在數(shù)學(xué)試題探究中提煉模型獲取通法
——利用“軸對(duì)稱”求折線段和最小值問題探微

王斌（龍巖市初級(jí)中學(xué)，福建龍巖364000）

在數(shù)學(xué)試題探究中提煉模型獲取通法
——利用“軸對(duì)稱”求折線段和最小值問題探微

王斌
（龍巖市初級(jí)中學(xué)，福建龍巖364000）

利用“軸對(duì)稱”求折線段和最小值問題，通過變式、引申、拓展等渠道，引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)試題、提煉問題模型、獲取通性通法，可以有效提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

解題教學(xué)；模型提取；模型變式；模型拓展；題型概述

在數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中，提高學(xué)生的解題能力是解題教學(xué)的關(guān)鍵，就題講題無法使學(xué)生的思維得到拓展，當(dāng)學(xué)生再次遇到類似的題型仍然會(huì)無從下手。那么，在解題教學(xué)中，講什么？如何講？講解的重點(diǎn)是什么？結(jié)合多年的教學(xué)反思，筆者認(rèn)為要從學(xué)生實(shí)際和題目特點(diǎn)出發(fā)，有所取舍、有所側(cè)重地進(jìn)行解題教學(xué)講解。下面，通過利用“軸對(duì)稱”求折線段和最小值問題探微，談?wù)勔栽囶}為源頭，以模型為基礎(chǔ)，通過變式來鞏固，通過拓展來提升的方式，讓學(xué)生獲取解題通法，掌握解題技巧，提升解題能力。

一、題目呈現(xiàn)

題目：如圖1，Rt△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，E為邊AC上一點(diǎn)，且CE長(zhǎng)為1，若點(diǎn)P是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值。

從解題教學(xué)的策略來看，此題的講解關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生如何提取與原題有關(guān)的模型（模型是學(xué)生所熟知的），通過分析，理解模型，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣?，幫助學(xué)生理清這一類題型的思路，最終達(dá)到掌握解題的基本思想和基本技能。

二、模型提取

上述幾何問題中的本源是什么？基本圖形是什么？其實(shí)可以追朔到人教版（2013年）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)中的課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題。

模型：如圖2（1），直線同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，要在直線上找一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PB的和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置。

解析：如圖2（2），作出點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B′，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以得到PB=PB′，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)P在的什么位置時(shí)，PA與P B′的和最??？在連接A，B′兩點(diǎn)的線中，線段A B′最短，因此，線段AB′與直線的交點(diǎn)P的位置即為所求。我們可以進(jìn)一步概括出此類題型的特點(diǎn)：兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)在直線上，兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)。其解決的方法就是：作一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)和另一定點(diǎn)的線段和直線的交點(diǎn)就是所求的，折線段和最短值就是這條連線段的長(zhǎng)。

因此，教材中的例題、習(xí)題等往往是我們提取模型的重要素材。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)中考試題就是由這些題目中變式或拓展而來的。

三、原題解析

與模型相比，原題的背景變?yōu)槿切?，但關(guān)鍵的特征和模型是一樣的，所以我們可以利用模型方式解題（見圖3）：尋找C點(diǎn)或E點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，此題中C點(diǎn)關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)較好確定，過C點(diǎn)作關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連結(jié)DE，DE交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PE的值最小，最小值為線段DE的長(zhǎng)，連結(jié)AD，易知AD= AC=4，∠CAD=2∠CAB=2∠BAD=2×450=900，利用勾股定理：所以，PC+PE最小值為5。

四、模型變式

當(dāng)學(xué)生探討意猶末盡之時(shí)，趁熱打鐵，對(duì)原題進(jìn)行變式，可以加深對(duì)原題認(rèn)識(shí)的作用，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜的背景中抽取關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型的能力，提升在實(shí)際背景下解決問題的能力。

