巧用導數幾何意義　破解參數取值范圍

金　瑩

(廣東省佛山市南海中學，528211)

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○學習指導○

巧用導數幾何意義破解參數取值范圍

金瑩

(廣東省佛山市南海中學，528211)

求參數的取值范圍是一類活躍在高考導數題中的熱點問題,求解策略一般有三種:(1)分離參數法;(2)分類討論法;(3)數形結合法，例如轉化成兩個函數圖象的交點個數問題．第一種方法是常規(guī)思路,一旦遇上求導后極為復雜,或者要借用大學的洛必達法則等超綱知識,就會思維受阻．第二種方法往往難度較大,要排除反面情況,學生不易掌握．第三種方法如一縷清風拂面,瞬間吹散了百轉千回的迷霧．本文結合第三種方法,例說巧用導數幾何意義,破解一類參數取值范圍問題．

例1(2010年海南高考題)設函數f(x)=x(ex-1)-ax2.

(2)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍．

參考答案給出的方法是分類討論,f(x)=x(ex-1-ax)．令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a．① 若a≤1,則當x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)為增函數,而g(0)=0,從而當x≥0時g(x)≥0,即f(x)≥0.

② 若a>1,則當x∈(0,ln a)時,g′(x)<0,g(x)為減函數,而g(0)=0,從而當x∈(0,ln a)時g(x)<0,即f(x)<0.綜合得a的

解我們將問題轉化為ax≤ex-1在[0,+∞)上恒成立,分別畫出它們的圖象(如圖1),y=ex-1在原點處的切線方程為y=x．

當x∈[0,+∞)時要使過原點的直線y=ax恒在曲線y=ex-1下方,當且僅當直線y=ax的斜率小于等于切線斜率1時才滿足題意,故易知a≤1．

例2(2013年全國高考題)已知函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2．

(1)求a,b,c,d的值；

(2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解法1(參考答案)(1)a=4,b=2,c=2,d=2(過程略).

(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設函數F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2(x≥-2),則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設，可得F(0)≥0,即k≥1,

令F′(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2,接下來對兩根的大小進行分類討論：

(1)若1≤k0,即F(x)在(-2,x1)單調遞減，在(x1,+∞)單調遞增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1).而F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0,∴當x≥-2時，F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

(2)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),∴當x≥-2時，F′(x)≥0,∴F(x)在(-2,+∞)單調遞增，而F(-2)=0,∴當x≥-2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.

(3)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0,∴當x≥-2時，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.

綜上所述，k的取值范圍為[1,e2].

分類討論的解法思維量和計算量都很大,大多數學生不易掌握．如果本題用數形結合的方法,巧用切線求參數k的取值范圍,會簡捷很多,且直觀的圖形思維學生更易理解．

x→+∞時,h(x)=→0.而φ(x)=2k(x+1)過定點(-1,0),如圖2.

當φ(x)與h(x)相切時,求出斜率,從而求出k的范圍．

過點P(-1,0)向h(x)作兩條切線,設切點為(x0,y0)，則

解得x0=0或x0=-2.

(1)當k≤0時,求函數f(x)的單調區(qū)間;

(2)若函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點,求k的取值范圍．

解參考答案是分類討論，從略.以下考慮用數形結合法，轉化為圖象的交點個數.

記y1=ex,y2=kx,也就是它們的圖象在(0,2)內有兩個交點(如圖3).

易求得切點為(1,e),切線斜率k=e．

巧用導數的幾何意義破解參數范圍問題,還可以用在證明題中．比如,2014年的新課標Ⅱ全國高考題文科第21題,參考答案的方法進行了分類討論和巧妙的放縮,這對于文科生有些困難．但如果利用圖象,抓住臨界位置“切線”,就可以形象地證明它們的圖象只有一個交點．

例4(2014年全國高考題)已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.

(1)求a;

(2)證明:當k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

(參考答案中的解法略)

簡解(1)a=1(過程略).

由y=f(x)的簡圖(如圖4),直線y=kx-2過定點(0,-2).

當直線y=kx-2與曲線y=f(x)相切時,設切點(x0,y0)，則

∴x0=2,切點為(2,0).

此時切線斜率k=1,當動直線y=kx-2繞定點(0,-2)從切線位置順時針旋轉到y(tǒng)軸時,它們的圖象都只有一個交點，故k<1．

通過以上幾道高考題,我們可以總結出這類參數范圍問題的通法:將函數式進行變形,一邊化為直線型,轉化為兩圖象的交點個數問題．往往相切時是臨界位置,所以，能夠準確熟練地求切線的斜率是解決問題的基礎．利用導數的幾何意義為切線斜率,可以秒殺一類參數取值范圍問題,數形結合,化抽象為直觀、變繁瑣為簡捷，在高考導數題中常能起到四兩撥千斤的作用．