實驗結(jié)果表明，本文擴(kuò)散函數(shù)在圖像邊緣紋理區(qū)各向異性擴(kuò)散，繼承了傳統(tǒng)全變分的優(yōu)點(diǎn)，保護(hù)了邊緣；在圖像平滑區(qū)進(jìn)行各向同性擴(kuò)散，降低了系統(tǒng)運(yùn)行時間，提高了圖像峰值信噪比（PSNR）和視覺效果。

1 擴(kuò)散函數(shù)

從信號的頻率來看，圖像結(jié)構(gòu)信息和高斯噪聲表現(xiàn)為相同的特性——高頻信號，但結(jié)構(gòu)信息是分析理解圖像的基層信息。為了抑制噪聲提高分析理解的準(zhǔn)確性，在圖像去噪過程中應(yīng)保護(hù)其結(jié)構(gòu)信息。假設(shè)原始圖像u（x， y）被零均值方差為σ2的高斯噪聲n（x， y）污染的圖像為：

噪聲分量 n（x，y）加劇圖像像素變化，使 I（x，y）的整體梯度比原始圖像大。因此，為了消除噪聲保護(hù)結(jié)構(gòu)信息，利用梯度幅度函數(shù)［13］建立的目標(biāo)函數(shù)為：

運(yùn)用變分法得到式（2）的歐拉-拉格朗日方程：

為了在去噪過程中保護(hù)結(jié)構(gòu)信息提高運(yùn)行效率，擴(kuò)散函數(shù)應(yīng)滿足兩個條件：1） 為了減少系統(tǒng)運(yùn)行時間，平滑區(qū)應(yīng)各向同性擴(kuò)散，擴(kuò)散函數(shù)的變化速度接近于2） 為了保護(hù)結(jié)構(gòu)信息，邊緣和紋理區(qū)域應(yīng)各向異性處理。本文繼承傳統(tǒng)各向同性和異性擴(kuò)散的優(yōu)點(diǎn)，以梯度幅度為變量設(shè)計了新的擴(kuò)散函數(shù)：

圖1 不同擴(kuò)散函數(shù)

該函數(shù)在切、法向擴(kuò)散速度分別為：

切、法向擴(kuò)散速度之比值k 為：

為了繼承各向同性和異性處理的優(yōu)點(diǎn)，本文利用梯度幅度將圖像分為平滑區(qū)和邊緣紋理區(qū)，如果梯度小于閾值T時，該像素位于平滑區(qū)應(yīng)各向同性處理，此時當(dāng)像素梯度大于閾值T時，該像素應(yīng)各向異性處理，此時不同區(qū)域相應(yīng)的歐拉方程為：

2 離散迭代

當(dāng)像素 u（i， j）位于平滑區(qū)域，本文假設(shè)其四鄰域也位于平滑區(qū)域，其鄰域的擴(kuò)散權(quán)重為：

當(dāng)像素 u（i， j）位于邊緣紋理區(qū)域，其四鄰域也位于該區(qū)域，對應(yīng)像素的擴(kuò)散權(quán)重為：

不同區(qū)域的擴(kuò)散系數(shù)如圖2所示。

為了在圖像去噪的過程中保護(hù)邊緣紋理信息，式（8）運(yùn)用了噪聲圖像信息。當(dāng)位于平滑區(qū)，鄰域像素梯度較小，對應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)ω（p）遠(yuǎn)大于權(quán)重λ，去噪后 u（i，j）主要由其鄰域像素加權(quán)決定；若像素（i，j）位于邊緣紋理處，對應(yīng)的梯度較大，相應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)ω（p）趨于0，去噪后 u（i，j）主要由圖像 I（i，j）決定。

圖2 不同區(qū)域的擴(kuò)散系數(shù)

為了得到式（2）的最優(yōu)解，該文將式（8）進(jìn)行迭代運(yùn)算，第n步迭代表達(dá)式為：

噪聲圖像 I（i，j）中包含了原始圖像邊緣紋理信息，每步迭代都運(yùn)用了噪聲圖像的相關(guān)信息，使邊緣紋理信息不會隨著迭代次數(shù)增加而模糊。當(dāng)滿足下式停止迭代，有：

