多元轉(zhuǎn)化，妙解數(shù)學(xué)難題

吳曉英

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)在高考中的重要地位不言而喻，不僅是學(xué)生決勝高考的重點(diǎn)科目，同時(shí)是學(xué)生推理判斷能力和邏輯思維能力養(yǎng)成和鍛煉的載體學(xué)科，因此高中生在學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的同時(shí)需要通過對數(shù)學(xué)難題的解答培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力. 作為一種重要的數(shù)學(xué)解題思想，多元轉(zhuǎn)化在學(xué)生數(shù)學(xué)解題中的地位不可小覷，是學(xué)生解答數(shù)學(xué)難題的 “法寶”，高中生要巧妙地用好這一法寶，從而妙解數(shù)學(xué)難題.

[關(guān)鍵詞] 多元轉(zhuǎn)化；巧妙解題；高中數(shù)學(xué)

轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的一種重要的解題思想，通過對相應(yīng)題目進(jìn)行的巧妙轉(zhuǎn)化的分析，很多看似無從下手的數(shù)學(xué)難題就迎刃而解了. 多元轉(zhuǎn)化不僅是一種解題方法，更為學(xué)生提供了一種有效的解題理念. 學(xué)生通過巧妙應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)思維能力得到了切實(shí)的提升，數(shù)學(xué)解題思路因此變得更為寬闊. 我們對高考中的數(shù)學(xué)難題進(jìn)行細(xì)致的分析后發(fā)現(xiàn)，許多看似困難的難題其本質(zhì)其實(shí)并不困難，經(jīng)過巧妙地轉(zhuǎn)化后解題過程其實(shí)并沒有我們想象的復(fù)雜.

去偽存真，識得難題本質(zhì)

轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是對待解答的題目進(jìn)行綜合的分析和轉(zhuǎn)化，通過學(xué)生對題干認(rèn)真細(xì)致的分析和判斷，將學(xué)生看到的表面的形式樣的東西具體細(xì)化為數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)知識點(diǎn). 進(jìn)行多元轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的過程中練就一雙“火眼金睛”，在對數(shù)學(xué)難題進(jìn)行解答的過程中可以做到“去偽存真”，識別數(shù)學(xué)難題的本質(zhì)，直中要害，最終達(dá)到精準(zhǔn)解題的目標(biāo).

例如在學(xué)習(xí)《指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》一章節(jié)知識內(nèi)容的時(shí)候，學(xué)生可能會遇到類似于比較大小類型的試題，如已知指示函數(shù)f（x）=2x，若00，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的特點(diǎn)，可以得出2x1>0、2x2-x1-1>0，由此得出f（x2）-f（x1）>0，最終推導(dǎo)出f（x1）

應(yīng)用常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法對該函數(shù)進(jìn)行解答固然可以算出正確答案，然而運(yùn)算過程復(fù)雜，計(jì)算量較大. 因此授課教師在引導(dǎo)學(xué)生對類似題目進(jìn)行解答時(shí)可以應(yīng)用多元轉(zhuǎn)化的思想將題目進(jìn)行轉(zhuǎn)換：已知00時(shí)函數(shù)的單調(diào)性變化，如果我們牢固掌握指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)并具備對函數(shù)的多元轉(zhuǎn)化能力，那么這道難題也就迎刃而解了.

化繁為簡，優(yōu)化難題條件

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來之所以比較困難，不僅是因?yàn)槠浣忸}過程較為復(fù)雜，更是由于很多數(shù)學(xué)難題的解題步驟復(fù)雜，運(yùn)算量極大. 在高考兩個(gè)小時(shí)的有限時(shí)間里，高強(qiáng)度的運(yùn)算量和高度緊張的精神狀態(tài)對學(xué)生來說都是較大的挑戰(zhàn)，很多學(xué)生因此與名牌大學(xué)失之交臂.因此授課教師在對學(xué)生進(jìn)行課程講述時(shí)，可以將多元轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)難題的解答中，將看似困難復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行簡化，優(yōu)化解題條件，最終達(dá)到精準(zhǔn)化解題的目的.

例如在學(xué)習(xí)《直線與圓的位置關(guān)系》這一章節(jié)內(nèi)容的時(shí)候，學(xué)生可能會遇到求直線與圓的位置關(guān)系的試題. 如：已知直線方程l1：3x+4y-3=0，圓的方程為（x-2）2+（y+3）2=9，問該直線與圓的位置如何？學(xué)生在解答該題目時(shí)，可能最先想到是直接作圖法，通過對圖形的直觀判斷可以得出最后的結(jié)果. 這種常規(guī)解題方法雖然可以得出正確的結(jié)果，但對圖形的精確度要求極高，需要極其規(guī)范的尺規(guī)作圖，任何一點(diǎn)小的瑕疵和疏忽都可能導(dǎo)致“謬以千里”. 在高考數(shù)學(xué)考試中，每一分鐘都顯得十分寶貴，所以更需要學(xué)生在解題時(shí)有惜時(shí)如金的時(shí)間意識，如果學(xué)生在解題中應(yīng)用幾何方法進(jìn)行解題，學(xué)生無疑會花費(fèi)大量的時(shí)間在精細(xì)化作圖上，為一個(gè)問題浪費(fèi)大量的時(shí)間同時(shí)，與全局觀念也背道而馳了.

