σ-弱本質(zhì)有界函數(shù)和σ-弱可表示算子?

魏常果， 王蒼園

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

?

σ-弱本質(zhì)有界函數(shù)和σ-弱可表示算子?

魏常果， 王蒼園

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

本文引入了σ-弱本質(zhì)有界算子函數(shù)及σ-弱可表示; 證明了L(Ω,M)中的元素都能表示成Ω上的σ-弱可列可加算子測度, 即存在等距映射將L(Ω,M)等距嵌入Ba(R)中。 還刻畫了L(Ω,M)上線性算子和線性泛函的性質(zhì); 最后證明了L(Ω,μ)上算子T為σ-弱可表示算子的充要條件。

von Neumann代數(shù)；σ-弱本質(zhì)有界； σ-弱可表示

引用格式：魏常果，王蒼園.σ-弱本質(zhì)有界函數(shù)和σ-弱可表示算子 [J].中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(10):135-138.

WEI Chang-Guo， WANG Cang-Yuan. σ-Weakly essentially bounded functions and σ-weakly representable operators [J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(10):135-138.

1　引言

算子代數(shù)在某種意義上被認(rèn)為是研究非交換拓?fù)? 傳統(tǒng)分析和拓?fù)涞脑S多理論在算子代數(shù)上都有對應(yīng), 如K-理論來自拓?fù)銴-理論, KK-理論來自偽微分算子理論。 這極大地豐富了算子代數(shù)理論, 并加強(qiáng)了算子代數(shù)與其它數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系。 經(jīng)典調(diào)和分析被認(rèn)為是交換的分析學(xué), 到如今它已是十分完備,與此對應(yīng), 考慮算子代數(shù)意義下的調(diào)和分析是自然的, 這種非交換調(diào)和分析自上世紀(jì)九十年代初興起以來正日益受到重視, 這無疑會促進(jìn)算子代數(shù)的發(fā)展和它在其它數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用。 K.Matsumoto在文獻(xiàn)[1-2]中將Schwartz的分布理論推廣到算子代數(shù), 并利用它求解C*代數(shù)上的微分方程。 Wu在文獻(xiàn)[3]中研究了取值于算子代數(shù)的廣義函數(shù), 得到了算子值的Bochner-Schwartz定理。文獻(xiàn)[4]還研究了半群上的非交換分析。 測度與積分是調(diào)和分析研究的主要對象。 文獻(xiàn)[5]中引進(jìn)了取值于von Neumann代數(shù)的測度, 證明了σ-弱拓?fù)湎碌腒luvanek延拓定理;文獻(xiàn)[6]中引入了算子測度和算子函數(shù)的σ-弱積分,證明了Ba(R)等距同構(gòu)于L(B(X,R);M); 給出了σ-弱算子拓?fù)湎碌腞iesz表示定理; 文獻(xiàn)[7-9]中研究了Banach*代數(shù)中的半序及環(huán)面代數(shù)擴(kuò)張的分類等問題。

在本文中, 引入σ-弱本質(zhì)有界算子值函數(shù)及σ-弱可表示; 刻畫了L(Ω,M)上線性算子和線性泛函的性質(zhì), 最后給出了L(Ω,μ)上算子T為σ-弱可表示算子的充要條件。

設(shè)M為一von Neumann代數(shù), X為任一集合,R為X的子集構(gòu)成的σ-域。 從R到M的有限可加集映射μ被稱作上R的算子測度。

2　主要結(jié)果

設(shè)M為作用在Hilbert空間H上的von Neumann代數(shù), M*為M的準(zhǔn)共軛空間, 即M上的正規(guī)線性泛函全體(在σ-拓?fù)湎逻B續(xù)的正線性泛函)。設(shè)(Ω,R,μ)為完備的全σ-有限測度空間, L(Ω,μ)為Ω上的可積復(fù)值函數(shù)全體, L∞(Ω,μ)為Ω上的本質(zhì)有界的復(fù)值函數(shù)全體。

