“現(xiàn)代信號處理”課程中功率譜估計(jì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

朱周華

(西安科技大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 陜西 西安　710054)

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“現(xiàn)代信號處理”課程中功率譜估計(jì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

朱周華

(西安科技大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 陜西 西安710054)

針對“現(xiàn)代信號處理”中功率譜估計(jì)學(xué)習(xí)困難的問題,設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了功率譜估計(jì)的綜合實(shí)驗(yàn),包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)使學(xué)生能更好地理解和掌握本章節(jié)的基本理論,并能提高學(xué)生的應(yīng)用能力,實(shí)踐表明,該實(shí)驗(yàn)在課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中取得了良好的教學(xué)效果。

功率譜估計(jì)； 綜合實(shí)驗(yàn)； 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

“現(xiàn)代信號處理”是信號處理學(xué)科高年級或者研究生一年級重要的一門專業(yè)課程。隨著學(xué)科之間的交叉與融合,“現(xiàn)代信號處理”課程已經(jīng)滲透到現(xiàn)代通信和雷達(dá)工程以及控制科學(xué)與工程等學(xué)科,并促進(jìn)和帶動其發(fā)展與進(jìn)步。功率譜估計(jì)是“現(xiàn)代信號處理”課程中很重要的一章,在生物醫(yī)學(xué)信號、雷達(dá)信號等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1],其理論知識和算法繁雜、公式繁多,學(xué)生掌握起來有一定的困難。本文針對上述問題設(shè)計(jì)了綜合實(shí)驗(yàn),包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法,并制作了良好的界面,可以深刻、直觀地理解各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。實(shí)踐表明,該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)對增加學(xué)生的感性認(rèn)識、理解譜估計(jì)的理論、掌握各種算法、提高學(xué)習(xí)興趣能起到積極的作用。

1　經(jīng)典譜估計(jì)

經(jīng)典譜估計(jì)方法包括周期圖法、BT法以及周期圖改進(jìn)算法(Bartlett和Welch法)[1-2]。

1.1周期圖法

(1)

1.2BT法

(2)

其中

(3)

1.3改進(jìn)的周期圖法

改進(jìn)的周期圖法[3]的主要思想是把一長度為N的數(shù)據(jù)x(n)分成L段,分別求每段的功率譜,然后再加以平均,最終達(dá)到希望的目的，改進(jìn)的有效的估計(jì)值。主要方法有:Bartlett法和Welch法。

1.3.1Bartlett法

Bartlett法[3-4]是先把序列x(n)分成L段,然后計(jì)算每組觀測數(shù)據(jù)的周期圖,最后將每組的周期圖求和,再進(jìn)行平均作為功率譜的估計(jì)。

假設(shè)xi(n),i=1,2,…,L為隨機(jī)過程x(n)的L個(gè)互不相關(guān)的實(shí)現(xiàn),且每個(gè)xi(n)的長度為M,即n=0,1,…,M-1。

這樣,xi(n)的周期圖為

(4)

將得到的L個(gè)周期圖進(jìn)行平均,作為功率譜估計(jì),即

(5)

1.3.2Welch法譜估計(jì)

Welch法[5-6]對Bartlett法進(jìn)行了2點(diǎn)改進(jìn)。首先,Welch法將x(n)的分段方法進(jìn)行了改進(jìn),它允許每一段的數(shù)據(jù)與相鄰的數(shù)據(jù)段可以有一定的重疊。其次,每一段的數(shù)據(jù)加窗可以不是矩形窗,如漢明窗和布萊克曼窗,這樣可以改善矩形窗旁瓣較大引起的譜失真。

(6)

U是歸一化因子,使用它是為了保證所得到的譜是漸近無偏估計(jì)

故Welch法譜估計(jì)的表達(dá)式為

(7)

對以上方法采用Matlab編程可以看到仿真結(jié)果，如圖1所示。

圖1　經(jīng)典譜估計(jì)算法仿真結(jié)果圖

從圖1中4種估計(jì)方法的功率譜圖,很明顯可以看到直接法效果最差,而Welch法效果最好。

2　現(xiàn)代譜估計(jì)

