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    高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

    2016-11-10 10:15:48
    高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年19期
    關(guān)鍵詞:紀(jì)念幣木棒圓弧

    ?

    高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

    一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

    1.f(x)=3sin x,x∈[0,2π]的單調(diào)減區(qū)間為______.

    2.若復(fù)數(shù)z=1+ai(i是虛數(shù)單位)的模不大于2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

    3.若方程ln x+2x-10=0的解為x0,則大于x0的最小整數(shù)是______.

    6.下列說法中,正確的有______.(寫出所有正確命題的序號(hào))

    ① 若f ′(x0)=0,則f(x0)為f(x)的極值點(diǎn);

    ② 在閉區(qū)間[a,b]上,極大值中最大的就是最大值;

    ③若f(x)的極大值為f(x1),f(x)的極小值為f(x2),則f(x1)>f(x2);

    ④有的函數(shù)有可能有兩個(gè)最小值;

    ⑤已知函數(shù)f(x)=ex,對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x1都存在唯一個(gè)值x2,使f(x1)f(x2)=1成立.

    7.設(shè)向量a,b的夾角為θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),則sin θ=______.

    13..設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,若對(duì)任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______.

    14.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對(duì)任意的x∈R,恒有f ′(x)≤f(x).若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,則M的最小值為______.

    二、解答題:(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

    15.(本小題滿分14分)已知

    (1)求θ;

    (2) 求滿足f(x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

    16.(本小題滿分14分)已知命題p:指數(shù)函數(shù)f(x)=(2a-6)x在R上單調(diào)遞減,命題q:關(guān)于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的兩個(gè)實(shí)根均大于3.若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    (1)求角C的大小;

    18.(本小題滿分16分)一走廊拐角處的橫截面如圖所示,已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧,AB,DC分別與圓弧BC相切于B,C兩點(diǎn),EF∥AB,GH∥CD,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

    (1)若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M,N分別在外壁CD和AB上,且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P,設(shè)∠CMN=θ(rad),試用θ表示木棒MN的長(zhǎng)度f(θ);

    (2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處,求木棒長(zhǎng)度的最大值.

    20.(本小題滿分16分)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f ′(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對(duì)任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f ′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).

    ① 求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);② 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

    (2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x11,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍.

    (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

    (2)過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.

    23. (附加題,本小題滿分10分)拋擲A,B,C三枚質(zhì)地不均勻的紀(jì)念幣,它們正面向上的概率如下表所示(0

    紀(jì)念幣ABC概率12aa

    將這三枚紀(jì)念幣同時(shí)拋擲一次,設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的紀(jì)念幣的個(gè)數(shù).

    (1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;

    (2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的最大值.

    24. (附加題,本小題滿分10分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,F是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱C1D1上,且D1E=λEC1(λ為實(shí)數(shù)).

    (2)試問:直線EF與直線EA能否垂直?請(qǐng)說明理由.

    參考答案

    一、填空題

    二、解答題

    17.(1)由題意,得

    所以?ABC的面積

    ①若S在線段TG上,則TS=QT-QS.

    ②若S在線段GT的延長(zhǎng)線上,則

    TS=QS-QT.

    在Rt?STM中,

    19. (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

    由題意可得f(1)=2,f ′(1)=e,

    故a=1,b=2.

    h′(x)=e-x(1-x).

    綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1.

    ∴函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b).

    ②設(shè)φ(x)=x2-bx+1,則f ′(x)與φ(x)同號(hào).

    當(dāng)b∈[-2,2]時(shí),φ(x)=x2-bx+1>0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

    當(dāng)b∈(-∞,-2)時(shí),φ(x)=x2-bx+1>0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

    (2)依據(jù)題意,g′(x)=h(x)(x-1)2,

    ∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,且有

    α+β=x1+x2,α-β=(2m-1)(x1-x2).

    α-x1=(m-1)x1+(1-m)x2,

    β-x2=(1-m)x1+(m-1)x2,

    ∴(α-x1)(β-x2)=-(m-1)2(x1-x2)2<0.

    ∴α

    若α

    f(α)

    ∴g(α)-g(β)>g(x1)-g(x2),不合題意.

    ∴x1<α<β

    0=|g(α)-g(β)|

    α-x1=(x1-x2),β-x1=-m(x1-x2).

    同理有x1<β<α

    綜上,0

    22.(1)曲線C的參數(shù)方程為

    直線l的普通方程為2x+y-6=0.

    (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ,3sin θ)到l的距離

    23.(1)ξ的分布列

    ξ0123P12(1-a)212(1-a2)12(2a-a2)a22

    取y=1,則n=(2,1,2).

    化簡(jiǎn),得3λ2-2λ+3=0,

    因?yàn)棣?4-36<0,所以該方程無解,所以假設(shè)不成立,即直線EF不可能與直線EA垂直.

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