與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問(wèn)題

江蘇省丹陽(yáng)市第五中學(xué)　(212300)

王圣光　李　萍

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與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問(wèn)題

江蘇省丹陽(yáng)市第五中學(xué)(212300)

王圣光李萍

所謂不定方程就是未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程(或方程組).不定方程解的范圍可以是有理數(shù)域,整數(shù)環(huán),或某一代數(shù)數(shù)域上的代數(shù)整數(shù)環(huán).

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),在高考中占有極其重要的地位.數(shù)列與不定方程知識(shí)交匯問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)思維能力和探索能力提出了更高的要求,因此在近年來(lái)的各省高考試卷(或高考模擬卷)中,這類問(wèn)題屢見不鮮.

本文擬結(jié)合近幾年的高考試卷(或高考模擬卷)對(duì)與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問(wèn)題的解法作初步的探討.

1.利用數(shù)論知識(shí)

利用數(shù)論知識(shí)縮小不定方程中未知數(shù)的范圍是高中階段求解不定方程的整數(shù)解問(wèn)題的常用方法.

1.1有理、無(wú)理分析法

例1(2008·江蘇高考19(2))求證：對(duì)于給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為0的等差數(shù)列b1,b2,…,bn，其中任意三項(xiàng)(按原來(lái)的順序)都不能組成等比數(shù)列．

證明:假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列b1,b1+d,…,b1+(n-1)d(b1d≠0).其中三項(xiàng)b1+k1d,b1+k2d,b1+k3d(0≤k1

1.2整數(shù)、分?jǐn)?shù)分析法

例2(2009·江蘇高考17)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足a22+a23=a24+a25,S7=7.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

解析:(1)an=2n-7,Sn=n2-6n.

例3(2014·江蘇高考20)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”.

(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”；

(2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d<0.若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；

(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

解析:(1)略.

(3)略.

1.3正、負(fù)分析法

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)A，使得三點(diǎn)Pn(an,2an+5),Pm(am,2am+5),Pk(ak,2ak+5)(其中n,m,k是互不相等的正整數(shù)，且n>m>k≥2)到定點(diǎn)A的距離相等？若存在，求出點(diǎn)A及正整數(shù)n,m,k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)存在滿足條件的k，k的最小值為5.

(3)假設(shè)存在定點(diǎn)A，使得三點(diǎn)Pn(an,2an+5),Pm(am,2am+5),Pk(ak,2ak+5)(其中n,m,k是互不相等的正整數(shù)，且n>m>k≥2)到定點(diǎn)A的距離相等，不妨設(shè)定點(diǎn)A(x0,0).因?yàn)閚≥2時(shí)，an=2n-5，所以Pn(2n-5,22n),Pm(2m-5,22m),Pk(2k-5,22k).因?yàn)锳Pn=APm=APk,所以可得

評(píng)注:本題判斷出不定方程(*)等號(hào)左邊大于0，右邊等于0，從而(*)式不成立，即不存在滿足條件的點(diǎn).

1.4奇、偶分析法

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)λ=4時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)r,s,t，使得ar,as,at成等比數(shù)列？若存在，求出r,s,t滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*，都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解析:(1)an=(2n+1)λn-1(n∈N*).

(2)由(1)知，當(dāng)λ=4時(shí)，an=(2n+1)4n-1(n∈N*).若存在ar,as,at成等比數(shù)列，則[(2r+1)4r-1][(2t+1)4t-1]=(2s+1)242s-2，整理得

(2r+1)(2t+1)4r+t-2s=(2s+1)2，由奇偶性知r+t-2s=0.所以(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2，即(r-t)2=0，解得r=t，這與r≠t矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)r,s,t，使得ar,as,at成等比數(shù)列.

評(píng)注:本題中不定方程(2r+1)(2t+1)4r+t-2s=(2s+1)2等號(hào)的右邊(2s+1)2為奇數(shù)，所以(2r+1)(2t+1)4r+t-2s也為奇數(shù)，從而r+t-2s=0，進(jìn)而得出矛盾.

1.5因式(數(shù))分解分析法

例6(2014·浙江高考19)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1,S2·S3=36.

(1)求d及Sn；

(2)求m,k(m,k∈N*)的值，使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.

解析:(1)d=2,Sn=n2.

(2)由(1)得an=2n-1(n∈N*)，所以am+am+1+am+2+…+am+k=

不定方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，需要附加另外的條件方程才可解，挖掘題目條件——整數(shù)解，所以我們可以利用數(shù)論的知識(shí)求解不定方程的整數(shù)解問(wèn)題.

2.利用不等式知識(shí)

當(dāng)不定方程的實(shí)數(shù)解集為有界集時(shí),就能用這一必要條件確定整數(shù)解的界限,然后逐一檢驗(yàn)以確定全部解.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

綜上所述，m=1或m=2.

3.利用函數(shù)知識(shí)

與數(shù)列有關(guān)的不定方程可以看作以某變量為主元的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)不定方程的求解.

例8(2015·江蘇高考20)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列.

(1)證明：2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；

(2)是否存在a1,d，使得a1,a2,a3,a4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；

(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k，使得an1,an+k2,an+2k3,an+3k4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

解析:(1)(2)略.

評(píng)注:本題以不定方程(*)中的未知數(shù)m為主元構(gòu)造出函數(shù)f(x)，從而將不定方程(*)的解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題.利用函數(shù)f(x)的性質(zhì)得出x=1,2,3,4不都是f(x)的零點(diǎn)，即m=1,2,3,4不都是不定方程(*)的解，進(jìn)而得出結(jié)論不存在a1,d及正整數(shù)n,k，使得an1,an+k2,an+2k3,an+3k4依次構(gòu)成等比數(shù)列.

高考題在數(shù)列與不定方程的交匯處顯現(xiàn)的精彩紛呈，解法也是靈活多樣的，以上僅列舉了幾種常見的探求方法，具體情況還應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件靈活處理.