“用正多邊形拼地板”的教學設(shè)計與反思
——談數(shù)學教學中如何創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學生提出問題

高國祥（漳州第一中學，福建漳州36300）

“用正多邊形拼地板”的教學設(shè)計與反思
——談數(shù)學教學中如何創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學生提出問題

高國祥
（漳州第一中學，福建漳州36300）

通過“用正多邊形拼地板”的教學設(shè)計與反思說明：在數(shù)學課堂上，教師應(yīng)以數(shù)學學習活動組織者、引導(dǎo)者和合作者的角色，創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境，引導(dǎo)學生提出問題。應(yīng)圍繞教學目標恰當?shù)睾Y選學生提出的問題，析出有價值的問題，把數(shù)學學習引向縱深。

數(shù)學情境；數(shù)學問題；數(shù)學模型；正多邊形；周角

在實際數(shù)學教學過程中，教師要在課堂上呈現(xiàn)數(shù)學結(jié)論形成的整個過程，揭示許多看上去很簡潔很漂亮的數(shù)學結(jié)論與現(xiàn)實生活的關(guān)聯(lián)?！坝谜噙呅蔚牡匕濉闭沁@樣的一個貼近學生生活實際的數(shù)學問題。在這個問題教學過程中，教師應(yīng)如何引導(dǎo)學生將實際問題抽象成數(shù)學模型并應(yīng)用數(shù)學知識加以解決，應(yīng)如何創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學生提出有價值的數(shù)學問題呢，是兩個值得深入思考與研究的問題。

一、教學設(shè)計

1.教材分析

“用正多邊形拼地板”是華東師大義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學初中一年級（七年級下冊）第八章多邊形的第4節(jié)。本節(jié)既是對本章一開始所提出的問題的回答，又是對三角形和多邊形有關(guān)知識的應(yīng)用。本章一開始先從瓷磚的鋪設(shè)提出問題，瓷磚的鋪設(shè)是本章教學內(nèi)容的實際背景，教師已經(jīng)讓學生通過各種途徑搜集實際生活中見過的瓷磚的形狀及鋪設(shè)方法。運用正三角形和正多邊形的內(nèi)角和、外角和、每個內(nèi)角的度數(shù)等性質(zhì)來探索“用正多邊形拼地板”的問題。

在表現(xiàn)上，不再應(yīng)用課堂先講結(jié)論再通過例題來加以說明論證，最后在通過類似的練習來鞏固，只是要求學生記下結(jié)論，而是采用先創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境與提出數(shù)學問題激發(fā)學生的好奇心和探索心從而和教師一起發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，通過教材的“問題型”呈現(xiàn)和習題的探索性和開放性，改變學生的學習方式，讓學生自主探索、合作學習。同時還讓學生欣賞用正多邊形瓷磚鋪設(shè)地面的各種各樣的圖案，使其感受到數(shù)學的美，認識到數(shù)學的價值。

筆者將要和學生一起解決本節(jié)要解決的一些問題有：正n邊形的內(nèi)角和是怎么計算的？正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)是怎么計算的？為什么用某些正多邊形能夠鋪滿地面？用某些正多邊形能否鋪滿地面？

2.設(shè)計思路

針對前面所學的多邊形的性質(zhì)等相關(guān)知識，結(jié)合教學內(nèi)容創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境與提出數(shù)學問題，啟發(fā)學生思維。通過求正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正n邊形的內(nèi)角和、每個內(nèi)角度數(shù)、周角與每個內(nèi)角的度數(shù)的關(guān)系等一系列問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化并且抽象成數(shù)學問題（即“建立數(shù)學模型”）。在本節(jié)就是把“用相同的正多邊形能否鋪滿地面的問題”抽象為考察“周角是否是正多邊形內(nèi)角的整數(shù)倍的問題”。最后筆者還要引導(dǎo)學生理性歸納出：“用幾個正多邊形能否鋪滿地面”抽象為考察“圍著某一點拼接在一起的若干個正多邊形的內(nèi)角的和能否恰好構(gòu)成一個周角”。