變式一：如圖4所示，正方形的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）

解析：此題與原題相類似，只不過一定點(diǎn)在正方形內(nèi)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是B點(diǎn)，PD+PE=PB+PE，當(dāng)P點(diǎn)為BE與AC的交點(diǎn)時(shí)，PB、PE的和最小，最小值為BE的長(zhǎng)，因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，所以，故選A。

變式二：如圖5所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為。

解析：此題與原題相比，背景變?yōu)榱肆庑?，做法也是找一點(diǎn)（B點(diǎn)）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)（D點(diǎn)），易知△ABD為等邊三角形，由E為AB的中點(diǎn)可得△ADE為直角三角形，∠DAE=600，求得DE=，所以PE+PB的最小值為。

變式三：如圖6（1），長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)為5cm寬為4cm高為9cm，點(diǎn)A在長(zhǎng)方體的棱邊上且距長(zhǎng)方體上沿3cm，點(diǎn)P為長(zhǎng)方體上沿的動(dòng)點(diǎn)，則在長(zhǎng)方體側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)P再到點(diǎn)C的最短路程為cm。

解析：沿點(diǎn)A所在的棱線展開，如圖6（2）所示，點(diǎn)A到點(diǎn)P再到點(diǎn)C的最短路程實(shí)際上就是在直線MN上找一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小。作A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，則PA=PA′，所以PA+PC=PA′+PC；當(dāng)PA′+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)為A′C與MN的交點(diǎn)，設(shè)A′C與MN相交于點(diǎn)為P′，此時(shí)P′A+P′C等于線段A′C，在Rt△A′BC中，A′B=A′M+BM=3+9=12 cm，BC=5+4=9 cm，A′C= 122+92=15cm，所以最短距離為15cm。

五、模型拓展

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過模型的各種變式訓(xùn)練，已經(jīng)掌握模型的精髓后，我們可進(jìn)一步在原模型的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探索新的問題：前面我們研究的背景都是直線一側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，直線上一動(dòng)點(diǎn)問題，我們是否可以改變定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到解題的通法呢？

1.“兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)”

模型：如圖7，C、D為定點(diǎn)，E、F分別為直線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EC+EF+FD最短時(shí)，請(qǐng)你確定點(diǎn)E、F的A′B2+BC2=位置。

解析：（1）作點(diǎn)C關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)M，可得EC=EM；（2）作點(diǎn)D關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)N，可得FD= FN，則EC+EF+FD=EM+EF+FN；（3）由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)EM+EF+FN=MN時(shí)，EM+EF+FN最短；此時(shí)，點(diǎn)E、F分別是MN交直線OA、OB的交點(diǎn)。

模型變式：如圖8，在直線y=2x-4與拋物線y=2x2-x-3相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），E點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形AEFB最短周長(zhǎng)。

解析：（略）

2.三個(gè)動(dòng)點(diǎn)

例：如圖9，∠AOB=450，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求△PQR周長(zhǎng)的最小值。

解析：作P關(guān)于OA，OB對(duì)稱點(diǎn)P1，P2。于是有PQ+ QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，由對(duì)稱性易知△P1OP2為等腰直角三角形，OP=OP1=OP2=10，P1P2=10。

六、題型概述

利用“軸對(duì)稱”求折線段和最小值問題，通常是利用軸對(duì)稱，把折線段和最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題，不管背景是正方形、菱形、圓、拋物線還是其它圖形，我們要明確定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)所在直線，并善于作出定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于其它動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。這樣對(duì)這類問題的解決才可能事半功倍。

總之，進(jìn)入中考復(fù)習(xí)階段，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘試題的模型、提煉模型解法，通過變式、引申、拓展等渠道提升學(xué)生分析問題，解決問題的能力。

［1］朱桂平.提取模型融會(huì)貫通——例談中考?jí)狠S題的教學(xué)策略［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（7）.

［2］胡云亞.由“將軍飲馬”引申的中考?jí)狠S題簡(jiǎn)析［J］.數(shù)理化解題研究（初中版），2012（3）.

［3］宋毓彬.用軸對(duì)稱求線段和的最小值［J］.數(shù)理化解題研究（初中版），2012（1）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）