定義2.1[6]稱算子值函數(shù)f:Ω→M在(Ω,R,μ)上是σ-弱可測的, 若?ρ∈M*, 數(shù)值函數(shù)ρ。f是(Ω,R,μ)上的可測函數(shù)。

定義2.2[6]稱算子值函數(shù)f:Ω→M是 σ-弱可積的, 若對于E∈R, 存在TE∈M, 使得

?ρ∈M*, 積分∫Eρ(f(t))dμ存在, 且

ρ(TE)=∫Eρ(f(t))dμ。

此時(shí)稱TE為f在E上的σ-弱積分, 記作

TE=∫Ef(t)dμ。

Ω上σ-弱可積的算子值函數(shù)全體記作L(Ω,M)。

定義2.3[6]設(shè)μ:R→M為算子測度。 μ的σ-弱半變差‖μ‖定義為:

‖μ‖(E)=sup{|ρμ|(E):ρ∈(M*)1}。

若‖μ‖(X)<∞, 則稱μ為σ-弱有界半變差測度,或簡稱為σ-弱有界測度。 R上有限可加的σ-弱有界測度全體構(gòu)成的線性空間記作Ba(R)。 易證Ba(R)在范數(shù) ‖μ‖1=‖μ‖(X) 下構(gòu)成賦范空間。

在L(Ω,M)內(nèi)引入等價(jià)關(guān)系: f,g∈L(Ω,M), 若?ρ∈M*, 有ρ。f=ρ。ga.e., 則稱f與g等價(jià)。 將等價(jià)的函數(shù)視為相等, 則可在L(Ω,M)中引入范數(shù):