3 實驗結(jié)果分析

為了快速地實現(xiàn)圖像保邊去噪，本文將各向同性和異性擴(kuò)散有機(jī)結(jié)合，設(shè)計了新的圖像保邊去噪擴(kuò)散函數(shù)。該擴(kuò)散函數(shù)對圖像平滑區(qū)沿切法向同時擴(kuò)散，減少了該區(qū)域的運(yùn)行時間；對邊緣紋理區(qū)域法向擴(kuò)散速度幾乎為0，保護(hù)了圖像的邊緣紋理。根據(jù)圖像邊緣紋理形成的光學(xué)機(jī)理，邊緣紋理區(qū)像素變化幅度比平滑區(qū)大，本文運(yùn)用梯度固定閾值T法，將圖像分為平滑和邊緣紋理兩個區(qū)域，如果閾值T取值較大，圖像中像素變化較慢形成的弱邊緣紋理誤作為平滑區(qū)，去噪后圖像的弱邊緣紋理進(jìn)行各向同性擴(kuò)散，該信息保護(hù)較差；反之，將平滑區(qū)的噪聲誤判為邊緣紋理，對該區(qū)域的噪聲進(jìn)行保護(hù)，殘余噪聲較大。

對含有加性高斯噪聲的peppers圖像運(yùn)用不同閾值的部分去噪結(jié)果如圖3所示。當(dāng)閾值0.2T=時，去噪后圖像的整體質(zhì)量PSNR為15.13 dB，由于閾值較小，圖像邊緣紋理保護(hù)較好，但是圖像平滑區(qū)的強(qiáng)噪聲（幅度較大）被作為邊緣紋理而得以保護(hù)，所以去噪后殘余噪聲較大；增大閾值使T=0.5，平滑區(qū)殘余噪聲較小，邊緣紋理得以較好的保護(hù)，去噪后圖像PSNR為21.3 dB；若繼續(xù)增大閾值，導(dǎo)致將紋理作為平滑區(qū)進(jìn)行各向同性擴(kuò)散，導(dǎo)致紋理損失而過度平滑，甚至出現(xiàn)虛假邊緣，去噪后PSNR下降，但保護(hù)圖像強(qiáng)邊緣。當(dāng)T=1.1時，雖然圖像中各個目標(biāo)輪廓清晰（強(qiáng)邊緣），但由于紋理損失較大，圖像PSNR為12.91 dB。為了保護(hù)圖像邊緣紋理信息，同時殘余噪聲較小，本文閾值T取為0.5。

圖3 不同閾值T的去噪結(jié)果

噪聲圖像包含了邊緣紋理信息，為了保護(hù)圖像邊緣紋理，在擴(kuò)散處理中依權(quán)重λ考慮噪聲圖像的相關(guān)信息。權(quán)重λ大小在一定程度上決定了邊緣紋理的保護(hù)能力，當(dāng)λ相對于鄰域權(quán)重較小時，去噪后殘余噪聲較小，但邊緣紋理模糊嚴(yán)重；反之，保邊性較好，殘余噪聲較大。對含有高斯噪聲的Lena圖像運(yùn)用不同λ處理的結(jié)果如圖4所示，當(dāng)1.0λ=時，PSNR為19.14 dB，圖像的強(qiáng)邊緣保護(hù)較好，但紋理區(qū)存在一定程度的模糊，平滑區(qū)存在過度平滑，偽邊緣嚴(yán)重；增大λ，平滑區(qū)的偽邊緣減少，圖像的整體質(zhì)量提高；當(dāng)λ=2.0時，PSNR為27.67 dB；如繼續(xù)增大λ，圖像邊緣保護(hù)較好，但平滑區(qū)殘余噪聲增大使得PSNR降低，當(dāng)λ=3.0時，PSNR為19.16 dB。為了保護(hù)圖像邊緣紋理信息，本文權(quán)重λ取為2.0。