現(xiàn)代譜估計(jì)的內(nèi)容十分豐富,主要有AR模型法、MA模型法、ARMA模型法、PRONY指數(shù)模型法等參數(shù)模型法以及最小方差法、多信號分類MUSIC法等非參數(shù)模型[7-8]。在這里,主要設(shè)計(jì)了關(guān)于AR模型法的3種方法的功率譜估計(jì)。

2.1AR模型

AR模型[8]又稱為自回歸模型,該模型現(xiàn)在的輸出是現(xiàn)在的輸入和過去p個(gè)輸出的加權(quán)和,它是一個(gè)全極點(diǎn)模型。該模型現(xiàn)在的輸出是現(xiàn)在的輸入和過去p個(gè)輸出的加權(quán)和,時(shí)域模型、系統(tǒng)函數(shù)以及功率譜公式如(8)(9)(10)所示。

(8)

(9)

(10)

從公式(10)可以知道,AR模型為基礎(chǔ)的功率譜估計(jì)就必須指導(dǎo)模型階次p和p個(gè)AR系數(shù)以及模型激勵(lì)源的方差σ2,而將這些參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來的就是Yule-Walker方程。

2.2Levinson-Durbin遞推算法求解AR模型參數(shù)

Levinson-Durbin遞推算法[8]是一種比較快速求解Yule-Walker方程的遞推算法,其基本方法是依據(jù)Yule-Walker方程和自相關(guān)序列的遞推性,逐次增加模型的階數(shù)進(jìn)行遞推計(jì)算。當(dāng)?shù)鸵浑A的AR模型系數(shù)已知時(shí),可由遞推來得到高一階的AR模型參數(shù)。先計(jì)算m=1時(shí)的預(yù)測系數(shù)a1(1)和ρ1,然后計(jì)算m=2時(shí)的預(yù)測系數(shù)a2(1),a2(2)和ρ2,一直計(jì)算到m=p階的預(yù)測系數(shù)aP(1),aP(2),……,aP(P)和ρp。當(dāng)計(jì)算滿足要求時(shí)就可以停止遞推。

Levinson-Durbin遞推算法如下:

(11)

(12)

(13)

從上面3個(gè)算法公式可知,運(yùn)用Levinson-Durbin算法時(shí),需要知道自相關(guān)函數(shù),同時(shí)還需要給定初始值以及AR模型的階數(shù)p,實(shí)際應(yīng)用中,常需根據(jù)信號的有限個(gè)取樣值來估計(jì)AR模型的參數(shù),應(yīng)用的最多的有3種方法:自相關(guān)法、Burg法、協(xié)方差法[9]。

2.2.1自相關(guān)算法

自相關(guān)法是求解AR模型參數(shù)最簡單的一種方法,其出發(fā)點(diǎn)是選擇AR模型的參數(shù)使其前向預(yù)測誤差的功率最小。然后再由Lenvison-Durbin算法來解的AR模型的參數(shù),最后將求得的參數(shù)代入AR模型信號的功率譜表達(dá)式(10),求出功率譜。

2.2.2Burg法

自相關(guān)法需要先由觀測數(shù)據(jù)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù),Burg算法不需要對自相關(guān)函數(shù)估計(jì),直接用前后向線性預(yù)測系數(shù)的遞推關(guān)系,求出反射系數(shù),再由之前的遞推算法求得AR模型參數(shù)。由于Burg算法避免了估計(jì)自相關(guān)函數(shù),使得其短數(shù)據(jù)的譜估計(jì)比自相關(guān)法要精確。

2.2.3改進(jìn)的協(xié)方差法

改進(jìn)的協(xié)方差法是令前后預(yù)測誤差功率之和為最小來估計(jì)出AR模型參數(shù),進(jìn)而求得估計(jì)信號的功率譜。改進(jìn)的協(xié)方差法除了計(jì)算協(xié)方差系數(shù)cxx(j,k)不同外,也不可用Levinsion遞推算法求解,改進(jìn)的協(xié)方差法適合估計(jì)正弦波頻率。雖然能夠得到高分辨率且統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定的譜估計(jì),但計(jì)算較麻煩,編程也較困難[9]。

對以上方法采用Matlab編程仿真,可得到如圖2所示的結(jié)果。由圖2結(jié)果可知,Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率。改進(jìn)協(xié)方差法的分辨率要優(yōu)于自相關(guān)法,能夠有效地估計(jì)正弦信號。

