弱鏈對角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的新上界

蔣建新，李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000）

弱鏈對角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的新上界

蔣建新，李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000）

研究了弱鏈對角占優(yōu)矩陣A的逆矩陣無窮范數(shù)上界的估計問題，得到了A-1的元素的上界，結(jié)合該新上界得到了的新上界。數(shù)值算例說明新上界比潘淑珍、李艷艷的已有研究結(jié)果更精確。

弱鏈對角占優(yōu)矩陣；M矩陣；逆矩陣；無窮范數(shù)；上界

對角占優(yōu)矩陣是計算數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的矩陣類，它在信息論、系統(tǒng)論、現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)、網(wǎng)絡(luò)、算法和程序設(shè)計等領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用。對于對角占優(yōu)矩陣中的弱鏈對角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)界的估計，1974年Shivakumar首先在文獻［1］中給出了一些估計式。隨后國內(nèi)的許多學(xué)者對該問題進行了研究，得到了大量的不同估計式，可是這些結(jié)果大多數(shù)都依賴于A-1的元素［2-6］或者A與A-1的譜半徑［7-8］等，計算時很不方便，2012年潘淑珍［9］在前人研究的基礎(chǔ)上，得到了只依賴于A的元素的估計式。

本文在文獻［9］的基礎(chǔ)上，通過改變文獻［9］中估計式中參數(shù)的取值，得到了只依賴于A的元素的新估計式，且新的結(jié)果比文獻［9-10］中的估計式更精確。

1　預(yù)備知識

Cn×n（Rn×n）表示n階復(fù)（實）矩陣集，N代表全體非零自然數(shù)的集｛1，2，…，n｝。

e=（1，1，…，1）T表示所有分量全為1的列向量。Zn=｛A=（aij）∈Rn×n|aij≤0，i，j∈N，i≠j｝。

A的無窮范數(shù)記為‖A‖∞，即

定義1［1］設(shè)A=（aij）∈Rn×n，若?i∈N，有di≤1，J（A）≠?，且?i∈N，i?J（A），有aii1ai1i2…airik≠0 i1≠i≠i2，…，ir≠ik，0≤r≤k-1，ik∈J（A），則稱A為弱鏈對角占優(yōu)矩陣。

定義2［1］設(shè) A=（aij）∈Zn。若 A-1≥0，則稱A為M矩陣；若?i∈N，有aii＞0，則稱A為L矩陣。

1974年P(guān) N Shivakumar［1］研究了弱鏈對角占優(yōu)M矩陣A的逆矩陣A-1的元素及‖A-1‖∞的估計問題，并給出弱鏈對角占優(yōu)M矩陣的‖A-1‖∞的上界

2012年潘淑珍在文獻［9］中給出了此類問題的新上界，且該新上界改進了式（1）的估計。

其中ti由式（3）定義

對?i，1≤i≤n-1，設(shè)A的主子矩陣為

若A為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，則A（i，n）也為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣。

引理1［1］若A=（aij）∈Rn×n為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，B=A（2，n）∈R（n-1）×（n-1），A-1=（αij），B-1=（βij）。則

引理2［1］若A=（aij）∈Rn×n為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，A-1=（αij），則對?i，j∈N，i≠j，有|αij|≤di|αjj|≤|αjj|。

引理3［2］若A=（aij）∈Rn×n為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，且J（A）=｛i1，i2，…，ik｝，那么存在一個N的置換｛i1，i2，…，in｝，使得對所有的 j∈N，有

給出下列符號表示：

2　主要結(jié)果及證明

定理1若A=（aij）∈Rn×n為弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，n≥2，A-1=（αij），滿足u1＜1，則

證明：因為A為M-矩陣，則A-1≥0，設(shè)Ah=x，其中h=（1，h1，…，h1）T，x=（x1，x2，…，xn）T，因為0≤h1≤1，

所以，x1＞0，xi≥0，（i=2，3，…，n）。再由A-1x=h，A-1≥0，有

定理2設(shè)A=（aij）∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，n≥2，A-1=（αij），B=A（1，n），A-1=（αij），B-1=（βij），滿足u1＜1，則

（Ⅱ）當(dāng)2≤i≤n時，由定理1得αi1≤α11，

定理3設(shè)A=（aij）∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)M矩陣，對?k∈N，滿足uk＜1，則

3　數(shù)值算例

以上兩例說明本文得到的結(jié)果是有效的，并且提高了文獻［9-10］中的相應(yīng)結(jié)果。

［1］SHIVAKUMAR P N，CHEW K H.A sufficient condition for nonvanishing of determinants［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，1974，43（1）：63-66.

［2］HUANG T Z，ZHU Y.Estimation of‖A-1‖∞math container loading mathjax for weakly chained diagonally dominant M M math container loading mathjax-matrices［J］.Linear Algebra&ItsApplications，2010，432：670-677.

［3］王亞強，李耀堂，孫小軍，等.嚴(yán)格對角占優(yōu)M矩陣的‖A-1‖∞的上界的一個新估計式［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2010，45（4）：43-48.

［4］楊曉英，曾寶國，朱清溢，等.嚴(yán)格對角占優(yōu)M矩陣A的‖A-1‖∞上界的新估計式［J］.湖南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，37（3）：91-95.

［5］周平，李耀堂.M矩陣及其非負(fù)矩陣Hadamard積和Fan積的特征值界的估計［J］.云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，34（1）：9-14.

［6］許潔，趙微，孫玉祥.廣義對角占優(yōu)矩陣的實用新判定［J］.云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，36（5）：637-641.

［7］盧飛龍，何希勤.M-矩陣與其逆的Hadamard積的特征值下界［J］.遼寧科技大學(xué)學(xué)報，2010，33（5）：555-560.

［8］高美平.M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值下界新的估計式［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014（1）：90-97.

［9］潘淑珍，陳神燦.弱鏈對角占優(yōu)矩陣‖A-1‖∞的上界估計［J］.福州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（3）：281-284.

［10］李艷艷，李耀堂.弱鏈對角占優(yōu)矩陣的‖A-1‖∞的新界［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，23（4）：259-261.

New Upper Bound for the Infinite Norm of the Inverse Matrix of a Weakly Chained Dominant Matrices

JIANG Jianxin，LI Yanyan
（Department of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，Yunnan，China）

The problem of estimating the bound of the infinite norm of the inverse matrix of a weakly chain diagonally dominant matrix is studied.The upper bound of the element ofA-1is obtained，combined with the new upper bound get the new upper bound of element of||A-1||∞.Numerical examples illustrate the new bound is more accurate than the estimation formula of Shuzhen Pan and Yanyan Li.

weakly chained diagonally dominant matrix；Mmatrix；Inverse matrix；infinity norm；Upper bound

O151.21

A

1672-2914（2016）02-0053-03

2015-09-15

文山學(xué)院科研基金項目（15WSY11）；文山學(xué)院重點學(xué)科項目（12WSXK01）。

蔣建新（1981—），男，甘肅天水市人，文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，研究方向為矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用。