圖4 不同λ的去噪結(jié)果

在處理器為Intel-Core i5CPU @3.40 GHz，RAM為4 GB，VC6.0的環(huán)境下，本文算法對圖3a的噪聲圖像迭代40次收斂，CPU的運(yùn)行時間為1.52 s。其迭代次數(shù)與圖像PSNR之間的關(guān)系如圖5a所示，前20次迭代圖像的PSNR提高較快，將PSNR從12.03 dB提高到20.15 dB；隨迭代次數(shù)增加，圖像質(zhì)量改善速度下降，后20次僅僅提高了1.15 dB。傳統(tǒng)TV［14］（λ=3.0）需迭代445次收斂，CPU的運(yùn)行時間為12.8 s，其迭代次數(shù)與PSNR之間的關(guān)系如圖5b所示。

為了驗證算法的有效性，對疊加不同高斯噪聲的圖像分別運(yùn)用本文算法、高斯平滑（為了提高去噪效果，不同含噪圖像高斯核參數(shù)σ不同：Lena圖像σ=0.8；peppers圖像σ=1.4；baboon圖像σ=2.0）、和傳統(tǒng)TV［14］（λ=3.0）進(jìn)行去噪處理，其部分結(jié)果如圖6所示，去噪后圖像的PSNR和SSIM［15］如表1所示。從PSNR的角度看，該算法比高斯平滑去噪效果好，比傳統(tǒng)全變分去噪質(zhì)量略高。從視覺效果上看，該算法的保邊性與傳統(tǒng)全變分相當(dāng)，兩者SSIM差異不大。不同算法CPU的運(yùn)行時間如表2所示。從表2可見，高斯平滑的系統(tǒng)運(yùn)行時間最少，該算法對平滑區(qū)域進(jìn)行各向同性擴(kuò)散，其運(yùn)行時間比傳統(tǒng)TV短。同時隨著噪聲圖像的質(zhì)量下降（PSNR變?。撍惴ǖ娜ピ霑r間變長。

圖5 迭代次數(shù)與PSNR之間的關(guān)系

圖6 不同算法比較

表1 不同去噪算法的質(zhì)量評價

表2 不同去噪算法的CPU時間 單位：s

4 結(jié) 束 語

為了實現(xiàn)快速地保邊去噪，本文將各向同性和異性擴(kuò)散方式有機(jī)結(jié)合，從噪聲對像素變化的影響出發(fā)設(shè)計了新的擴(kuò)散函數(shù)，結(jié)合傳統(tǒng)全變分圖像去噪模型，提出了改進(jìn)的全變分圖像去噪。以梯度幅度將圖像分為平滑區(qū)和邊緣紋理區(qū)，對不同區(qū)域建立相應(yīng)的偏微分方程，利用固定點(diǎn)迭代算法設(shè)計了相應(yīng)的離散迭代函數(shù)。實驗結(jié)果表明，該擴(kuò)散函數(shù)在邊緣紋理區(qū)各向同異擴(kuò)散，保護(hù)了圖像邊緣；在平滑區(qū)各向同性擴(kuò)散，降低了系統(tǒng)運(yùn)行時間，彌補(bǔ)傳統(tǒng)全變分去噪算法單向擴(kuò)散的不足。

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編 輯 黃 莘

Image Denoising on Improved Total Variation

HE Kun1， ZHENG Xiu-qing2， JU Sheng-gen1， and ZHANG Yong-lai2
（1. School of Computer Science， Sichuan University Chengdu 610065；2. College of Information and Technology， Sichuan Normal University Chengdu 618300）

By analyzing the mechanism of isotropic and anisotropic diffusion in image denoising， a new diffusion function based on the effect of noise on the image pixel variation is designed in this paper. The diffusion performance of this function is isotropic diffusion in the smoothing sub-region and anisotropic diffusion on the edge. Then， an improved total variation denoising model is proposed based on the traditional total variation （TV），and the corresponding discrete iterative function is designed by using the fixed point iteration algorithm. The algorithm uses isotropic diffusion on the smooth region， inheriting the advantages of the isotropic diffusion，reducing the running time of the traditional TV， and protecting the edge by using anisotropic diffusion. Experimental results show that this algorithm can improve image peak signal to noise ratio （PSNR） and visual effects.

anisotropic； diffusion function； image denoising； isotropic； total variation

TP394.1

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.026

2014 - 07 - 16；

2016 - 01 - 19

四川省科技支撐計劃（2013SZ0157）

何坤（1972 - ），男，博士，副教授，主要從事圖像處理、模式識別等方面的研究.