基于序列二次規(guī)劃的粒子濾波算法

李　凡，畢紅葵，段　敏，喻晨龍，豐　驍

(空軍預(yù)警學(xué)院 a. 研究生管理大隊；　b. 陸基預(yù)警監(jiān)視裝備系，　武漢 430019)

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·數(shù)據(jù)處理·

基于序列二次規(guī)劃的粒子濾波算法

李凡a，畢紅葵b，段敏b，喻晨龍a，豐驍a

(空軍預(yù)警學(xué)院 a. 研究生管理大隊；b. 陸基預(yù)警監(jiān)視裝備系，武漢 430019)

針對傳統(tǒng)粒子濾波(PF)沒有引入當(dāng)前信息，并存在粒子退化的問題，提出了一種基于序列二次規(guī)劃(SQP)多級優(yōu)化的PF算法。首先，基于殘差分布特性采用置信區(qū)間剔除較大偏差粒子，調(diào)整粒子權(quán)值分布；然后，將重采樣后的粒子映射到集合U，根據(jù)集合U中各粒子復(fù)制次數(shù)建立多級優(yōu)化模型，通過SQP求解模型的參數(shù)值，當(dāng)前后兩級模型優(yōu)化參數(shù)差異小于門限時，輸出最后一級優(yōu)化參數(shù)為濾波結(jié)果；最后，為防止過度采樣導(dǎo)致粒子退化，利用濾波值及其協(xié)方差采樣新粒子。仿真實驗表明：SQP-PF算法在跟蹤精度，粒子多樣性方面優(yōu)于傳統(tǒng)PF算法。

粒子濾波；序列二次規(guī)劃；多級優(yōu)化；置信區(qū)間

0　引　言

粒子濾波(PF)算法是一種基于Monte-Carlo仿真的最優(yōu)回歸貝葉斯濾波算法，廣泛用于機(jī)動目標(biāo)以及多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域[1-5]，理論上適用任何噪聲環(huán)境下的線性以及非線性目標(biāo)跟蹤問題[6]。但其概率密度沒有引入當(dāng)前信息導(dǎo)致大多粒子偏差較大，并且粒子退化問題嚴(yán)重。文獻(xiàn)[7-12]通過擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)將最新觀測信息引入PF的分布函數(shù)中，提出擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波、無跡粒子濾波算法，其后驗概率分布更貼近真實分布，提高了跟蹤精度，但對粒子退化問題改善不大。同時，由于EKF、UKF算法本身的局限性，在目標(biāo)機(jī)動突變時容易出現(xiàn)誤差尖峰。文獻(xiàn)[13]提出一種基于有效粒子數(shù)門限判決的方法進(jìn)行不完全重采樣，解決了粒子退化問題，降低算法的運算負(fù)荷，但粒子耗盡問題嚴(yán)重。文獻(xiàn)[14]提出一種加入混沌序列擾動粒子群優(yōu)化的粒子濾波算法，混沌序列遍歷性、隨機(jī)性特點避免粒子群陷入局部最優(yōu)，改善初始粒子質(zhì)量，但低維混沌序列參數(shù)簡單且對初值極為敏感。文獻(xiàn)[15]提出一種重采樣過程中基于被復(fù)制粒子與被拋棄粒子的線性組合產(chǎn)生新的粒子，增加粒子多樣性，但算法的步長系數(shù)難以確定，且與經(jīng)過線性組合的粒子相關(guān)。文獻(xiàn)[16]提出一種分類權(quán)值局部重采樣的PF，通過保留中權(quán)值粒子，大、小權(quán)值粒子組合產(chǎn)生新粒子抑制粒子過度采樣，但權(quán)值分類較為困難。文獻(xiàn)[17]提出使用模擬退火法通過遞推更新系統(tǒng)模型的方式，實現(xiàn)重要性密度函數(shù)的在線更新，提高算法精度，但其收斂速度慢且對先驗參數(shù)設(shè)置敏感。