因此授課教師在授課過程中需要逐步引導(dǎo)學(xué)生樹立多元轉(zhuǎn)化的意識，化繁為簡，優(yōu)化難題條件，尋找解題的最佳方法，最終一舉將難題攻克. 通過對該問題的巧妙轉(zhuǎn)化，求直線與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為求圓心到該直線的距離m，最后比較m與圓的半徑r的關(guān)系即可確定直線的與圓的位置關(guān)系. 多元轉(zhuǎn)化不僅大大簡化做題步驟，而且大大減少了運(yùn)算量，提高了準(zhǔn)確率.

放飛思維，拓展難題外延

多元轉(zhuǎn)化不僅能幫助學(xué)生去偽存真，識得難題本質(zhì)；化繁為簡，優(yōu)化難題條件.更能在解題中拓寬學(xué)生的解題思路，為學(xué)生提供更多關(guān)于解題的好思路和好想法，使學(xué)生能在解題中擺脫傳統(tǒng)思維的禁錮，放飛思維，拓展難題的外延，用最便捷的解題方法進(jìn)行解題.

例如在學(xué)習(xí)《二次函數(shù)的解》相關(guān)章節(jié)內(nèi)容的時(shí)候，學(xué)生可能會遇到探究含有參數(shù)二次函數(shù)的解的相關(guān)問題. 如已知二次函數(shù)y=ax2+3x+3，若已知該函數(shù)圖象在x>0的區(qū)間內(nèi)與x軸無交點(diǎn)，求a的取值范圍. 學(xué)生在解答該題目時(shí)，如果按照常規(guī)解題法，可能會無所適從，因?yàn)槲覀冊谡n堂上學(xué)習(xí)的二次函數(shù)中的二次函數(shù)項(xiàng)a、一次項(xiàng)b和常數(shù)項(xiàng)c都是已知的，因此我們可以很容易地得出二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等等，但對其逆過程的推導(dǎo)是學(xué)生在課堂不曾學(xué)到的，因此使學(xué)生逐步具備多元轉(zhuǎn)化能力，幫助學(xué)生逐步突破常規(guī)，具備創(chuàng)造性思維就顯得頗為重要.

授課教師不僅應(yīng)該充當(dāng)學(xué)生知識的傳播者，更應(yīng)該成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的引導(dǎo)者. 授課教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對該題目進(jìn)行分情況討論. 分別對a>0、a=0、a<0這三種情況進(jìn)行討論，再對每一種情況下的具體圖形進(jìn)行具體分析，最終就可以得出答案. 通過巧妙應(yīng)用多元轉(zhuǎn)化的思想，學(xué)生可以通過對題目的練習(xí)來培養(yǎng)自己的逆向思維能力和分組討論能力，從而輕松應(yīng)對各種數(shù)學(xué)難題.

隨機(jī)應(yīng)變，獨(dú)辟難題蹊徑

學(xué)生想要在高考數(shù)學(xué)中取得好成績，除了需要具備扎實(shí)的基本功、夜以繼日的勤學(xué)苦練外，還需要學(xué)生在解題過程中具備些許的“靈氣”. 在此處所謂的“靈氣”就是指學(xué)生在解題中需要具備的隨機(jī)應(yīng)變能力. 在大力提倡素質(zhì)教育的今天，我們摒棄應(yīng)試教育單純以分?jǐn)?shù)作為評價(jià)學(xué)生的唯一指標(biāo). 我們進(jìn)行教育的目的是將學(xué)生培養(yǎng)成為充滿靈氣的朝氣蓬勃的人，讓他們能在解答數(shù)學(xué)難題中學(xué)會另辟蹊徑，更能在解決生活難題中匠心獨(dú)運(yùn)，輕松解答.

例如在學(xué)習(xí)《圓與圓位置關(guān)系》，學(xué)生可能遇到類似如下這樣的問題：已知兩圓的方程分別為（x-2）2+（y+3）2=9、x2+y2=16，那么兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？通過課堂中對圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)，我們知道圓的位置關(guān)系不外乎：相交、相離、外切、內(nèi)切、包含這幾種情況. 對該題目進(jìn)行解答時(shí)，很多學(xué)生會選擇常規(guī)作圖的方法，既直觀，又十分契合題意，但其缺點(diǎn)也十分顯著——耗時(shí)且對圖形準(zhǔn)確度的要求較高.因此在解答該題目時(shí)需要學(xué)生應(yīng)用發(fā)散性思維能力，突破定式思維對學(xué)生思想的禁錮，尋找解答該題目的最佳方案.

授課教師在授課時(shí)可以通過課堂中習(xí)題的訓(xùn)練，將兩圓心之間的距離與兩個(gè)圓的半徑進(jìn)行對比，以此來間接求得兩圓之間的位置關(guān)系. 通過授課教師的巧妙轉(zhuǎn)化，幾何問題就轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間線段長度的問題. 通過這種方式，開辟了一條解題新通路.

作為一種重要的數(shù)學(xué)解題思想，多元轉(zhuǎn)化在學(xué)生數(shù)學(xué)解題中的地位不可小覷，是學(xué)生解答數(shù)學(xué)難題的 “法寶”，高中生要巧妙的用好這一法寶. 多元轉(zhuǎn)化具有：去偽存真，識得難題本質(zhì)；化繁為簡，優(yōu)化難題條件；放飛思維，拓展難題外延；隨機(jī)應(yīng)變，獨(dú)辟難題蹊徑等特點(diǎn)，我們更應(yīng)該在學(xué)習(xí)中巧妙應(yīng)用，從而為妙解數(shù)學(xué)難題提供更多思路.