不在端點(diǎn)處的最值一定是極值嗎？

申愛偉

1.提出問題

筆者在一次高二公開課聽課中遇到這樣的問題：如果函數(shù)的最值不在端點(diǎn)處取到，那么這個(gè)最值一定是函數(shù)的極值。

乍一看，好像是對的，學(xué)生也一致認(rèn)為是對的，老師也宣布沒錯(cuò)，就講下一題了。但筆者很快舉出了一個(gè)反例——常函數(shù)。比如：y=1，x∈R，該函數(shù)處處都能取到最值，而這個(gè)最值卻不是函數(shù)的極值。事實(shí)上，常函數(shù)沒有極值。

課后研討中，點(diǎn)評老師還給出了另一個(gè)反例：y=|x|，該函數(shù)x=0在處取到最小值，但這個(gè)值不是極值。理由是該函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，而函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零是函數(shù)在該點(diǎn)處取極值的必要不充分條件。

2.回歸定義

那么，這些“反例”正確嗎？

李邦河院士說：“數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧?！弊屛覀兓氐礁拍钌稀ＬK教版數(shù)學(xué)必修1第39頁：

一般地，設(shè)y=f（x）的定義域?yàn)锳。如果存在x ∈A，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x ），那么稱f（x ）為y=f（x）的最大值，記為y =f（x ）；如果存在x ∈A使得對于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x ），那么稱f（x ）為y=f（x）的最小值，記為y =f（x ）。

蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2（文）第30頁：函數(shù)圖像在點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），這時(shí)在點(diǎn)P附近，點(diǎn)P的位置最高，亦即f（x ）比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都要大。我們稱f（x ）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值。

文第32頁指出：函數(shù)f（x）在x 處取得極大值，指在x 附近f（x ）比其他函數(shù)值都大，極大值是相對于函數(shù)定義域內(nèi)某一局部而言的。最大值是相對于函數(shù)定義域整體而言的。

由這個(gè)描述性定義可見，函數(shù)的極值是根據(jù)單調(diào)性來的，函數(shù)先增后減，一定出現(xiàn)極大值，函數(shù)先減后增，一定出現(xiàn)極小值。極值表征的是函數(shù)局部的性質(zhì)，即某點(diǎn)處的函數(shù)值比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都大（或?。?。也就是說，并不涉及函數(shù)是否可導(dǎo)。第二個(gè)反例不成立。y=|x|在x=0處的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都要小，所以在該點(diǎn)處取到極小值。

那為什么我們常常通過求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，判斷兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)求函數(shù)的極值呢？那是因?yàn)槲覀冊诟咧薪佑|到的求極值的函數(shù)往往是可導(dǎo)的，所以引發(fā)了誤解。這里的導(dǎo)數(shù)為零是有前提的。事實(shí)上，《數(shù)學(xué)分析》教材（文）給出了費(fèi)馬定理：設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x 的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)x 可導(dǎo)。若點(diǎn)x 為f的極值點(diǎn)，則必有f′（x ）=0。

而第一個(gè)反例則完全符合定義。常函數(shù)處處取到最值，但處處不是極值。

3.錯(cuò)因分析

究其原因，還是對極值和最值的概念認(rèn)識不清。人教社章建躍博士強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教師必須特別重視概念教學(xué)，學(xué)生的概念理解和應(yīng)用水平是衡量教學(xué)質(zhì)量的最重要標(biāo)準(zhǔn)。最值的定義借助了高等數(shù)學(xué)中“上（下）確界”的意義與形式，定義中既含有等式，又含有不等式；既含有全稱量詞（“任意”、“都有”），又含有存在量詞（“存在”），具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和典型的形式化特征。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從函數(shù)最值的幾何直觀入手，利用豐富具體的材料、精心設(shè)計(jì)的問題，經(jīng)歷觀察、比較、辨析、歸納、概括等思維活動(dòng)，經(jīng)歷從圖形表征到自然語言到形式化定義的形成過程，達(dá)到對概念的實(shí)質(zhì)性理解，感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)形結(jié)合思想，切不可一帶而過。對于定義中的符號，要仔細(xì)推敲，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力。在調(diào)查中了解到，很多學(xué)生不認(rèn)為常函數(shù)處處取到最值，原因是忽略了最值定義中的等號。

最值的教學(xué)要求是“理解”。對于極值，教學(xué)目標(biāo)的要求是“了解”。蘇教版教材中只給出描述性概念，如果用符號化定義，則可定義為：若函數(shù)f在點(diǎn)x 的某空心鄰域U （x ）內(nèi)對一切x∈U （x ）有f（x ）>f（x），（f（x ）

4.實(shí)戰(zhàn)練習(xí)

（1）對于函數(shù)f（x），如果f（x）≤c（c為常數(shù)）對定義域中的每個(gè)自變量x均成立，那么c一定是函數(shù)y=f（x）的最大值嗎？如果f（x）≤f（x ）對于定義域中的每個(gè)自變量x均成立，那么f（x ）一定是函數(shù)的最大值嗎？

（2）如果函數(shù)f（x）有極小值f（a），極大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）嗎？試作圖說明。如果函數(shù)f（x）有最小值f（a），最大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）嗎？

答案：（1）否；是（2）否；否。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐稼紅.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)選修2-2.江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，2001.

[3]陸學(xué)政.應(yīng)重視“函數(shù)最值”的概念教學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，1.