本文針對PF算法沒有引入最新觀測信息并存在粒子退化的問題，提出一種基于序列次規(guī)劃(SQP)多級優(yōu)化的SQP-PF算法。傳統(tǒng)PF算法粒子相異性較差，重采樣導(dǎo)致大量小權(quán)值粒子被刪除而大權(quán)值粒子多次復(fù)制，SQP-PF算法基于粒子殘差統(tǒng)計特性分析，根據(jù)置信水平1-α選取置信區(qū)間內(nèi)粒子，減小粒子權(quán)值分布跨度，并保證重采樣的粒子基數(shù)；在重采樣過程中，引用數(shù)學(xué)集合的概念，將重采樣后粒子映射到集合U，利用U中粒子復(fù)制次數(shù)建立約束條件更新的多級優(yōu)化模型，通過SQP求解引入最新觀測信息模型參數(shù)，將PF濾波轉(zhuǎn)化為非線性的SQP多級優(yōu)化求解問題，當(dāng)前后兩級優(yōu)化的結(jié)果差異小于門限時，輸出最后一級優(yōu)化參數(shù)為濾波結(jié)果；同時，利用濾波值及其協(xié)方差隨機(jī)采樣新粒子并入U中作為下一時刻初始粒子，改善粒子質(zhì)量，保證粒子多樣性，防止粒子過度采樣導(dǎo)致跟蹤失敗。

1　SQP-PF算法

PF算法核心思想是用一組離散帶權(quán)值的粒子表示目標(biāo)狀態(tài)，通過粒子預(yù)測、權(quán)值計算，經(jīng)過重采樣粒子的加權(quán)和作為最終的濾波輸出。設(shè)系統(tǒng)空間狀態(tài)模型為

X(k)=f(X(k-1), n(k-1))+Γ(k)n(k)

(1)

Z(k)=h(X(k),w(k))

(2)

式中：X(k)、Z(k)分別為k時刻目標(biāo)狀態(tài)向量與觀測向量；f(·)、h(·)分別為系統(tǒng)狀態(tài)方程與量測方程；Γ(k)為已知控制矩陣；n(k)、w(k)分別為獨立的過程噪聲向量、觀測噪聲向量。

1.1粒子篩選與重采樣

在傳統(tǒng)PF算法中，沒有引入當(dāng)前觀測信息，其重要密度函數(shù)(IDF)所取粒子樣本與實際后驗分布樣本偏差較大，IDF得到的大部分粒子對概率密度函數(shù)的貢獻(xiàn)幾乎為零，重采樣后大權(quán)值粒子大量復(fù)制，導(dǎo)致下一時刻粒子相異性減弱，粒子的費效比很低[18-19]。本文基于綜合殘差分布特性，結(jié)合置信水平1-α確定置信區(qū)間，篩選區(qū)間內(nèi)樣本粒子。假定第i個粒子的預(yù)測殘差為

Γ(k)n(k))]

(3)

(4)

1.2基于粒子復(fù)制次數(shù)的多級優(yōu)化模型

(5)

(6)

(7)

圖1　SQP-PF算法流程圖

算法具體步驟如下：

步驟1樣本粒子及粒子權(quán)值初始化。

2　仿真分析

假定目標(biāo)在15 km高空釋放，巡航段有動力跳躍三次，無動力跳躍兩次，最大飛行速度15.52 Ma，最大轉(zhuǎn)彎速度3.14 rad/s，最大飛行高度96.93 km，全彈道射程988.97 km，飛行時間450 s。全彈道真實運動模式復(fù)雜，機(jī)動能力較強(qiáng)。為便于說明，選擇標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波(SIR)、輔助粒子濾波(APF)[22]以及SQP-PF算法進(jìn)行對比，設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(8)

控制矩陣為

(9)

觀測噪聲w(k)、過程噪聲n(k)分別為服從N(0,400)分布的高斯隨機(jī)噪聲，采樣時間間隔為1 s，取1-α=0.95，進(jìn)行100次Monte-Carlo仿真，粒子數(shù)量Ns1=1 000。

2.1跟蹤精度比較

圖2a)給出了三種算法的濾波結(jié)果比較，SIR算法在機(jī)動較弱的上升段與APF算法以及SQP-PF算法跟蹤精度相近。在機(jī)動較強(qiáng)的巡航段，SIR算法濾波軌跡“毛刺”較多，機(jī)動轉(zhuǎn)彎時刻濾波軌跡與真實軌跡偏離程度較大，APF次之，SQP-PF偏離程度最小。