圖2　現(xiàn)代譜估計(jì)算法仿真結(jié)果圖

3　界面設(shè)計(jì)

為了讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中掌握界面設(shè)計(jì)的方法,更好地對比各種方法的性能,對經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)利用Matlab中的GUI功能可設(shè)計(jì)界面[10-11]圖3、圖4所示，分別為經(jīng)典譜的估計(jì)算法比較和現(xiàn)代譜估計(jì)中AR的3種方法比較的界面設(shè)計(jì)。

在圖3中,上面坐標(biāo)軸顯示加有高斯白噪聲的正弦信號時(shí)域圖,下面坐標(biāo)軸顯示經(jīng)典譜估計(jì)中周期圖法、BT法和Welch法的功率譜圖形的比較,可以明顯看到,Welch法的分辨率要優(yōu)于其他2種方法,在圖4中,也可以看到協(xié)方差法明顯優(yōu)于其他方法。

圖3　經(jīng)典譜估計(jì)法比較

圖4　AR譜估計(jì)法比較

4　結(jié)語

綜上所述,通過對功率譜估計(jì)算法的學(xué)習(xí),利用Matlab及其GUI功能所設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)各種算法的功率譜估計(jì)并加以比較,可以很清晰明了地看到算法的分辨率高低及其方差的大小,這樣在具體實(shí)踐中就可以選擇合適的算法[12],使學(xué)生有效地將理論與實(shí)踐結(jié)合在一起,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力,為后面相關(guān)方向的研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

References)

[1] 姚天任,孫洪.現(xiàn)代信號處理[ M] .武漢:華中科技大學(xué)出版社,1999.

[2] John G Proakis,Dimitris G Manolakis.數(shù)字信號處理:原理、算法與應(yīng)用[M].3 版.張曉林,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2004.

[3] 沈捷,王莉.數(shù)字信號處理教學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件包的GUI設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J].實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理,2008,25(2):88-91.

[4] 張賢達(dá).現(xiàn)代信號處理[ M] .北京:清華大學(xué)出版社,1995.

[5] 肖天賜.現(xiàn)代譜估計(jì)原理與應(yīng)用[ M] .哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1991.

[6] 沈鳳麟,葉中付,錢玉美.信號統(tǒng)計(jì)分析與處理[ M] .合肥:中國科技大學(xué)出版社,2002.

[7] 楊蔚原.Welch功率譜估計(jì)方法的參數(shù)選擇[J].環(huán)境技術(shù),2009(5):23-27.

[8] 伊鑫,曲愛華.基于Welch算法的經(jīng)典功率譜估計(jì)的Matlab分析[J].現(xiàn)代電子技術(shù),2010(3):7-9.

[9] 施曉紅,周佳.精通GUI圖形界面編程[ M] .北京:北京大學(xué)出版社,2003.

[10] 張佳明,馬秀榮.非參數(shù)模型譜估計(jì)算法性能比較J].天津理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,25(4):19-22.

[11] KAY S M.Modem spectral estimation:theory and application[M]. NJ:Prentice Hall,1998.

[13] Laguna Moody Mark. Power spectral density of unevenly sampled Heart rate data[J].Digital Object Identifier,2002,1(2):157-159.

Experimental design of power spectrum estimation in Modern Signal Processing course

Zhu Zhouhua

(School of Communication and Information Engineering ,Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China)

Aiming at the problem of learning difficulties on the power spectrum estimation in the Modern Signal Processing course, the experiment of spectrum estimation is designed and realized. It includes classical spectral estimation and modern spectral estimation methods. The design of experimental enables students to better understand and master the basic theory of this chapter,and can improve the students’ application ability. The practice shows that the experiments have a good effect in the teaching of the course.

power spectrum estimation; comprehensive experiment; experimental design

10.16791/j.cnki.sjg.2016.09.047

2016-03-10

省級質(zhì)量工程“電子信息工程專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目”(陜教高[2014]15號)；西安科技大學(xué)2013年度校級研究生精品課程項(xiàng)目“數(shù)字信號處理(2)”(7305002)

朱周華,(1976—),女,陜西蒲城,碩士,副教授,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)樾盘柼幚砑皩?shí)現(xiàn).

E-mail：zhuzhouhua@xust.edu.cn

TN911.72

A

1002-4956(2016)9-0178-04