由[6]定理3.1的證明可知L(Ω,M)該范數(shù)下構(gòu)成賦范空間。

定義2.4設(shè)f:Ω→M為σ-弱可測函數(shù)。 若?ρ∈M*, 且‖ρ‖≤1, 使得ρ。f本質(zhì)有界, 且

sup{‖ρ。f‖∞:‖ρ‖≤1}<∞,

則稱f為σ-弱本質(zhì)有界的算子值函數(shù), 這樣的函數(shù)全體記作L∞(Ω,M)。

設(shè)f∈L∞(Ω,M), 令

‖f‖∞=sup{‖ρ。f‖∞:‖ρ‖≤1},

可驗(yàn)證‖·‖∞為L∞(Ω,M)上的范數(shù)。

設(shè)L(Ω,M)*為L(Ω,M)在前述范數(shù)下的對偶空間。 B(L(Ω,M);M)為L(Ω,M)到M的有界線性算子全體。

下面的定理說明L(Ω,M)與Ba(R)、M*與L(Ω,M)*、L∞(Ω,μ)與B(L(Ω,M);M)在等距的意義下, 具有包含關(guān)系。

定理2.1 L(Ω,M)中的元素都能表示成Ω上的σ-弱可列可加算子測度, 即存在等距映射將L(Ω,M)等距嵌入Ba(R)中。

證明設(shè)f∈L(Ω,M), 令

F(E)=∫Efdμ，?E∈R。

由[6]定理3.1的證明可知, F的定義是有意義的, 且F具有有限可加性。 任給ρ∈M*, 有

(ρF)(E)=ρ(F(E))=∫Eρ(f(t))dμ。

因?yàn)棣?。f∈L(Ω,μ), 所以ρF為可列可加數(shù)值測度, 從而F為σ-弱可列可加算子測度。

由定義2.3,

‖F(xiàn)‖(E)=sup{|ρF|(E):ρ∈M*,‖ρ‖≤1}。

又因?yàn)閨ρF|(E)=∫E|ρ。f|dμ, 所以

‖F(xiàn)‖(E)=sup{∫E|ρ。f|dμ:‖ρ‖≤1},

定理2.2 M*?L(Ω,M)*, 即存在等距映射S將M*嵌入L(Ω,M)*中。

證明任給g∈M*, 作L(Ω,M)上的泛函Sg,

Sg(f)=∫Ωg。fdμ,

其中f∈L(Ω,M), 易知Sg是線性泛函。

當(dāng)g≠0時(shí), 令g1=g/‖g‖, 則

|Sg(f)|≤∫Ω|g。f|dμ=

‖g‖∫Ω|g1。f|dμ≤‖g‖‖f‖。

所以Sg為L(Ω,M)上的有界線性泛函, 且‖Sg‖≤‖g‖。

下證: ‖Sg‖≥‖g‖。

取E?Ω, 使得μ(E)>0。 設(shè)a=1/μ(E),

T∈M,‖T‖≤1, 令

則f∈L(Ω,M)。 且

所以

‖Sg‖≥|Sg(f)|=|∫Ωg。fdμ|=|g(T)|

從而S為M*到L(Ω,M)*中的等距算子。

定理2.3存在等距映射將L∞(Ω,μ)嵌入B(L(Ω,M);M)中。

證明任給g∈L∞(Ω,μ), 作L(Ω,M)到M的線性算子T, 使得對任給h∈L(Ω,M)有

T(h)=∫Ωg(t)h(t)dμ。

首先易知: g∈L∞(Ω,μ),h∈L(Ω,M)時(shí), 必有g(shù)h∈L(Ω,M)。 又

‖g‖∞‖h‖

所以‖T‖≤‖g‖∞, 即得T∈B(L(Ω,M);M)。

任給w∈L(Ω,μ), 令f(t)=w(t)p, p為M中的單位元。 則f∈L(Ω,M), 且‖f‖=‖w‖1。

即可將L(Ω,μ)視為L(Ω,M)的子空間。 又因?yàn)長(Ω,μ)*=L∞(Ω,μ), 所以

sup{|∫Ωg(t)ρ(h(t))dμ|:‖h‖≤1,‖ρ‖≤1}≥

sup{|∫Ωg(t)w(t)dμ|:w∈L(Ω,μ),‖w‖1≤1}=

‖g‖∞，

算子的可表示性是有界線性算子的重要性質(zhì), 下面定義了線性算子的σ-弱可表示, 并給出了充要條件。

定義2.5 設(shè)T:L(Ω,μ)→M為有界線性算子,若存在f∈L∞(Ω,M), 使得

Tg=∫Ωgfdμ,?g∈L(Ω,μ),

則稱T是σ-弱可表示的。

定理2.4設(shè)T:L(Ω,μ)→M為有界線性算子,令F(E)=TχE, E∈R, 這里χE為E的特征函數(shù)。 則T為σ-弱可表示的充要條件是存在f∈L(Ω,M),使得

F(E)=∫Efdμ,E∈R。

此時(shí)f∈L∞(Ω,M), 且‖T‖=‖f‖∞。

證明: 必要性。 T為σ-弱可表示的, 則存在

f∈L∞(Ω,M), 使得Tg=∫Ωgfdμ,

從而?E∈R, 有

F(E)=TχE=∫ΩχEfdμ=∫Efdμ。

充分性。 設(shè)f∈L(Ω,M), 使得?E∈R,

F(E)=TχE=∫Efdμ。 ?ρ∈M*, ‖ρ‖≤1, 有

|ρ(F(E))|≤‖F(xiàn)(E)‖≤‖T‖‖χE‖1=

‖T‖μ(E),

所以

|ρF|(E)≤‖T‖μ(E),

‖F(xiàn)‖(E)=sup{|ρF|(E):‖ρ‖≤1}≤

‖T‖μ(E)。

由定理2.1, F為σ-弱可列可加測度, 且

‖F(xiàn)‖(E)=sup{∫E|ρ°f|dμ:‖ρ‖≤1}。

所以

sup{∫E|ρ°f|dμ:‖ρ‖≤1}≤‖T‖μ(E),

從而?ρ∈M*, ‖ρ‖≤1有

∫E|ρ。f|dμ≤‖T‖μ(E),

所以‖ρ。f‖∞≤‖T‖。 因此

‖f‖∞=sup{‖ρ。f‖∞:‖ρ‖≤1}≤‖T‖,

即得f∈L∞(Ω,M)。

由于簡單可積函數(shù)在L(Ω,μ)中稠密, 所以對?g∈L(Ω,μ)存在簡單可積函數(shù)列{φn}, 使得‖φn-g‖1→0。 T有界, 所以‖Tφn-Tg‖→0。