圖2　濾波結(jié)果比較

從圖2b)、圖2c)中可以看出，SQP-PF算法位置誤差均方根值比SIR與APF的小。SIR整體誤差均方根值起伏較大，穩(wěn)定性較差，SIR算法重采樣后大權(quán)值粒子復(fù)制次數(shù)較高，其對應(yīng)的粒子相異性也較差，可能導(dǎo)致下一時刻粒子分布過于集中，難以描述目標(biāo)真實狀態(tài)，進(jìn)而出現(xiàn)跟蹤誤差急劇增大，APF跟蹤精度有所提高但對誤差突變點改善不大；SQP-PF誤差水平相對較小且較為均衡，誤差突變點較少。

SIR與APF在重采樣過程中刪除大量小權(quán)值粒子，這些粒子可能是位于下一時刻高似然區(qū)域的“潛力粒子”[10]，造成跟蹤精度降低；此外，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動時，可能出現(xiàn)樣本估計無法提供足夠的信息，導(dǎo)致APF引入當(dāng)前觀測方法失效。SQP-PF算法根據(jù)粒子復(fù)制次數(shù)建立約束條件更新的多級優(yōu)化模型，代替SIR中基于粒子復(fù)制次數(shù)為權(quán)值的簡單求和，使用SQP求解引入當(dāng)前最新觀測信息的優(yōu)化模型，最后濾波結(jié)果采樣新粒子，在提高跟蹤精度的同時避免出現(xiàn)大量“潛力粒子”丟失的問題。

2.2粒子多樣性比較

選取k=450 s重采樣前三種算法的粒子權(quán)值分布進(jìn)行比較，如圖3所示。

圖3　粒子權(quán)值分布示意圖

由圖3可以看出，SIR算法大部分粒子權(quán)值趨近于零，粒子退化問題較嚴(yán)重，整體粒子分布差異較大，兩極分化嚴(yán)重，極少數(shù)的幾個粒子點權(quán)值很大，造成重采樣過程中多次被復(fù)制，有效粒子少；APF引入當(dāng)前觀測信息提高了濾波精度，選擇高似然性的粒子作為先驗對粒子退化有一定的抑制效果，但依然存在較多粒子權(quán)值為零；SQP-PF算法在上一時刻只保留不重復(fù)的粒子集合U，同時基于濾波結(jié)果采樣Ns-r新粒子，有效地解決了粒子退化的問題，保證大部分粒子為有效粒子點。

2.3粒子相異性比較

將k=450 s三種算法重采樣后的粒子與當(dāng)前時刻目標(biāo)真實位置的分布進(jìn)行比較，如圖4所示。

圖4　粒子分布示意圖

由圖4可知，SIR算法在進(jìn)行450次迭代后，經(jīng)過重采樣粒子重復(fù)較多，少數(shù)大權(quán)值粒子被過度采樣，只有少數(shù)相異粒子，粒子耗盡問題嚴(yán)重；APF算法粒子主要分布在{(x,y)|x∈[9.88×105, 9.9×105]，y∈[1.3×104, 1.46×104]}之間，粒子多樣性有所提高，但粒子過于分散且不均勻，對粒子耗盡問題改善不大；SQP-PF算法粒子分布較為均勻，相異粒子很多，粒子多樣性好，在解決粒子退化問題的同時避免出現(xiàn)粒子耗盡問題，粒子質(zhì)量最好。

2.4總體性能分析

粒子數(shù)分別設(shè)置為Ns1=1 000，Ns2=800。取α1=0.05，α2=0.1，其他參數(shù)取值不變，使用SQP-PF算法進(jìn)行仿真對比。同時，為比較算法的整體性能，定義以下性能指標(biāo)：

總體均方差為

(10)

相對誤差壓縮比為

(11)

平均有效粒子數(shù)為

(12)

式中：Mc、Neff_i分別為濾波成功的Monte-Carlo次數(shù)、第i次Monte-Carlo仿真實驗有效粒子數(shù)；ζn(k)、X(k)分別為k時刻濾波值、真實值；t為單次平均濾波時間。

