連續(xù)系數(shù)一維倒向隨機微分超前方程的解

周會會，梅　端

（廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東 湛江 524088）

連續(xù)系數(shù)一維倒向隨機微分超前方程的解

周會會，梅端

（廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東 湛江 524088）

證明了具有連續(xù)系數(shù)的一維倒向隨機微分超前方程（超前BSDE）存在適應(yīng)解，并得到了最小解的存在性。

倒向隨機微分超前方程；適應(yīng)解；連續(xù)系數(shù)

Pardoux和Peng［1］引入了非線性倒向隨機微分方程（BSDE），并證明了在Lipschitz條件下非線性BSDE適應(yīng)解的存在唯一性。BSDE在隨機控制、偏微分方程、數(shù)理金融、經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，吸引了眾多學(xué)者對其研究。例如：Lepeltier和Martin［2］研究了具有連續(xù)系數(shù)的BSDE適應(yīng)解的存在性及最小解的存在性；Jia［3］研究了具有連續(xù)系數(shù)的BSDE解的結(jié)構(gòu)；El Karoui，Peng和Quenez［4］給出了具有Lipschitz條件的BSDE適應(yīng)解的比較定理；Liu和Ren［5］討論了具有連續(xù)系數(shù)的BSDE解的比較定理等。

Peng和Yang［6］引入了一類新的倒向隨機微分方程，即倒向隨機微分超前方程（超前BSDE），并證明了在Lipschitz條件下超前BSDE適應(yīng)解的存在唯一性及解的比較定理，隨后，陳麗［7］研究了超前BSDE中Z的性質(zhì)，許嘵明［8］研究了超前BSDE的反射解等。

本文主要研究了如下形式的超前BSDE。即

1） 存在常數(shù)

使得

有

2）存在常數(shù)

使得

在 Liu和 Ren［5］論文的啟迪下，如果把超前BSDE所滿足的Lipschitz條件減弱，只讓其滿足線性增長條件，所對應(yīng)的超前 BSDE是否存在適應(yīng)解？本文主要討論具有連續(xù)系數(shù)的一維超前BSDE適應(yīng)解的存在性，并得到了最小解的存在性。

1　具有連續(xù)系數(shù)的超前BSDE適應(yīng)解的存在性

引理 1［2］令是具有線性增長的連續(xù)函數(shù)，即存在常數(shù)K0＜∞，使得，

有

那么下面的函數(shù)列

（i）線性增長條件：

（iii） Lipschitz條件：

（iv） 強收斂性：若

那么

引理2［9］在引理1的假設(shè)下，設(shè)m=1，f關(guān)于x單調(diào)增，則

使得當(dāng)n＞N時，引理1給出的fn均關(guān)于x單調(diào)增。

定理1

設(shè)f滿足：

（H1） 線性增長條件：

對

有

（H2） 對于固定的s，ω，y，z，f（ s，ω，·，·，·）連續(xù)且f（ s，ω，y，z，·）遞增。

則對任意給定的終端條件

超前BSDE式（1）有適應(yīng)解，即：?tF-適應(yīng)的過程

滿足方程式（1）。

證明：給定（t，ω ），由引理1可知函數(shù)f對應(yīng)函數(shù)列

考慮函數(shù)

那么函數(shù)fn和函數(shù)h都是Lipschitz函數(shù)。又由于

由［6］中定理4.2可知下面的超前BSDEs在

上有唯一解。

由（H2）及引理2可知fn關(guān)于遞增且關(guān)于n單調(diào)，由參考文獻［6］中的定理5.4可得，

所以存在僅依賴于

的常數(shù)B使得

由于

則存在常數(shù)C，使得

我們有

另一方面，由于

取一子列可得

且

且

由一致收斂定理可得，當(dāng)n→∞時，

由隨機積分的連續(xù)性可得，

對m取極限，對t取sup，可得

例：考慮超前BSDE，

其中δ≥0為給定常數(shù)。容易驗證方程式（3）中f 滿足線性增長條件，且有解

2　結(jié)　論

考慮到具有連續(xù)系數(shù)的BSDE存在唯一適應(yīng)解，在此基礎(chǔ)上，進一步研究了超前BSDE，從理論上得到了具有連續(xù)系數(shù)的超前BSDE存在適應(yīng)解，并得到了最小解的存在性，對超前BSDE有了進一步的認(rèn)識。

［1］PARDOUX E，PENG S G.Adapted solution of a backward stochastic differential equations［J］.Syst Cont Lett，1990，14（1）：55-61.

［2］LEPELTIER J P，SAN M J.Backward stochastic differential equations with continuous coefficient ［J］.Stat Prob Lett，1997，32（4）：425-430.

［3］JIA Guangyan.On the set of solutions of a BSDE with continuous coefficient［J］.C R Acad Sci Paris ，2007，344（6）：395-397.

［4］EL Karouin，PENG S G，QUENEZ M C.Backward stochastic differential equations in finance［J］.Math Fin，1997，7（1）：1-71.

［5］LIU J C，REN J G.Comparison theorem for solutions of backwardstochasticdifferentialequationswith continuous coefficients［J］.Stat Prob Lett，2002，56（1）：93-100.

［6］PENG S G，YANG Z.Anticipated backward stochastic differential equations［J］.Ann Prob，2009，37（3）：877-902.

［7］陳麗.超前BSDE中Z的性質(zhì)及其在時滯隨機控制中的應(yīng)用［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2010，45（4）：16-20.

［8］許嘵明.超前倒向隨機微分方程的反射解及相應(yīng)的最優(yōu)停時問題［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2013，48（6）：14-17.

［9］楊哲.超前BSDE及SDE中的相關(guān)結(jié)果［D］.濟南：山東大學(xué)，2007.

（責(zé)任編輯：任萬森）

Solutions of One-dimensional Anticipated Backward Stochastic Differential Equations with Continuous Coefficient

ZHOU Hui-hui，MEI Duan
（College of Science，Guangdong Ocean University，Zhanjiang 524088，China）

In this paper，it is proved that the existence of a solution to one dimensional anticipated backward stochastic differential equations where the coefficient is continuous.The existence of a minimal solution is also obtained.

anticipated backward stochastic differential equations； Adapted solutions；continuous coefficient

O211.6

A

1673-9159（2016）04-0078-05

10.3969/j.issn.1673-9159.2016.04.013

2016-04-29

廣東省高校創(chuàng)新強校工程項目（2014KQNCX080）

周會會（1984—），女，講師，碩士，主要從事金融數(shù)學(xué)、倒向隨機微分方程的研究。E-mail：huihui0325@126.com