輪子不是圓形的汽車也能平穩(wěn)行駛

羅奇

（桂林師范高等?？茖W校數學與計算機技術系，廣西 桂林 541001）

輪子不是圓形的汽車也能平穩(wěn)行駛

羅奇

（桂林師范高等?？茖W校數學與計算機技術系，廣西 桂林 541001）

通過對正三角形、正多邊形以及橢圓的轉動運行軌跡探究得出：只要設計出適當的路面和汽車前后車輪軸心的距離，輪子是三角形、凸多邊形和橢圓形狀的汽車可以平穩(wěn)行駛，并且求出一般結論，光滑封閉曲線形狀的車輪可以平穩(wěn)行駛。關鍵詞：車輪；正三角形；正多邊形；橢圓；光滑封閉曲線

一、問題提出

汽車的輪子是圓形的，對此大家司空見慣，試想如果汽車輪子不是圓形的，那么這樣的汽車能否平穩(wěn)行駛？

其實，在高低不平的路面，圓形輪子的汽車是不能平穩(wěn)行駛的，要使汽車在這樣的路面平穩(wěn)行駛，就需要設計各種形狀的車輪。反之，如果車輪不是圓形的，就需要設計特殊的路面以使汽車平穩(wěn)行駛.那么汽車平穩(wěn)行駛的路面條件是什么呢？那當然應該使得車軸與地面的距離保持一個定值。怎樣的路面軌跡才能達到這個要求呢？下面對各種輪子情況進行探究。

二、問題解決

為使問題簡單，先從正三角形輪子考慮，如圖1，取正△ABC的中心為車軸的位置，作出△ABC的外接圓O，取△ABC的頂點A為坐標原點，地面水平線l為x軸，AO方向為y軸，建立直角坐標系.當圓在直線l運動時，圓心O，即正△ABC的中心的軌跡始終在與直線平行的直線l上，假設圓O由A點運動到E點時，OE與AB的交點F即為正三角形輪子設計的路面軌跡動點，下面求出軌跡方程。

圖1

汽車的輪子形狀還可以推廣到一般的三角形，這時三角形的每邊在不同形狀的軌跡上運動，即在最小正周期內，軌跡是個分3段的函數，并且輪子的軸心可以取通過該三角形一個頂點，并且覆蓋三角形的一個圓的圓心（該圓心要求在三角形內部）。

一般地，對于正n邊形的輪子，如圖2，在△OAG中利用正弦定理也可以得出：

圖2

對于x取任意實數的情況，同樣可以得出：

圖3

在幾何畫板中，分別畫出R=1，n為3、4、5、6、10、20在一個周期內的軌跡（如圖3），可以看到隨n的值越來越大，軌跡變得越來越平，當n趨于∞時，軌跡就變成了直線。

更一般的情況：汽車的輪子是一般凸n邊形，這時多邊形的每邊在不同形狀的軌跡上運動，即在最小正周期內，軌跡是個分n段的函數。

下面進一步探討橢圓形的車輪，假設橢圓輪子從如圖4位置開始運動，取橢圓的中心O為車軸的位置，以橢圓的中心為圓心，橢圓的長半軸為半徑作出橢圓外接圓，取橢圓的頂點A為坐標原點，地面水平線l為x軸，AO方向為y軸，當圓在直線l運動時，橢圓中心O的軌跡始終在與直線l平行的直線上，假設圓O由A點運動到E點時，OE與橢圓的交點F即為橢圓輪子設計的路面軌跡動點，下面求出軌跡方程。

圖4

圖5

如圖5，在幾何畫板中，畫出了b：a分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9的軌跡，可以看到隨比值的值越來越接近1，軌跡變得越來越平，當比值趨于1時，軌跡就變成了直線。

可以根據上面的軌跡利用幾何畫板設計出車輪是以上各種形狀的汽車在這樣的路面行駛的情形。

三、問題推廣

更進一步，可以證明，只要車輪是光滑封閉曲線，都可以設計路面讓這樣的汽車平穩(wěn)地行駛。

有興趣的讀者還可以進一步考慮相反的問題：如果地面是連續(xù)的周期函數曲線，又該如何設計車輪從而使汽車平穩(wěn)地行駛？

Cars of Which Wheels Are Not Round Can Run Smoothly

Luo Qi

（Department of Mathematics&Computer Science，Guilin Normal College，Guilin，Guangxi 541002，China）

Through the studies of locus of moving wheels of equilateral triangle，regular polygon，and ellipse，it is declared：as long as the road and the distance of axis of front wheel and rear wheel of a car are proper，the cars with the wheels of triangular，convex polygon and elliptical shapes can run smoothly.And the general conclusion is obtained that the wheel with the shape of smooth closed curve can be smoothly running.

wheel；equilateral triangle；regular polygon；ellipse；smooth closed curve

O15

A

1001-7070（2016）05-0134－03

（責任編輯：楊建香）

2016-07-28

廣西教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度廣西教育教學法研究基地專項課題（項目編號：2015JD409）。

羅奇（1964-），男，廣西桂林市人，桂林師范高等專科學校數學與計算機技術系教授，主要從事初等數學與數學教育研究。