通過指導(dǎo)和講評課后的練習在于要求學生能運用正三角形、正方形、正六邊形這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計，為下一節(jié)“用多種正多邊形拼地板”作鋪墊。

二、教學過程

1.設(shè)置數(shù)學問題情境

師：同學們，我們在本章一開始就收集了一些能夠鋪滿地面的不同形狀的瓷磚的圖案，現(xiàn)在同學們先舉出你們見過的用相同的正多邊形鋪滿地面的例子，然后讓我們一起來拼地板。

生1：我家地板是用正方形的瓷磚鋪成的。

生2：我家院子的地板是用正六邊形的瓷磚鋪成的。

生3：我還看到過用正三角形拼成的地板。

根據(jù)學生的回答筆者在黑板畫出了一些表示用相同的瓷磚鋪滿地面的圖形如下：

2.提出問題

師：同學們，根據(jù)你們的實際生活經(jīng)驗，考慮一下有關(guān)的問題。

生l：為什么沒有正五邊形拼成的地板？好像也沒見過正七邊形拼成的地板？

生2：為什么正三角形（正三邊形）、正方形（正四邊形）、正六邊形能鋪滿地板，正五邊形就不能鋪滿地板呢？（許多同學也附和著）

3.解決問題

師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？

筆者下去看同學們的討論，他們很多在草稿紙上用直尺、量角器等畫著各種圖形，在拼“地板”呢！經(jīng)過5、6分鐘的討論，有幾個學生代表發(fā)言：

生1：跟正多邊形的邊數(shù)有關(guān)系，也就是跟正多邊形的形狀有關(guān)系。

生2：好像跟正多邊形的內(nèi)角有關(guān)系。

生3：確實跟正多邊形的內(nèi)角有關(guān)系，而且我們前面已經(jīng)學過正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是相等的。

師：同學們的想法是正確的，使用給定的某種正多邊形，它能否拼成一個平面圖形，既不留下空白，又不相互重疊，確實與它的內(nèi)角的大小有關(guān)系，而且我們前面學過正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是相同的。為了解決上面提出的“為什么有些正多邊形能鋪滿地面，有些卻不行？”的問題，我們一起來完成下表：（可用計算器計算數(shù)據(jù)）

（在填表的同時邊復(fù)習多邊形的內(nèi)角和公式（n-2） *180o，正多邊形每個內(nèi)角度數(shù)公式），填完表后，

師：同學們請觀察一下這個表格，討論一下，大家是否能找到上面你們提出的問題的解決方法？

經(jīng)過1、2分鐘觀察討論，有學生代表發(fā)言：表格最后一行中，當周角是正多邊形每個內(nèi)角的倍數(shù)是整數(shù)時，則用這種正多邊形就能鋪滿地面；不是整數(shù)時，則用這種正多邊形就不能鋪滿地面。（很多同學同意這個觀點）

師：那我們現(xiàn)在就一起來拼拼地板，看看同學們的觀點對不對？接著我就拿出事先準備好的正三角形硬紙板，圍繞著一個點用正三角形硬紙板一個個在黑板上拼“地板”（其它類似拿出正方形、正五邊形、正六邊形、正七邊形硬紙板拼“地板”），拼成的“地板”如下圖：

6個4個3個留下36o的空白3個

（拼完后）師：根據(jù)我們拼的“地板”和表格中的數(shù)據(jù)對照一下，剛才同學們的歸納是正確的，即“當周角是正多邊形每個內(nèi)角的整數(shù)倍時，用這種正多邊形就能夠鋪滿地面”，請同學們繼續(xù)考慮一下你們歸納的結(jié)論具有一般性嗎？如果像我們以前講過的“用不同的正多邊形瓷磚可以鋪滿地板”，那我們怎么判斷“用不同的正多邊形能否鋪滿地板”呢？（學生沉默）