表1給出了SIR、APF以及SQP-PF算法總體性能指標(biāo)，SIR算法粒子退化較為嚴(yán)重，平均有效粒子數(shù)少，導(dǎo)致跟蹤失敗次數(shù)較多。APF使用兩次加權(quán)處理，解決了SIR對當(dāng)前量測信息敏感的缺陷，粒子權(quán)值變化更加穩(wěn)定，粒子多樣性增強(qiáng)，濾波失敗次數(shù)減少。SQP-PF算法基于粒子復(fù)制次數(shù)建立約束條件更新的多級優(yōu)化模型。引入了最新觀測信息，相比SIR和APF跟蹤精度更高；其次，利用濾波結(jié)果隨機(jī)采樣避免出現(xiàn)粒子潰退問題，平均有效粒子數(shù)較大，機(jī)動適應(yīng)能力較強(qiáng)(具體體現(xiàn)在表1中最大誤差均方根較小以及圖2b)、圖2c)中誤差尖峰數(shù)較少)，濾波失敗次數(shù)最少。由于SQP-PF算法使用多級優(yōu)化模型，在SIR基礎(chǔ)上增加了粒子排序、多級優(yōu)化求解以及采樣新粒子步驟，濾波耗時較大。

表1　算法總體性能比較

綜上所述，SQP-PF算法基于置信水平1-α確定置信區(qū)間，篩選區(qū)間內(nèi)粒子進(jìn)行下一步權(quán)值計算，重新分配粒子權(quán)值，增加重采樣的粒子基數(shù)，同時，引入最新觀測信息提高了濾波精度，在相同的噪聲下，相比SIR與APF算法，SQP-PF整體誤差水平較為穩(wěn)定，突變點少。最后，利用濾波結(jié)果采樣Ns-r個新粒子，并入集合U作為下一時刻初始粒子，改善粒子質(zhì)量，避免重采樣過程中丟失“潛力的粒子”，根據(jù)粒子權(quán)值分布可知SQP-PF只有少部分粒子權(quán)值為零，重采樣后的相異粒子多，分布較均勻，在解決粒子退化問題的同時沒有造成粒子耗盡。

3　結(jié)束語

本文針對PF存在的問題，提出基于SQP的多級優(yōu)化PF算法。結(jié)合置信水平篩選粒子的思路，減小粒子權(quán)值跨度，根據(jù)粒子復(fù)制次數(shù)建立多級優(yōu)化模型，通過SQP求解引入當(dāng)前觀測信息的參數(shù)值，最后，利用濾波結(jié)果采樣新粒子點，解決了粒子退化問題，此外，補(bǔ)償因重采樣導(dǎo)致小權(quán)值的“潛力粒子”被大量刪除。仿真結(jié)果表明SQP-PF算法跟蹤精度、有效粒子數(shù)、粒子多樣性方面性能優(yōu)于SIR與APF。從整體濾波時間消耗來看，三種PF算法總體較大，這是PF算法工程實現(xiàn)面臨的主要問題之一，由PF粒子計算并行度較高的特點[23-26]，如何通過圖形處理器強(qiáng)大的并行數(shù)據(jù)運算能力實現(xiàn)快速粒子將是下一步研究重點。

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李凡男，1992年生，碩士研究生。研究方向為臨近空間高超聲速目標(biāo)跟蹤。

畢紅葵女，1964年生，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向為雷達(dá)裝備技術(shù)及運用。

段敏女，1979年生，講師。研究方向雷達(dá)裝備技術(shù)及運用。

Particle Filter Algorithm Based on Sequential Quadratic Programming

LI Fana，BI Hongkuib，DUAN Minb，YU Chenlonga，F(xiàn)ENG Xiaoa

(a. Department of Graduate Management;b. Department of Land-based Early Warning,Air Force Early Warning Academy,Wuhan 430019, China)

Aiming to the problem that the traditional particle filter does not introduce the current information and the existence of particle degradation, a novel particle filter algorithm based on sequential quadratic programming (SQP) multilevel optimization is proposed. Firstly, based on the characteristic of the residual distribution, a confidence interval is given and used to eliminate the large deviation particles to adjust the particle weights distribution. Then, the re-sampling particle is mapped to set U and a multilevel optimization model is established based on the copy number of each particle, the state parameters of the model are passed out through SQP, the latter optimized value is considered to be the filtering result when the difference of model optimization parameters between before and after stages is less than the threshold. Finally, in order to prevent excessive sampling leading to particle degradation, the filter value and its covariance are used to sample new particles. Simulation results show that the SQP-PF algorithm is superior to the traditional PF algorithm in tracking precision and particle diversity.

particle filter; sequential quadratic programming; multilevel optimization; confidence interval

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.09.011

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(61401504)

李凡Email：1746338543@qq.com

2016-04-22

2016-06-26

TN957

A

1004-7859(2016)09-0050-07