由于Tφn=∫Ωφnfdμ, 及f∈L∞(Ω,M), 對于

ρ∈M*, 有

ρ(Tφn)=∫Ωρ(φnf)dμ=∫Ωφn(t)ρ(f(t))dμ。

ρ°f∈L∞(Ω,μ), 由Lebesgue控制收斂定理得:

所以

從而Tg=∫Ωgfdμ, T是σ-弱可表示的。

最后,

‖Tg‖=‖∫Ωgfdμ‖=

sup{|ρ(∫Ωgfdμ)|:ρ∈M*,‖ρ‖≤1}=

sup{|∫Ωg°(ρ。f)dμ|:ρ∈M*,‖ρ‖≤1}≤

sup{‖g‖1‖ρ。f‖∞:ρ∈M*,‖ρ‖≤1}=

‖f‖∞‖g‖1,

所以‖T‖≤‖f‖∞。 因此‖T‖=‖f‖∞。

[1]Matsumoto K. Periodic distributions on C*-algsbras [J]. J Math Soc Japan, 1995, 47 (4): 687-718.

[2]Matsumoto K. Distributions on C*-algebra associated whih Rn-actions [J]. Proc London Math, 1997, 74 (3): 444-480.

[3]Wu L S. Positive-definite generalized functions on operator algebras [J]. Chinese J Contemp Math, 1997, 18 (1): 127-136.

[4]Wu L S. Non-commutative harmonic analysis on semgroups [J]. Chin Ann of Math, 1998, 19A (5): 583-588.

[5]Wei C G. On measures with values in von Neumann algebras [J]. Journal of Xi’an United University (Natural Sciences Edition), 2000, 3(4): 18-23.

[6]Wei C G. Measures and integrations on σ-weak operator topology [J]. Journal of Mathematical Study, 2001, 34(3): 96-101.

[7]Wei C G. Some properties of partial order in Banach* algebras [J]. Journal of East China Normal University (Natural Science), 2005, 2005(1): 23-27.

[8]Wei C G. Homomorphisms from extensions of torus algebra [J]. Acta Mathematica Sinica, Chinese Series, 2006, 49(4): 791-796.

[9]Wei C G. Classification of extensions of C(T2) II [J]. Science China Mathematics, 2012, 55(1): 179-186.

AMS Subject Classification：46L50

責(zé)任編輯陳呈超

σ-Weakly Essentially Bounded Functions andσ-Weakly Representable Operators

WEI Chang-Guo， WANG Cang-Yuan

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100， China)

This paper introduces the σ-weakly essentially bounded functions and σ-weakly representable operators. Let M be a von Neumann algebra, X be any set and R be a σ-field of subsets of X.An operator valued measure μ on R is a map from R into the finitely additive subsets of M. Let {En} be a family of any mutually disjoint subsets of R, E be the union. If μ is countably additive on {En}, with respect to the σ-weakly operator topology, then μ is called σ-weakly countably additive measure. Every σ-weakly integrable operator valued function in L(Ω,M) can be represented to be a σ-weakly countably additive measure on Ω, i.e. there exists an isometric embedding from L(Ω,M) into Ba(R). The space of normal linear functionals on Mcan be isometrically embedded into L(Ω,M)*. And there is also an isometry from L∞(Ω,μ) into B(L(Ω,M);M). The equivalent characterization of a σ-weakly representable operator is given at the end of this paper.

von Neumann algebra; σ-weakly essentially bounded; σ-weakly representable

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2011AM003)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171315)資助

2014-06-20；

2015-10-11

魏常果(1971-)，男，教授。E-mail:weicgqd@163.com

O177.1

A

1672-5174(2016)10-135-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20140333

Supported by Shandong Provincial Natural Science Foundations (ZR2011AM003); National Natural Science Foundations of China (11171315)