師（繼續(xù)提示）：其實“用相同的正多邊形鋪地板”是“用不相同多邊形鋪地板的一種特殊情況，我們可以先考慮“用相同正多邊形鋪地板”的情況，如圖（4）、（5）、（6）、（（7），請大家觀察一下“圍繞著一個點，能鋪滿地板的正多邊形的內(nèi)角跟周角的關(guān)系？”（師在上圖標出了圍繞一點正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)）

生l：老師在（4）、（5）、（7）圖中，圍繞一點所標出的內(nèi)角加起來恰好是周角。

師：歸納得很好，你把我們剛才得到的結(jié)論一般化為“當圍著某一點拼接在一起的若干個正多邊形的內(nèi)角的和能恰好構(gòu)成一個周角，就能鋪滿地面”，這對于“用不相同的正多邊形拼地板”也同樣適用。

現(xiàn)在我們再來研究另一個問題：請同學們想一想用相同的正多邊形鋪滿地面有幾種？

生1：有正三角形、正方形、正六邊形，不知道后面還有沒有？

師：大家可以考慮一下正n邊形的每個內(nèi)角度數(shù)的范圍。

生2：最小是正三角形內(nèi)角60o，最大不知道是多少。

生3：小于180o，因為n-2比n小。

師：所以周角是正n邊形每個內(nèi)角倍數(shù)的范圍是什么呢？

生1：最大360o/60o=6，最小不知道。

生2：最小要大于2，因為要大于360o/2=180o。

師：很好，那大于2，最大為6的整數(shù)有哪些呢？

生（齊）：3、4、5、6。

師：看一下我們上面表格最后一行中3、4、6已經(jīng)有了，5到底可以不可以呢？

（沉默一會兒）

師：所以用相同的正多邊形能鋪滿地板共有哪幾種？

生（齊）：正三角形、正方形、正六邊形。

最后讓同學們做第57頁的練習，之后講評讓學生能運用上面歸納的判斷正多邊形能否鋪滿地面。

三、教學反思

數(shù)學情境是含有數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的情境，它能激發(fā)學生提出數(shù)學問題，也能為解決數(shù)學問題提供相應(yīng)背景及情境。數(shù)學問題是以數(shù)學為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學為內(nèi)容，但必須運用數(shù)學概念、理論或方法才能解決的問題。本節(jié)課從現(xiàn)實生活中畫出（1）、（2）、（3）圖形，讓學生觀察圖形，提出問題。數(shù)學問題的提出是學習數(shù)學很重要的環(huán)節(jié)，學生通過對數(shù)學情境的分析大膽猜想，提出一個數(shù)學問題。學生主要是通過聯(lián)想，自主與合作型討論、交流和手腦并用，充分想象和探索嘗試，使當前問題形象化、具體化、符號化和形式化，從而建立了數(shù)學模型。

在教學中，通過列表格，觀察表格的數(shù)據(jù)，歸納提出新的數(shù)學問題和尋找解決方法，利用歸納法有助于從數(shù)學情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出解決問題的方法。通過教學用具“正多邊形的硬紙板”拼“地板”，通過實際操作，讓學生借助直觀的活動來實現(xiàn)和反映其思維活動，由表及里地，對問題進行深入思考。

引導(dǎo)學生進行反思評價與探索，鼓勵學生不斷探索，讓學生歸納出“圍著某一點拼接在一起的若干個正多邊形的內(nèi)角的和能否恰好構(gòu)成一個周角，就可以鋪滿地面”的一般性結(jié)論，有助于讓學生形成新的知識結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)，逐步學會學習并不斷強化問題意識與進取精神，增強創(chuàng)新意識。

［1］劉兼，孫曉天.數(shù)學課程標準解讀（實驗稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2002.

［2］管理河.高中數(shù)學教學中的數(shù)學情境與提出問題［J］.數(shù)學教育學報，2002（11）.

［3］余明芳，王欽敏.例談高中數(shù)學探究性課題的選擇與教學設(shè)計［J］.數(shù)學通報，2015（11）.

［4］夏小剛，汪秉彝.數(shù)學情境的創(chuàng)設(shè)與數(shù)學問題的提出［J］.數(shù)學教育學報，2003（2）.

（責任編輯：王欽敏）